2019学年高二数学下学期期中试题 理 新版新人教版(1)

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- 1 - 2019 学年第二学期期中考试 高二年级理科数学试题 本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。 第 Ⅰ 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（在下列四个选项中，只有一项是最符合题意的.每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 2{ | log }A x y x  ，  | 2 2B x x    ，则  BA （ ） A． 1 2， B． 0 2， C． 2 2 ， D． 2， 2．已知命题 p： 01, 2  xxRx ;命题 q：若 22 ba  ,则 ba  .下列命题为真命题的是 （ ） A． p q B. p q  C. p q  D. p q   3．执行下图所示的程序框图，若输入 p=0.8，则输出的 n=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4．在复平面内，复数 i i 21 21   所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5．在(1＋x)n(  Nn )的二项展开式中，若只有 x5 的系数最大，则 n＝( ) A．8 B．9 C．10 D．11 - 2 - 6．一个四面体 的顶点在空间直角坐标系 xyzo  中的坐标分别是 )1,1,0(),1,0,1(),0,0,0( ， )0,1,2 1( , 绘制该四面体三视图时,按照如图所示的方向画正视 图,则得到左视图可以为（ ） A. B. C. D. 7．已知函数 xbeexf xx cos)(   ，若 3)1( f ，则  )1(f （ ） A．－3 B．－1 C．0 D．3 8．已知点 )0,4(A ， )4,0(B ，点 ),( yxp 的坐标 x ， y 满足 0 0 3 4 12 0 x y x y        ，则 的最小值为（ ） A． 25 196 B．0 C． 4 25 D．- 8 9．若 x，y，a 是正实数，且 x＋ y≤a x＋y恒成立，则 a 的最小值是( ) A. 2 2 B. 2 C．2 D.1 2 10．若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所 有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是( ) A．540 B．480 C．360 D．200 11．过圆 P： 4 1)1( 22  yx 的圆心 P 的直线与抛物线 C： xy 22  相交于 A,B 两点，且 ，则点 A 到圆 P 上任意一点的距离的最大值为（ ） - 3 - A． 2 113  B． 6 13 C． 3 7 D． 2 7 12 ． 设 函 数 )(xf 是 定 义 在 )0,( 上 的 可 导 函 数 ， 其 导 函 数 为 )(xf  ， 且 有 2)()(2 xxfxxf  ，则不等式 0)2(4)2018()2018( 2  fxfx 的解集为（ ） A．（-2020,0） B．（-∞，-2020） C．（-2016,0） D．（-∞，-2016） Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二．填空题(每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题纸上对应横线处) 13．已知 A(－1,0)，B(0，－1)，C(a，b)三点共线，若 a＞－1，b＞－1，则 1 a＋1 ＋ 1 b＋1 的最 小值为________． 14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用 等级制（分为 A,B,C 三个层次），得 A 的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知， 三名同学中只有一人获得 A.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下： 甲说：看丙的状态，他只能得 B 或 C； 乙说：我肯定得 A； 丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测． 事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得 A 的同学是________． 15．三棱锥 P-ABC的底面 ABC 是等腰三角形，  120C ，侧面 PAB 是等边三角形 且与底面 ABC 垂直，AC=2，则该三棱锥的外接球表面积为________． 16． 若 直线 bkxy  是 曲 线 2ln  xy 的 切 线， 也 是 曲 线 )1ln(  xy 的 切 线， 则 b  ________． 三．解答题(共 6 个题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知函数 122)(  xxxf ， Rx . - 4 - （1）求 1)( xf 的解集； （2）若 axxf )( 有两个不同的解，求 a 的取值范围． 18．在极坐标系中，圆 C 的方程为ρ＝2acos θ(a≠0)，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正 半轴建立平面直角坐标系，设直线 l 的参数方程为 x＝3t＋1， y＝4t＋3 (t 为参数)． (1)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求实数 a 的取值范围． 