2018-2019学年江西省吉安市高二上学期期末质量检测数学（文）试题 解析版

2018-2019学年江西省吉安市高二上学期期末质量检测数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 江西省吉安市 2018-2019 学年高二上学期期末质量检测数学 （文)试题 评卷人 得分 一、单选题 1．下列导数运算正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据求导公式计算、逐一判断即可． 【详解】 因为 ， ， ， ， 所以选项 不正确，选项 正确，故选 D． 【点睛】 本题主要考查了初等函数的求导公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题. 2．下列说法正确的是　　 A．函数 既是奇函数又在区间 上单调递增 B．若命题 都是真命题，则命题 为真命题 C．命题：“若 ，则 或 的否命题为若 ，则 或 ” D．命题“ ， ”的否定是“ ， ” 【答案】D 【解析】 【分析】 由反比例函数的奇偶性和单调性可判断 ；由 真 假，结合复合命题的真假，可判断 ； 由的否命题的定义，可判断 ；由全称命题的否定为特称命题，可判断 ． 【详解】 函数 既是奇函数又在区间 上单调递减， 错误； 命题 都是真命题，即 真 假，可得命题 为假命题， 错误； 命题：“若 ，则 或 的否命题为若 ，则 且 ”， 错误； 命题“ ， ”的否定是“ ， ”， 正确，故选 D． 【点睛】 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，复合命题的真假和命题的否定与否命题的 区别，考查判断能力，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，是一道基础题 3．“ ”是“直线 与直线 平行”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由 能得到直线 与直线 平行，反之由两直线平行可得 ,由 充分条件与必要条件的定义可得结果． 【详解】 由 ，得两直线方程为 与 ，两直线平行； 由直线 与直线 平行，可得 ，解得 ． “ ”是“直线 与直线 平行”的充分而不必要条件． 故选 A． 【点睛】 本题考查了充分条件与必要条件的定义，考查了直线的一般式方程与直线平行的关系， 是基础题．判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定 义、定理、性质尝试 .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集 合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题它的等价命题；对于范围问题也可 以转化为包含关系来处理. 4．如图是一个几何体的三视图，其左视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为　　 A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 由三视图可知，该几何体为下底面为底边长为 2，高为 1 的等腰直角三角形，高为 2 的 直三棱柱，利用柱体的体积公式可得结果. 【详解】 根据几何体的三视图，还原几何体为直三棱柱： 三棱柱的下底面为底边长为 2，高为 1 的等腰直角三角形，三棱柱高的为 2， 故 ，故选 C． 【点睛】 本题主要考查三视图还原几何体，以及柱体的体积公式，属于基础题型．三视图问题是 考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观 图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别 注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图 问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 5．若曲线 在点 处的切线方程是 ，则　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即 可． 【详解】 曲线在点 处的切线方程是 ， ，则 ，即切点坐标为 ， 切线斜率 ， 曲线方程为 ， 则函数的导数 即 ，即 ， 则 ， ，故选 B． 【点睛】 本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线 的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点 求斜率 ,即求该点处的导 数 ；(2) 己知斜率 求切点 即解方程 ；(3) 巳知切线过某点 (不是切点) 求切点, 设出切点 利用 求解. 6．在空间直角坐标系中，点 2， 到 轴的距离为　　 A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间直角坐标系中，点 y， 到 轴的距离为 求解即可． 【详解】 空间直角坐标系中， 点 2， 到 轴的距离为 ， 故选 A． 【点睛】 本题考查了空间直角坐标系下的距离计算问题，意在考查对基础知识的掌握情况，属于 基础题． 7．点 是抛物线 上一点， 为抛物线的焦点， 轴，且 ， 则抛物线的准线方程为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意写出抛物线 的焦点坐标，求出点 的坐标，再根据 的值求出 ，即 可写出抛物线的准线方程． 【详解】 抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上的点，且 轴， ； 又 ， ， 解得 ， ， 所以抛物线的准线方程为 ，故选 A． 