2009年高考试题—数学理（广东卷）解析版

2009年高考试题—数学理（广东卷）解析版

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 已知全集，集合和的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 ‎【解析】由得，则，有2个，选B.‎ ‎2. 设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，‎ A. 8 B. ‎6 ‎‎ ‎‎ C. 4 D. 2‎ ‎【解析】，则最小正整数为4，选C.‎ ‎3. 若函数是函数的反函数，其图像经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【解析】，代入，解得，所以，选B.‎ ‎4.已知等比数列满足，且，则当时， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】由得，，则， ，选C. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎5. 给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④‎ ‎【解析】选D.‎ ‎6. 一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 6 B. ‎2 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】，所以，选D.‎ ‎7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种 ‎【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法；若小张、小赵都入选，则有选法，共有选法36种，选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是 A. 在时刻，甲车在乙车前面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ B. 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在时刻，两车的位置相同 D. 时刻后，乙车在甲车前面 ‎【解析】由图像可知，曲线比在0～、0～与轴所围成图形面积大，则在、时刻，甲车均在乙车前面，选A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9 ~ 12题）‎ ‎9. 随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的 ，表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）‎ ‎【解析】；平均数 ‎10. 若平面向量，满足，平行于轴，，则 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】或，则或.‎ ‎11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为 ．‎ ‎【解析】，，，，则所求椭圆方程为.‎ ‎12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则 ， ．‎ ‎【解析】由题知，，，解得，.‎ ‎（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）‎ ‎13．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线（为参数）垂直，则 ．‎ ‎【解析】，得.‎ ‎14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ．‎ ‎【解析】且.‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点， 且， 则圆的面积等于 ．‎ ‎【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16．(本小题满分12分）‎ 已知向量与互相垂直，其中．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）若，求的值．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.‎ ‎（2）∵，，∴，则，∴.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：‎ 对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间，，，，，进行分组，得到频率分布直方图如图5. ‎ ‎（1）求直方图中的值； ‎ ‎（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；‎ ‎（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.‎ ‎（结果用分数表示．已知，， ，）‎ 解：（1）由图可知，解得；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.‎ z y x E1‎ G1‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点．设点分别是点，在平面内的正投影．‎ ‎（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；‎ ‎（2）证明：直线平面；‎ ‎（3）求异面直线所成角的正弦值.‎ 解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为 ‎ ，‎ 又面，，∴.‎ ‎（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，‎ ‎∴，，即，，‎ 又，∴平面.‎ ‎（3），，则，设异面直线所成角为，则.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．‎ ‎（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．‎ 解：（1）联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，‎ ‎∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.‎ xA xB D ‎（2）曲线，‎ 即圆：，其圆心坐标为，半径 由图可知，当时，曲线与点有公共点；‎ 当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．‎ ‎（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：（1）依题可设 ()，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ ， ， ‎ 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 ‎ 当时， 解得 ‎ （2）由()，得 ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ 当时，方程有二解，‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 若，，‎ 函数有两个零点，即；‎ 当时，方程有一解, , ‎ 函数有一零点 ‎ 综上，当时, 函数有一零点；‎ 当()，或（）时，‎ 函数有两个零点；‎ 当时，函数有一零点.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明：.‎ 解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去）‎ ‎，即，∴‎ ‎（2）证明：∵‎ ‎∴‎ 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，‎ 则有，即. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com