【数学】2019届一轮复习北师大版第1章集合与常用逻辑用语第2节学案

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【数学】2019届一轮复习北师大版第1章集合与常用逻辑用语第2节学案

第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 1.理解命题的概念,了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.‎ 知 识 梳 理 ‎1.命题 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题,其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.否命题与命题的否定 否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.‎ ‎2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA),与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同.‎ ‎3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.‎ ‎4.充要关系与集合的子集之间的关系,设A={x|p(x)},B={x|q(x)},‎ ‎(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.‎ ‎(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.‎ ‎(3)若A=B,则p是q的充要条件.‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2+2x-3<0”是命题.(  )‎ ‎(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(  )‎ ‎(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(  )‎ ‎(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(  )‎ 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(教材练习引申)命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是(  )‎ A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1‎ C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,则α= 解析 命题“若p,则q”的逆否命题是“若綈q,则綈p”,显然綈q tan α≠1,綈p α≠,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠”.‎ 答案 C ‎3.(2017·天津卷)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由2-x≥0,得x≤2,由|x-1|≤1,得0≤x≤2.‎ 当x≤2时不一定有x≥0,而当0≤x≤2时一定有x≤2,‎ ‎∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.‎ 答案 B ‎4.(2017·北京卷)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.‎ 解析 a>b>c,取a=-2,b=-4,c=-5,‎ 则a+b=-60,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;‎ ‎②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;‎ ‎③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;‎ ‎④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.‎ 解析 ①不正确.由log2a>0,得a>1,∴f(x)=logax在其定义域内是增函数.‎ ‎②正确.由命题的否命题定义知,该说法正确.‎ ‎③不正确,原命题的逆命题为 “若x+y是偶数,则x,y都是偶数”,是假命题,如1+3=4为偶数,但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题,因此两命题等价.‎ 答案 ②④‎ 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时,需注意 ‎ ‎(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;‎ ‎(2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.‎ ‎2.(1)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.‎ ‎(2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易时,可间接判断.‎ ‎【训练1】 (1)原命题为“若 1, 2互为共轭复数,则| 1|=| 2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是(  )‎ A.真、假、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假 ‎(2)(2018·广东广雅中学联考)给出下列命题 ‎ ‎①“存在x0∈R,x-x0+1≤0”的否定;‎ ‎②“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;‎ ‎③命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ 解析 (1)由共轭复数的性质,| 1|=| 2|,∴原命题为真,因此其逆否命题为真;取 1=1, 2=i,满足| 1|=| 2|,但是 1, 2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假.‎ ‎(2)①的否定是“任意x∈R,x2-x+1>0”是真命题,①正确;②的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,由x2+x-6<0,得-30,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)存在负数λ,使得m=λn,则m·n=λn·n=λ|n|2<0,因而是充分条件,反之m·n<0,不能推出m,n方向相反,则不是必要条件.‎ ‎(2)x>y >|y|(如x=1,y=-2).‎ 但x>|y|时,能有x>|y|≥y.‎ ‎∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.‎ 答案 (1)A (2)C 规律方法 充要条件的三种判断方法 ‎(1)定义法 根据p⇒q,q⇒p进行判断.‎ ‎(2)集合法 根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.‎ ‎(3)等价转化法 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.‎ ‎【训练2】 (1)(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)=则“x=0”是“f(x)=1”的(  )‎ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 (1)若x=0,则f(0)=e0=1;若f(x)=1,则ex=1或ln(-x)=1,解得x=0或x=-e.故“x=0”是“f(x)=1”的充分不必要条件.‎ ‎(2)由S4+S6-2S5=S6-S5-(S5-S4)=a6-a5=d,‎ 当d>0时,则S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5;‎ 反之,S4+S6>2S5,可得d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充要条件.‎ 答案 (1)B (2)C 考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)‎ ‎【例3】 (经典母题)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围.‎ 解 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,‎ ‎∴P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎∵x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P.