【点睛】 本题主要考查了抛物线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．若抛物线方 程为 ，则抛物线的准线方程为 . 8．设 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，下列命题中正确的　　 A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则 C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 利用排除法，根据 可以相交，可排除选项 ，从而可得结果. 【详解】 对于 ，如图, 可以相交，排除 ； 对于 ，如图， 可以相交，可排除 ； 对于 ，如图， 可以相交，可排除 ； 故选 D. 【点睛】 本题主要考查线面平行、线面垂直的性质、面面平行、面面垂直的判定，以及排除法的 应用，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画 图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若 原命题不太容易判断真假，可以考虑判断它的逆否命题. 9．若直线 平分圆 的周长，则 的最小值为　　 A．1 B． C． D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆心在直线上得 ，可得 ，再用 基本不等式可得结果． 【详解】 因为直线 平分圆 的周长， 所以圆心 在直线 上， 所以 ，即 ， ， 当且仅当 ， 故选 B． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，属中档题．利用基本不等式求最 值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参 数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相 等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内， 二是多次用 或 时等号能否同时成立）. 10． 是椭圆的两个焦点， 是椭圆上异于顶点的一点，且 是等腰直角三角 形，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知可得，角 或角 为直角，不妨令角 为直角，求出 的长度，再由 列式求得椭圆的离心率． 【详解】 因为 是等腰直角三角形，且 是椭圆上异于顶点的一点， 角 或角 为直角，不妨令角 为直角，此时 ， 代入椭圆方程 不妨设焦点在 轴上， 解得 ， 又三角形 为等腰直角三角形，得 ， 故得 ，即 ， 即 ，解得 ， 由 ，可得 ，故选 D． 【点睛】 本题主要考查椭圆的方程与离心率，是中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一 个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 11．已知 满足 ，则 的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，则直线 与圆有交点，利用圆心到直线的距离不大于半径列不 等式求解即可． 【详解】 可化为 ， 圆心为 ,半径为 ， 设 ， 则直线 与圆有交点， 所以 ，解得 ，故选 B． 【点睛】 本题主要考查直线与圆的位置关系，属中档题．解答直线与圆的位置关系的题型，常见 思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的 方程联立，考虑运用判别式来解答. 12．已知点 ， ，动点 满足 ，当点 的纵坐标是 时， 则 的值是　　 A．3 B．5 C．15 D．17 【答案】B 【解析】 【分析】 由双曲线的定义可得 的轨迹是以 ， 为焦点，以 为实轴的双曲线的左 支，结合定义可求方程，进而可求 点坐标，然后由向量数量积的坐标表示即可求解． 【详解】 由题意可设 ， ， ， ， 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的左支， 其方程为 ， 点 的纵坐标是 时，横坐标为 ，即 ， ， 故选 B． 【点睛】 本题主要考查了双曲线的定义及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．关于双曲线定 义的理解有以下几种情况： (1 ) , ,表示双曲线； （2） , ,表示两条射线； （3） ,表示双曲线的一支； （4） ,表示一条射线. 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．经过点 作直线与连接 ， 的直线垂直，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】 利用斜率公式求得 ，由相互垂直的直线斜率之间的关系求得直线的斜率，再利用点 斜式可得结果． 【详解】 ． 直线与连接 ， 的直线垂直， ． 直线的方程为 ，即 ． 故答案为 ． 【点睛】 本题考查了斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．对直线位置 关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直 线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2） . 14．命题“对任意 ， 恒成立”是真命题，则实数 的取值集 合是______． 【答案】 【解析】 【分析】 分两种情况讨论：① 时，不合题意；② 时利用判别式不大于 0、抛物线开口 向上列不等式求解即可. 