数学理卷·2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第三次模拟考试（2016

数学理卷·2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第三次模拟考试（2016

陕西省西安市铁一中学2017届高三上学期第三次模拟考试 ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，集合，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知方程有实根，且，则复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.下列选项中，说法正确的是（ ）‎ A．“”的否定是“”. ‎ B．若向量满足 ，则与的夹角为钝角. ‎ C．若，则 . ‎ D．命题“为真”是命题“为真” 的必要条件.‎ ‎4.已知函数的图象如图，则它的一个可能的解析式为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.在中，，，，为边的三等分点，则等于（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.阅读如下程序框图，如果输出，那么在空白矩形框中应填入的语句为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.已知圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.若，则的值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.如图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C. （1,2） D．（2,3）‎ ‎12.已知定义在上的函数，满足（1）；（2）（其中是的导函数，是自然对数的底数），则的范围为（ ）‎ A．（） B．（） C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是 ．‎ ‎14.已知数列满足，且，则 ．‎ ‎15.已知，则展开式中的常数项为 ．‎ ‎16.设满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）已知向量，向量，函数 ‎.‎ ‎（I）求单调递减区间；‎ ‎（II）已知分别为内角的对边，为锐角，，且恰是在上的最大值，求和的面积.‎ ‎18.（本小题满分12分）甲、乙两人参加某种选拔测试，在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选.‎ ‎（I）求乙得分的分布列和数学期望；‎ ‎（II）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.‎ ‎19.（本小题满分12分）一个多面体的直观图及三视图如图所示，分别是的中点.‎ ‎（I）求证：平面；‎ ‎（II）求二面角的余弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知定点和直线上的动点，线段 的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（I）求曲线的方程；‎ ‎（II）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求证：三点共线.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？‎ ‎（III）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，‎ 在平面直角坐标系中，圆的方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，直线的极坐标方程为.‎ ‎（I）当时，判断直线与的关系；‎ ‎（II）当上有且只有一点到直线的距离等于时，求上到直线距离为的点的坐标.‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（I）求证：当时，不等式成立；‎ ‎（II）关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ ‎12题解析：设，则，所以函数在区间上单调递增，所以，即；令，则，所以函数在区间上单调递减，所以，即，综上，故选.‎ 二、填空题 ‎13. 195 14. 100 15. -160 16.‎ ‎16题解析：根据线性约束条件画出可行域，对目标函数中的分大于零、小于零、等于零分类讨论即得结论.‎ 三、解答题 ‎17.解：（I） …………………3分 由正弦函数图象可知，当时取得最大值3. ……………………………7分 所以 ……………………………8分 由余弦定理，得 ‎ ……………………………10分 ‎。 ……………………………12分 ‎18.解：（I）设乙答题所得分数为，则的可能取值为-15,0,15,30 ……………………………1分 ‎； ；‎ ‎； . ……………………………4分 乙得分的分布列如下：‎ ‎ ……………………………5分 ‎. …………………………… 6分 ‎（II）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.‎ 则， …………………………… 8分 ‎. …………………………… 10分 故甲乙两人至少有一人入选的概率 ‎. …………………………… 12分 ‎19.解：（I）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，，且 ……………………………1分 因此两两垂直，故以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ……………………………2分 则由已知可得：，‎ 故，‎ ‎ ……………………………3分 即 4分 即,‎ 而平面，平面，‎ 平面。……………………………6分 ‎（II）解：设是平面的一个法向量，则 ‎，，，‎ ‎，‎ 令，可得，‎ ‎，……………………………2分 由已知可得平面，‎ 是平面的一个法向量，…………………………10分 设二面角的平面角为，则有：，‎ 所求二面角的余弦值是。…………………………12分 解法二（1）证明：由三视图可知，这个多面体为直三棱柱，‎ 其中，‎ 且 ……………………………2分 从而可得 连接由直棱柱的性质可得,‎ 且也是的中点，‎ 中，由中位线定理得,‎ 而 ‎ …………………………… 4分 上的射影，‎ ‎ ……………………………6分 ‎(2)解：过作 是二面角的平面角。 …………………………… 8分 在，‎ ‎（法1）在, ……………………………10分 ‎，‎ 即所求的二面角的余弦值为 ……………………………12分 ‎（法2）在 ……………………………10分 即所求的二面角的余弦值为。 ……………………………12分 ‎20.解：（I）由题意可知：，即点到直线和点的距离相等，根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点。 ……………………………3分 设的轨迹方程为：‎ 所以的轨迹方程为：. ……………………………5分 ‎（II）由条件可知，则. ……………………………6分 联立，消去得，‎ ‎. …………………………… 7分 设，则 ‎ …………………………… 9分 因为 …………………………… 10分 ‎ …………………………… 11分 所以 三点共线. …………………………… 12分 ‎21.解：（I）由知 ……………………………1分 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是， …………………………… 2分 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是， ……………………………3分 ‎（II）由，，‎ 故，‎ ‎， ……………………………5分 在区间上总存在极值，‎ 有两个不等实根且至少有一个在区间内 又是开口向上的二次函数，且，‎ 由，解得， ……………………………6分 由，‎ 在上单调递减，所以，‎ ‎， ……………………………7分 综上可得，，‎ 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。‎ ‎（III），令，则， ……………………………9分 当时，由得，从而，‎ 所以，在上不存在使得； 10分 ‚当时，，‎ 在上恒成立，‎ 故在上单调递增。‎ ‎，‎ 故只要，解得，‎ 综上所述：的取值范围是。 ……………………………12分 ‎22.解：（I）圆的普通方程为：， ……………………………1分 直线的直角坐标方程为：， ……………………………2分 圆心（1,1）到直线的距离为， ……………………………4分 所以直线与相交。 …………………………… 5分 ‎（II）上有且只有一点到直线的距离等于，即圆心到直线的距离为 ‎， ………… 7分 过圆心与平行的直线方程式为：， ……………………………8分 联立方程组解得 ……………………………9分 故所求点为（2,0）和（0,2） ……………………………10分 ‎23.解：（I）证明：由 …………………………… 2分 得函数的最小值为3，从而，所以成立。 ……………………………5分 ‎（II）由绝对值的性质得， ……………………………7分 所以最小值为，从而， …………………………… 8分 解得， …………………………… 9分 因此的最大值为。 ……………………………10分