2020高中数学 课时分层作业22 线性规划的实际应用 新人教A版必修5

2020高中数学 课时分层作业22 线性规划的实际应用 新人教A版必修5

课时分层作业(二十二)　线性规划的实际应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋6y的最大值为(　　)‎ ‎【导学号：91432339】‎ A．3　　　　　　　　 B．4‎ C．18 D．40‎ C　[由题意作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．作直线x＋6y＝0并向右上平移，由图可知，过点A(0,3)时z＝x＋6y取得最大值，最大值为18.‎ ‎]‎ ‎2．某服装制造商有‎10 m2‎的棉布料，‎10 m2‎的羊毛料和‎6 m2‎的丝绸料，做一条裤子需要‎1 m2‎的棉布料，‎2 m2‎的羊毛料和‎1 m2‎的丝绸料，做一条裙子需要‎1 m2‎的棉布料，‎1 m2‎的羊毛料和‎1 m2‎的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　)‎ A.z＝20x＋40y B.z＝20x＋40y C.z＝20x＋40y D.z＝40x＋20y A　[由题意知A正确．]‎ ‎3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ ‎【导学号：91432340】‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B．16万元 - 6 -‎ C．17万元 D．18万元 D　[根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2,3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋4×3＝18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．]‎ ‎4．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为(　　)‎ A．2,4 B．3,3‎ C．4,2 D．不确定 B　[设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则 求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．]‎ ‎5．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为(　　)‎ ‎ 【导学号：91432341】‎ A．4 650元 B．4 700元 C．4 900元 D．5 000元 C　[设派用甲型卡车x(辆)，乙型卡车y(辆)，获得的利润为u(元)，u＝450x＋350y，由题意，x，y满足关系式作出相应的平面区域(略)，u＝450x＋350y＝50(9x＋7y)在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元．]‎ 二、填空题 ‎6．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________.‎ ‎【导学号：91432342】‎ ‎3　[作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为A(1,3)，B(2,5)，C(3,4)，设目标函数为z＝y－x，则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2,5)时，n－m的最大值为3.‎ ‎]‎ ‎7．某学校用800元购买A，B两种教学用品，A种用品每件100元，B - 6 -‎ 种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B两种用品应各买的件数为________．‎ ‎3,3　[设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则 求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法(图略)求得整数解为(3,3)．所以，A，B两种用品应各买3件．]‎ ‎8．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为________万元．‎ ‎31．2　[设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，则 目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.]‎ 三、解答题 ‎9．医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每‎10 g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每‎10 g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足病人的营养需要，又使费用最省？‎ ‎【导学号：91432343】‎ ‎[解]　设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，那么 目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图所示：‎ 把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，它是在y轴上的截距为且随z变化的一组平行直线．‎ 由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．‎ 由得A，‎ - 6 -‎ ‎∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.‎ ‎∴甲种原料×10＝28(g)，乙种原料3×10＝30(g)，‎ 即当使用甲、乙两种原料分别为‎28 g、‎30 g时，才能既满足病人的营养需要，又能使费用最省．‎ ‎10．两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？‎ 成分 种类　　　‎ 阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)‎ A(毫克/片)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎0.1‎ B(毫克/片)‎ ‎1‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎0.2‎ ‎[解]　设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，‎ 则有两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.‎ 如图所示，作直线l：x＋y＝0，‎ 将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．‎ 解方程组 得交点A坐标.‎ 由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．配置A、B两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：kg)‎ 原料 药剂　　　‎ 甲 乙 A ‎2‎ ‎5‎ B ‎5‎ ‎4‎ 药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价分别为100元、200元，现有原料甲‎20 kg - 6 -‎ ‎，原料乙‎33 kg，那么可以获得的最大销售额为(　　)‎ A．600元 B．700元 C．800元 D．900元 D　[设配制药剂A为x剂，药剂B为y剂，则有不等式组成立，即求u＝100x＋200y在上述线性约束条件下的最大值．借助于线性规划可得x＝5，y＝2时，u最大，umax＝900.]‎ ‎2．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　　)‎ ‎【导学号：91432344】‎ A．2 000元 B．2 200元 C．2 400元 D．2 800元 B　[设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件 目标函数z＝400x＋300y，画图(图略)可知，当平移直线400x＋300y＝0至经过点(4,2)时，z取得最小值2 200.]‎ ‎3．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．‎ ‎90　[原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ 作出直线y＝－x＋可知当直线过点时z有最大值，由于x，y∈N*；可行域内与点最接近的整点为(5,4)，所以当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.]‎ ‎4．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg，乙材料‎1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg，乙材料‎0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料‎150 kg，乙材料‎90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ ‎216 000　[设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ - 6 -‎ 作出可行域为图中的四边形，包括边界的整数点，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]‎ ‎5．某超市要将甲、乙两种大小不同的袋装大米分装成A，B两种规格的小袋，每袋大米可同时分得A，B两种规格的小袋大米的袋数如表所示：‎ 规格类型 袋装大米类型　　　　　　‎ A B 甲 ‎2‎ ‎1‎ 乙 ‎1‎ ‎3‎ 已知库房中现有甲、乙两种袋装大米的数量分别为5袋和10袋，市场急需A，B两种规格的成品数分别为15袋和27袋．‎ ‎(1)问分甲、乙两种袋装大米各多少袋可得到所需A，B两种规格的成品数，且使所用的甲、乙两种袋装大米的袋数最少？(要求画出可行域)‎ ‎(2)若在可行域的整点中任意取出一解，求其恰好为最优解的概率.‎ ‎【导学号：91432345】‎ ‎[解]　(1)设需分甲，乙两种袋装大米的袋数分别为x，y，‎ 所用的袋装大米的总袋数为z，则z＝x＋y(x，y为整数)，作出可行域D如图．‎ 从图中可知，可行域D的所有整数点为：(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8个点 因为目标函数为z＝x＋y(x，y为整数)，所以在一组平行直线x＋y＝t(t为参数)中，过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，其经过的整点是(3,9)和(4,8)，它们都是最优解．‎ 所以，需分甲、乙两种袋装大米的袋数分别为3袋、9袋或4袋、8袋可使所用的袋装大米的袋数最少．‎ ‎(2)由(1)可知可行域内的整点个数为8，而最优解有两个，所以所求的概率为P＝＝.‎ - 6 -‎