‎ ‎∴解得m≤3.‎ 又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0.‎ 综上,可知当0≤m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.‎ ‎【迁移探究1】 本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.‎ 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,‎ ‎∴∴ 这样的m不存在.‎ ‎【迁移探究2】 本例条件不变,若綈P是綈S的必要不充分条件,求实数m的取值范围.‎ 解 由例题知P={x|-2≤x≤10}.‎ ‎∵綈P是綈S的必要不充分条件,‎ ‎∴P是S的充分不必要条件,‎ ‎∴P⇒S且SP.‎ ‎∴[-2,10][1-m,1+m].‎ ‎∴或 ‎∴m≥9,则m的取值范围是[9,+∞).‎ 规律方法 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 ‎ ‎(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,‎ 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.‎ ‎(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.‎ ‎【训练3】 (2018·西安月考)若x>2m2-3是-12m2-3”是“-1b,则a+c>b+c”的否命题是(  )‎ A.若a≤b,则a+c≤b+c B.若a+c≤b+c,则a≤b C.若a+c>b+c,则a>b D.若a>b,则a+c≤b+c 解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.‎ 答案 A ‎2.函数f(x)在x=x0处导数存在.若p f′(x0)=0;q =x0是f(x)的极值点,则(  )‎ A.p是q的充分必要条件 B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 D.p既不是q的充分要件,也不是q的必要条件 解析 由极值的定义,q⇒p,但p q.例如f(x)=x3,在x=0处f′(0)=0,f(x)=x3是增函数,x=0不是函数f(x)=x3的极值点.‎ 因此p是q的必要不充分条件.‎ 答案 C ‎3.(2016·山东卷)已知直线a,b分别在两个不同的平面α ,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由题意知a⊂α,b⊂β,若a,b相交,则a,b有公共点,从而α,β有公共点,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、相交或异面.‎ 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.‎ 答案 A ‎4.下列结论错误的是(  )‎ A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”‎ B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若m2+n2=0,则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0,则m≠0或n≠0”‎ 解析 C项命题的逆命题为“若方程x2+x-m=0有实根,则m>0”.若方程有实根,则Δ=1+4m≥0,‎ 即m≥-,不能推出m>0.所以不是真命题.‎ 答案 C ‎5.(2018·东北三省四校模拟)原命题 设a,b,c∈R,若“a>b”,则“ac2>bc2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有(  )‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 解析 原命题 若c=0,则不成立,由等价命题同真同假知其逆否命题也为假;逆命题为设a,b,c∈R,若“ac2>bc2”,则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0,∴由不等式的基本性质得a>b,∴逆命题为真,由等价命题同真同假知否命题也为真,∴真命题共有2个.‎ 答案 C ‎6.(2018·广东省际名校联考)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的(  )‎ A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 “不破楼兰终不还”的逆否命题为 “若返回家乡,则攻破楼兰”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.‎ 答案 B ‎7.已知命题p 2+2x-3>0;命题q >a,且綈q的一个充分不必要条件是 綈p,则a的取值范围是(  )‎ A.[1,+∞) B.(-∞,1]‎ C.[-1,+∞) D.(-∞,-3]‎ 解析 由x2+2x-3>0,得x<-3或x>1,由綈q的一个充分不必要条件是綈p,可知綈p是綈q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.‎ 答案 A ‎8.(2018·南昌模拟)已知a,b都是实数,那么“>”是“ln a>ln b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>,故必要性成立.‎ 当a=1,b=0时,满足>,但ln b无意义,所以ln a>ln b不成立,故充分性不成立.‎ 答案 B 二、填空题 ‎9.“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的________条件.‎ 解析 cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.‎ 由cos α=sin α得到cos 2α=0;反之不成立.‎ ‎∴“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.‎ 答案 充分不必要 ‎10.有下列几个命题 ‎ ‎①“若a>b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”‎ 的逆命题;③“若x2<4,则-21且y>1,q 实数x,y满足x+y>2,则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若x>1且y>1,则x+y>2.所以p⇒q;反之x+y>2 >1且y=1,例如x=3,y=0,所以p.‎ 因此p是q的充分不必要条件.‎ 答案 A ‎14.(2018·昆明诊断)下列选项中,说法正确的是(  )‎ A.若a>b>0,则ln a(n+2)·2n-1”的否定是“任意n∈N+,3n≥(n+2)·2n-1”‎ D.已知函数f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的,则命题“若f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 解析 ∵函数y=ln (x>0)是增函数,∴若a>b>0,则ln a>ln b,故A错误;若a⊥b,则m+m(2m-1)=0,解得m=0,故B错误;命题“任意n∈N+,3n>(n+2)·2n-1”的否定是“存在n∈N+,3n≤(n+2)·2n-1”,故C错误;命题“若f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题“若f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,则f(a)·f(b)<0”是假命题,如函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,4]上的图像连续不断,且在区间(-2,4)内有两个零点,但f(-2)·f(4)>0,D正确.‎ 答案 D ‎15.直线x-y- =0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点的充要条件是________.‎ 解析 直线x-y- =0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解之得-1< <3.‎ 答案 (-1,3)‎ ‎16.(2018·山西五校联考)已知p (x-m)2>3(x-m)是q 2+3x-4<0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________.‎ 解析 p对应的集合A={x|xm+3},q对应的集合B={x|-4
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