19．如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  底面 ABCD ， AD AB ， DC ∥ AB ， 1PA  ， 2, 2AB PD BC   ． （1）求证：平面 PAD  平面 PCD; （2）若棱 PB 上存在一点 E ，使得二面角 E AC P  的余弦值为 3 3 ，求 AE 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 20．在一次数 考试中，第 22 题和第 23 题为选做题，规定每位考生必须且只须在 其中选做一题，现有甲、乙、丙、丁 4 名考生参加考试，其中甲、乙选做第 22 题的概率均为 3 2 ，丙、丁选做第 22 题的概率均为 2 1 ． (1)求在甲选做第 22 题的条件下，恰有两名考生选做同一道题的概率； (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的 生个数为 X，求 X 的概率分布及数学期望． 21．已知椭圆 C： )0(12 2 2 2  bab y a x ． （1）若椭圆的离心率为 2 1 ，且过右焦点垂直于长轴的弦长为 3，求椭圆 C 的标准方程； - 5 - （2）点 P(m,0)为椭圆长轴上的一个动点，过点 P 作斜率为 a b 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点， 试判断 22 PBPA  是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值， 说明原因． 22．已知函数 f(x)＝ex－ax－a(其中 a∈R，e 是自然对数的底数，e＝2.718 28…)． (1)当 a＝e 时，求函数 f(x)的极值； (2)若 f(x)≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围． - 6 - 高二理数答案 1----6BBBBCB 7----12AABDAB 13.4 14.甲 15. 16. 17． 【解析】（1） ， 若 ，可得 ． （2）结合图象易得 ． 18． 解：(1)由ρ＝2acos θ，ρ2＝2aρcos θ， 又ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x， 所以圆 C 的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2. 由 x＝3t＋1， y＝4t＋3，得 y－3 ＝t， 因此 x－1 3 ＝ y－3 4 ， 所以直线 l 的普通方程为 4x－3y＋5＝0. (2)因为直线 l 与圆 C 恒有公共点， 所以 |4a＋5| 2 ≤|a|， 两边平方得 9a2－40a－25≥0， 所以(9a＋5)(a－5)≥0，解得 a≤－ 5 9或 a≥5， 所以 a 的取值范围是 5 9∪[5，＋∞)． 19.案】（1）见解析（2） 易 知 平 面 的 法 向 量 ， 所 以 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值 . 20．【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据独立事件同时发生的概率公式及条件概率公式求解即可；(Ⅱ) X 的所有可能取值为 0、1、2、3、4，分别根据独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率 - 7 - 公式求得各随机变量发生的概率，列出分布列，根据期望公式求解即可. * [ : K] 试题解析：(Ⅰ)【方法一】记“甲选做第 22 题”为事件 A；“恰有两名考生选做同一道题”为 事件 B. 由题意可计算， ， ， 所以 . 【方法二】在甲选做第 22 题的条件下，恰有两名考生选做同一道题，问题等价于“乙、丙、 丁三人中有且只有一人选做第 22 题，其余两人选做第 23 题”，记为事件 C. 由题意可计算， . 所以 X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 从而 21．【解析】（1） ，即 ， ， 不妨令椭圆方程为 ，当 时， ，得出 ， 所以椭圆的方程为 ． （2）令直线方程为 与椭圆交于 ， 两点， - 8 - 联立方程 得 ，即 ， ∴ ， ， ∴ 为定值． 22． 解 (1)当 a＝e 时，f(x)＝ex－ex－e，f′(x)＝ex－e. 当 x<1 时，f′(x)<0；当 x>1 时，f′(x)>0. 所以函数 f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数 f(x)在 x＝1 处取得极小值 f(1)＝－e，函数 f(x)无极大值． (2)由 f(x)＝ex－ax－a，得 f′(x)＝ex－a， 若 a<0，则 f′(x)>0，函数 f(x)单调递增，当 x 趋近于负无穷大时，f(x)趋近于负无穷大； 当 x 趋近于正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，故函数 f(x)存在唯一零点 x0，当 xx0 时，f(x)>0.故 a<0 不满足条件． 若 a＝0，f(x)＝ex≥0 恒成立，满足条件； 若 a>0，由 f′(x)＝0，得 x＝ln a，当 xln a 时，f′(x)>0，所以函数 f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调 递增，所以函数 f(x)在 x＝ln a 处取得极小值 f(ln a)＝eln a－a·ln a－a＝－a·ln a，由 f(ln a)≥0，得－a·ln a≥0，解得 0

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