河北省邢台市2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题

河北省邢台市2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题

邢台市2019～2020学年高三上学期第四次月考 数学（文科）‎ 一、选择题：本大题共12小题.每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数代数形式的除法运算计算化简，再计算其模.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 所以.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的计算以及复数的模，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式，化简集合，根据交集定义即可求解.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键，属于基础题.‎ ‎3.已知数列是等差数列，且，则（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的下标和性质，对原式进行转化即可求得.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，，‎ 解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的下标和性质，属基础题.‎ ‎4.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.‎ ‎【详解】选项A,C直线可能在平面内，故不正确；选项B, 若，，则，或在平面内，而，故与可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D：由 ， ，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线，故为正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.‎ ‎5.已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且 ‎，若为等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义即可求得，注意分类讨论，以免形成错解.‎ ‎【详解】①若，则，这样的三角形不存在；‎ ‎②若，则，此时离心率.‎ 故该椭圆的离心率为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，属基础题.‎ ‎6.在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，则和平面所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线垂直，推证出线面垂直，从而找到线面角，再求解角度即可.‎ ‎【详解】根据题意，作图如下：‎ 因为底面，又因为平面，故；‎ 又因为底面为正方形，故可得,‎ 综上可得平面，‎ 故即为所求线面角.‎ 不妨设，‎ 则，，‎ 所以和平面所成角的余弦值为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查线面角的求解，涉及线面垂直的判定，属基础题.‎ ‎7.将函数的图像向右平移个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若为奇函数，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的变换规则表示出，根据是奇函数，可得的取值，再求其最小值.‎ ‎【详解】解：由题意知，将函数的图像向右平移个单位长度，得，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图像，，‎ 因为是奇函数，‎ 所以，解得，‎ 因为，所以的最小值为.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.‎ ‎8.已知双曲线的两个顶点分别为，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则的方程为（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四边形的面积为，得到，由内切圆的周长求出内切圆的半径，再次利用四边形的面积，求出的值，得到关于、的方程，解得.‎ ‎【详解】解：因为，，的坐标分别为，，‎ ‎，，‎ 又因为四边形的面积为，所以，得，‎ 记四边形内切圆半径为，则，得，‎ 所以，所以，‎ 又因为，得或，‎ 所以的方程为或.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程，四边形及内切圆的相关性质，属于基础题.‎ ‎9.已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，，则抛物线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，可求出点的坐标，代入抛物线方程，即可求解.‎ ‎【详解】过向轴作垂线，设垂足为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，，，‎ 将点的坐标代入，得，‎ 故的方程为.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题.‎ ‎10.若直线l：与曲线y＝－2＋有两个相异的公共点，则l的斜率k的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找出直线恒过的定点，画出曲线y＝－2＋，数形结合进行判断.‎ ‎【详解】‎ 整理化简为：‎ 根据交点直线系方程，‎ 该直线恒过直线与直线的交点.‎ 联立方程组，解得直线恒过定点 对曲线y＝－2＋‎ 整理化简为：‎ 故其为一个以为圆心，半径为3的半圆，‎ 在同一直角坐标系下绘制图像如下图所示：‎ 由图可知，直线与曲线有两个交点的临界情况如上图的和 当直线为的状态时，斜率为0，此时只有一个交点，故不取0；‎ 当直线为的状态时，斜率为，此时有两个交点，故可取.‎ 综上所述：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查直线恒过定点，圆方程，以及直线与圆的交点的个数问题，属综合中档题；需要数形结合.‎ ‎11.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I为△PF‎1F2的内心，且，若椭圆的离心率为e，则λ＝（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. e D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设内切圆半径为，根据面积等式，结合椭圆的定义，求得，即可求解.‎ ‎【详解】设内切圆半径为，‎ 由 可得：‎ 整理得：，又 即，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义，属基础题；本题的难点在于对面积等量关系的转换.‎ ‎12.设函数，则不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数可由向左平移两个单位得到，分析的奇偶性、单调性，可得的单调性，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得.‎ ‎【详解】解：由题意知的图像是由的图像向左平移两个单位长度得到，而是定义域为的偶函数，因为函数与在上单调递增，且，，所以在上单调递减，所以的定义域为，关于对称，并且在上单调递减，所以等价于且 ‎，即，故或.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，以及函数的平移，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.已知向量，，若，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直向量坐标关系，即可求解.