【详解】 由命题“对任意 恒成立”是真命题， 则① 时，不等式可变为 ，显然不满足题意， ② 时，由已知有 ，解得 ， 综合①②得，实数 的取值集合是 ，故答案为 ． 【点睛】 本题考查了一元二次不等式恒成立问题及分类讨论的数学思想方法，属简单题. 一元二 次不等式恒成立问题主要方法：（1）若实数集上恒成立，考虑判别式小于零即可； （2）若在给定区间上恒成立，则考虑运用“分离参数法”转化为求最值问题. 15．在三棱柱 中， 两两垂直，且 ， ， ， 则三棱柱 的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 将三棱柱补成以 ， ， 为长、宽、高的长方体，则三棱柱的外接球 就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线，从而可得外接球的半径， 最后利用球体表面积公式可得出答案结果． 【详解】 两两垂直，且 ， 平面 ， 将三棱柱补成以 ， ， ，为长、宽、高的长方体， 则三棱柱的外接球就是长方体的外接球， 外接球的直径就是长方体的体对角线， 所以，该三棱柱 的外接球直径为 ． 因此，三棱柱 的外接球的表面积为 ， 故答案为 ． 【点睛】 本题主要考查多面体的外接球、以及球体表面积的计算，属于中等题.在解答有关多面 体外接球问题时，如果能将已知多面体补成长方体，将能起到事半功倍的作用. 16．已知椭圆中心在原点，一个顶点是抛物线 的焦点，且离心率为 ，则椭圆标 准方程为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】 求出抛物线的焦点坐标得出椭圆的一个顶点坐标，讨论椭圆的焦点在 轴和 轴上，根据 离心率为 ，结合 分别求出椭圆的标准方程即可． 【详解】 抛物线 的焦点为 ， 椭圆的一个顶点为 ； 若椭圆的焦点在 轴上，则 ，且离心率为 ， ， ， 椭圆标准方程为 ； 若椭圆的焦点在 轴上，则 ，且离心率为 ， ， ，解得 ， ， 椭圆标准方程为 ； 综上，所求椭圆的标准方程是 或 ． 故答案为 或 ． 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程，也考查了抛物线的几何性质，是基础题．用待定系数法求 椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 轴上，还是在 轴上，还 是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程 或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于 、 、的方程组；④得方 程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 评卷人 得分 三、解答题 17．命题 若存在 ，使得 成立；命题 方程 表示 焦点在 轴上的双曲线如果“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求实数 的取值范围． 【答案】 ， 【解析】 【分析】 先求出 真和 真时的 的范围，由“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，可得 ， 中一真一假，按照 真 假， 假 真两种情况解不等式后，再求并集即可得结果． 【详解】 若命题 为真命题，则 有解，得 ， 若命题 为真命题，则 ，即 ， 又“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，则 ， 中一真一假， 即 或 或 实数 的取值范围为 ， ． 【点睛】 本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查双曲线的方程以及三角函数的有界性， 属于中档题.解答与非命题、且命题、或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题 与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 18．如图，四面体 中， 平面 ， ， ， ． 证明 平面 ； 在线段 上是否存在点 ，使得 ，若存在，求 的值，若不存在，请说明 理由． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 先利用勾股定理推导出 ，由线面垂直的性质可得 ，由此能证明 平面 ； 过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，交 于点 ，连结 ， 可证明 ，从而 平面 ，进而 ，由此能求出点 为 的中点且 时，使得 ． 【详解】 由题设知 ， ， ， ， 平面 ABC， ， ， 平面 PAB． 点 D 为 PC 的中点，且 ，使得 ． 理由如下： 在平面 ABC 内，过点 B 作 ，垂足为 E， 在平面 PAC 内，过点 E 作 ，交 PC 于点 D，连结 BD， 由 平面 ABC，知 ， ， 平面 DBE， 平面 DBE， ， 在 中， ，点 E 为 AC 的中点，则点 D 为 PC 的中点， 在 中， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查线面垂直的证明，考查由线面垂直证明线线垂直，是中档题．解答空间几何体 中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转 化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的 常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的 性质；（4）利用面面垂直的性质. 19．在菱形 中， ， ，边 所在直线过点 ． 