综合模拟练01（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

综合模拟练01（第01期）-2018年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎1．已知等差数列满足， ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设（），数列的前项和为，求使的最小正整数．‎ ‎【答案】（1）（）；（2）5‎ ‎（2）由（1）知 ，‎ 所以， ，‎ 令，解得，因为，所以，故使的最小正整数为5.‎ ‎2．如图，在多面体中，四边形是正方形，是等边三角形，．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连，‎ ‎∥‎ ‎∥，∥‎ 四边形是平行四边形 ‎∥，∥‎ 又平面，平面 ‎∥平面 ‎（Ⅱ）在正方形中，，又是等边三角形，所以，‎ 所以 于是 又，平面，‎ 又，平面 于是多面体是由直三棱柱和四棱锥组成的.‎ 又直三棱柱的体积为，‎ 四棱锥的体积为，‎ 故多面体的体积为.‎ ‎3．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据，如下表所示：‎ 已知变量具有线性负相关关系，且， ，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归直线方程分别为：甲；乙；丙，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.‎ ‎（1）试判断谁的计算结果正确？并求出的值；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取2个，求这两个检测数据均为“理想数据”的概率.‎ ‎【答案】（1）,（2）.‎ 试题解析：（1）因为变量具有线性负相关关系，所以甲是错误的.‎ 又易得，满足方程，故乙是正确的.由条件可得 ‎（2）由计算可得“理想数据”有个，即.‎ 从检测数据中随机抽取个，共有种不同的情形，‎ 其中这两个检测数据均为“理想数据”有种情形.‎ 故所求概率为.‎ ‎4．以边长为的正三角形的顶点为坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）求证： 为定值；‎ ‎（3）求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点关于轴对称，如图所示.‎ 由可得，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴抛物线的方程为.‎ ‎5．设函数 .若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数的解析式得其定义域为.. 因为曲线在点处的切线方程为，所以,,联立可得解方程组可得. 所以， .分别解不等式与，可得单调递减与递增区间。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，构造函数，因为，所以对任意，不等式恒成立.考虑函数的单调性。因为。‎ 当时，对任意恒成立，此时函数单调递增.于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；当函数为减函数时， ‎ 试题解析：解：（1）函数的定义域为.‎ ‎.‎ 依题意得， ，即 所以.‎ 所以， .‎ 当时， ；当时， .‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（2）设函数，故对任意，不等式恒成立.‎ 又，当，即恒成立时，‎ 函数单调递减，设，则，‎ 所以，即，符合题意；‎ 当时， 恒成立，此时函数单调递增.‎ 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；‎ 当时，设，‎ ‎【点睛】1、求函数的单调区间，可求导，令导函数大于、小于0，再结合定义域，可得单调区间；2、不等式的恒成立问题，一种方法可以分离参数，转化为函数的最值问题，另一种方法构造函数，求函数的最值。3、判断函数的单调性时，可以求导，导函数正负不容易判断时，有时可以构造函数，二次求导。‎ ‎6．选修4-4: 坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．‎ ‎(1) 若直线与曲线交于两点，求的值；‎ ‎(2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值．‎ ‎【答案】(1)2(2)16‎ ‎【解析】试题分析：(1)先写出曲线的直角坐标系方程为: ，与直线的参数方程联立，利用韦达定理即得解，（2）设，得出周长 ‎，化一后即得解.‎ ‎7．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：解：（1）当时，无解；‎ 当时， ；‎ 当时， .‎ 综上， .‎ ‎（2）函数的最小值为， ，所以.‎