‎ ‎【详解】由，得.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎14.若正数，满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 巧妙配凑1，根据均值不等式即可求得最小值.‎ ‎【详解】由，可知，‎ 所以 ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用均值不等式求和的最小值，属基础题，注意配凑的技巧.‎ ‎15.斜率为的直线过抛物线：的焦点，若与圆：相切，则______.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据题意，可知倾斜角，数形结合，即可得到圆的半径和参数之间的关系，从而解得.‎ ‎【详解】结合题意作图如下：‎ 由图可得，，‎ 解得.‎ 故答案为：12.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程的求解，注意数形结合即可.‎ ‎16.如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平移两条异面直线，使得其相交，根据夹角的余弦值，求得长方体的高，再利用长方体外接球半径的计算公式求得半径和表面积.‎ ‎【详解】如图，连接，交于点，取的中点为，连接，，‎ 因为，所以与所成的角为.‎ 令，在中，由，，得.‎ 又，，，‎ 由余弦定理得，解得，‎ 所以，‎ 则，‎ 即，‎ 从而.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由异面直线的夹角求解线段的长度，以及长方体外接球半径的求解，属综合性基础题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理，把条件等式化成角，再用诱导公式与两角和的正弦公式，即可求出，进而求出；‎ ‎（2）面积公式结合余弦定理，求出，就可得到的周长.‎ ‎【详解】（1）由，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 由余弦定理得，，‎ 周长为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，以及诱导公式和两角和正弦公式，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋kn＋k，‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由数列是等差数列，利用与之间的关系，即可求得；‎ ‎（2）利用裂项求和求解即可得到.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ ‎ ‎ 当时，‎ 又数列为等差数列，故当时，，解得 故.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 故 ‎ .‎ 故数列{bn}的前n项和.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项公式的求解，以及裂项求和，属综合基础题；其中第一问求参数是本题的关键步骤.‎ ‎19.如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，通过证明得到平面；‎ ‎（2）利用等体积法求点到面的距离.‎ ‎【详解】（1）证明：连接，因为底面为梯形，，，，‎ 则，且，‎ 所以四边形为平行四边形，则.‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为，，‎ ‎，所以为直角三角形，‎ 所以其面积.‎ 设点到平面的距离为，‎ 因为，所以，解得 即点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，以及点到面的距离的计算，属于中档题.‎ ‎20.已知直线与抛物线：交于，两点，为弦的中点，过作的垂线交轴于点.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）当弦最长时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(1) . (2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，代入抛物线相减得到，再根据计算得到答案.‎ ‎（2）直线的方程为，联立方程，根据韦达定理得到，‎ ‎，代入计算得到得到答案.‎ ‎【详解】（1）设，，，‎ 则两式相减得.‎ 因为，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 解得，所以点的坐标为.‎ ‎（2）由（1）知，直线的斜率一定存在，且不为0，设直线的斜率为，‎ 则，即，所以直线的方程为.‎ 联立得，‎ 则，.‎ 由，可得，‎ 所以.‎ 设，令，‎ 可知，此时，即，‎ 所以当弦最长时，直线的方程为或.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎21.已知函数（其中）.‎ ‎（1）讨论函数的极值；‎ ‎（2）对任意，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的定义域、导函数，对和分两种情况讨论可得；‎ ‎（2）由（1）知当时，不符合题意；当时，的最大值为要使恒成立，即是使成立，令利用导数分析其单调性，即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）的定义域为，，‎ ‎①当时，，所以在上是减函数，无极值.‎ ‎②当时，令，得，‎ 在上，，是增函数；在上，，是减函数.‎ 所以有极大值，无极小值.‎ ‎（2）由（1）知，①当时，是减函数，令，则，‎ ‎，不符合题意，‎ ‎②当时，的最大值为，‎ 要使得对任意，恒成立，‎ 即要使不等式成立，‎ 则有解.‎ 令，所以 令，由，得.‎ 在上，，则在上是增函数；‎ 在上，，则在上是减函数.‎ 所以，即，‎ 故在上是减函数，又，‎ 要使成立，则，即的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，属于中档题.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.‎ ‎【答案】(1) ， (2) 或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用消去参数化曲线为普通方程，运用，即可化直线极坐标方程为直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线方程化为具有几何意义参数方程，代入曲线方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程为，‎ 因为，所以，‎ 直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）点的坐标为，‎ 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），‎ 联立直线与曲线的方程得.‎ 设对应的参数分别为，则，‎ 所以，‎ 得，且满足，‎ 故直线的倾斜角为或.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）正数满足，证明：.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分类讨论，去绝对值，解一元一次不等式，即可求解；‎ ‎（2）要证不等式两边平方，等价转化证明，即证，根据绝对值的不等式求出，运用基本不等式即可证明结论.‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 解得，所以；‎ 当时，，；‎ 当时，，‎ 解得，所以.‎ 综上，不等式的解集为.‎ ‎（2）证明：因为为正数，则 等价于对任意的恒成立.‎ 又因为，且，所以只需证，‎ 因为，当且仅当时等号成立.‎ 所以成立.‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式，证明不等式恒成立，转化为函数的最值与不等式关系，考查用基本不等式证明不等式，属于中档题.‎