求对角线 及边 所在直线的方程； 求菱形 内切圆方程，并判断此圆与直线 的位置关系． 【答案】（1） ；（2）相切 【解析】 【分析】 由菱形的对角线相互垂直，可得 ，利用斜率公式可得 ，由直线垂直关系 求得 ，而 的中点 ，也是 的中点，可得直线 的方程 由 ，利用点斜式可得直线 的方程； 求得直线 的方程为 联 立 的方程 ，解得菱形 内切圆的圆心，利用点到直线的距离公式可 得半径 ，得到圆的方程，计算圆心到直线 的距离 ，与半径比较即可得结果． 【详解】 菱形的对角线相互垂直， ， ． ． 而 AC 的中点 ，也是 BD 的中点， 直线 BD 的方程为： ，即 ． ． 直线 AB 的方程为： ，即 ． 直线 AC 的方程为： ，化为 ． 联立 ，解得 ． 菱形 ABCD 内切圆的圆心为 ． 半径 ． 菱形 ABCD 内切圆方程为 ． 直线 AM 的方程为 ，即 ． 圆心到直线 AM 的距离 ， 菱形 ABCD 内切圆与直线 AM 相切． 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、斜率计算公式、相互垂直的直 线斜率之间的关系，属于中档题．解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个： 一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考 虑运用判别式来解答. 20．如图，在三棱柱 中， ， ， 为 的中 点． 若 平面 ，求证： 直线 平面 ； 平面 平面 . 若点 在平面 上的射影在 上，且侧面 的面积为 4，求三棱锥 的体积． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 连接 交 于点 ，连接 ，由三角形中位线定理可得 ，再由线面平 行的判定可得 平面 ； 若 平面 ，则 ，结合 ，且 为 的中点，得到 ，由线面垂直的判定可得 平面 ，进一步得到平面 平面 ； 过点 作 平面 ，垂足为 ， 则点 在 上，由已知求得 ，再由等积法求三棱锥 的体积． 【详解】 证明： 连接 交 于点 E，连接 DE， 则 E 为 的中点，又 D 为 的中点， ， ， 平面 ， 平面 ； 若 平面 ，又 平面 ， ， 又 ，且 D 为 的中点， ，而 ， 平面 ，又 平面 ， 平面 平面 ； 过点 作 平面 ABC，垂足为 H，则点 H 在 BC 上， 由 ，侧面 的面积为 4，得 ，则 ． 又 ， ，则 ． ． 【点睛】 本题考查空间中直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等 积法求多面体的体积，是中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定 理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何 体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证 明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于 另一平面. 21．已知函数 ． 若曲线 存在两条垂直于 轴的切线，求实数 的取值范围； 若 且 ， ，当 ， 时，不等 式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 求出函数的导数，曲线 存在两条垂直于 轴的切线，等价于关于 的方程 有 2 个不相等的实数根，利用判别式小于零得到关于 的不等式，解出即可； 当 ， 时，不等式 恒成立等价于 ，根 据函数的单调性求出函数的最值，得到关于 的不等式，解出即可． 【详解】 若曲线 存在两条垂直于 y 轴的切线， 则关于 x 的方程 有 2 个不相等的实数根， 又 ， 即方程 有 2 个不相等的实数根， 故 ，解得： 或 ， 故实数 a 的范围是 ； 当 ， 时，不等式 恒成立， 即 ， 又函数 在 递增，则函数 ， 且函数 ， ， , , 所以函数 ， 则有 ，即 ， 故 a 的范围是 【点睛】 本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性，最值问题，考查了转化思想， 属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解 决问题的难度大大降低，本题（1）将切线问题转化为方程有根问题是解题的关键. 22．已知抛物线 ，过焦点 的直线交抛物线 于 两点，点 是抛物线的准线 与 轴的交点； 若 轴，求 的面积． 设 为 的中点，以点 为切点的抛物线的切线交准线于点 ，求证： 轴． 【答案】（1）4；（2）见解析 【解析】 【分析】 求出抛物线 的焦点 的坐标和准线的方程，可得出点 的坐标，由 轴可得出点 的坐标，再由三角形的面积公式可求出 的面积； 设点 、 ， 将直线 的方程与抛物线 的方程联立，利用韦达定理，求出的点 的坐标，并求出抛 物线 在点 处切线的方程，将该切线与准线方程联立，可得出点 的横坐标，利用点 的横坐标相等来证明结论． 【详解】 由已知得：抛物线 C 的方程为 ，焦点 ， 且准线的方程为 ，则点 ． 轴， 、 或 、 ， 则 ； 设直线 AB 的方程为 ，设点 、 ． 则 ，得 ， 由韦达定理得 ， 且 ． 线段 AB 的中点 M 的横坐标为 ． 又以点 A 为切点的抛物线的切线的斜率为 ，切线方程为 ， 令 ，得点 N 的横坐标为 ． ，即 轴． 【点睛】 本题考查直线与抛物线的综合，考查三角形面积的计算，同时也考查了切线方程的计算， 考查计算能力与推理能力，属于难题．解答直线与圆锥曲线位置关系问题常规思路是先 把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解 决相关问题.