浙江专版2019-2020学年高中数学课时跟踪检测五函数的单调性与导数新人教A版选修2-2
课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数
A级——学考水平达标
1．函数f(x)＝xln x的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C. D.
解析：选D 由f′(x)＝ln x＋1>0，可得x>，∴函数的单调递增区间为.
2．已知函数f(x)＝－x，则f(x)在(0，＋∞)上的单调性为( )
A．f(x)在(0，＋∞)上是增函数
B．f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数
C．f(x)在(0，＋∞)上是减函数
D．f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数
解析：选C 因为f′(x)＝－－1<0，所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数，选C.
3．若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选C ∵y′＝3x2＋2x＋m，由条件知y′≥0在R上恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
4．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为( )
解析：选A 由导函数y＝f′(x)的图象，可知当－1
3或x<－1时，f′(x)>0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单调递增．综上，函数y＝f(x)的图象的大致形状如A中图所示，所以选A.
5．函数f(x)＝x3＋ax＋b在区间(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则( )
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A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈R
C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R
解析：选D f′(x)＝3x2＋a.
∵f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，
∴f′(1)＝3＋a＝0，∴a＝－3，b∈R.
6．函数f(x)＝cos x＋x的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝－sin x＋＞0，所以f(x)在R上为增函数．
答案：(－∞，＋∞)
7．函数f(x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为________．
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
∴－0，
∵当x∈(－1,2)时，(x＋1)(x－2)<0，∴a<0.
答案：(－∞，0)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝－4，f′(1)＝0.
(1)求a和b的值；
(2)试确定函数f(x)的单调区间．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx，
∴f′(x)＝x2＋2ax＋b，
由得
解得a＝1，b＝－3.
(2)由(1)得f(x)＝x3＋x2－3x.
f′(x)＝x2＋2x－3＝(x－1)(x＋3)．
由f′(x)>0，得x>1或x<－3；由f′(x)<0，得－30，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②若a>0，则由f′(x)＝0得x＝，
且当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，
在上单调递减．
B级——高考能力达标
1．函数y＝xcos x－sin x在下列哪个区间内是增函数( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
解析：选B y′＝cos x＋x(－sin x)－cos x＝－xsin x，用排除法知B正确．
2．已知函数f(x)＝x＋(x>1)，则有( )
A．f(2)0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以f(2)0，∴a>0.
答案：(0，＋∞)
7．设函数f(x)＝ax－－2ln x.
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(1)若f′(2)＝0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f′(x)＝a＋－，且f′(2)＝0，
所以a＋－1＝0，所以a＝.
所以f′(x)＝＋－＝(2x2－5x＋2)，
令f′(x)≥0，解得x≤或x≥2，
令f′(x)≤0，解得≤x≤2，
所以f(x)的递增区间为和[2，＋∞)，
递减区间为.
(2)若f(x)在定义域上是增函数，则f′(x)≥0恒成立，
因为f′(x)＝a＋－＝，
所以需ax2－2x＋a≥0恒成立，
所以解得a≥1.
所以a的取值范围是[1，＋∞)．
8．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.
解：(1)根据题意知，f′(x)＝(x>0)，
当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．
(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，
所以f(1)＝－2，
由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，
所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．
即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.
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