2017-2018学年广东省佛山一中高二上学期（10月） 第一次段考数学试题

2017-2018学年广东省佛山一中高二上学期（10月） 第一次段考数学试题

‎2017-2018学年广东省佛山一中高二上学期（10月） 第一次段考数学试题 命题人：简俊敏 陈启智 注意事项：1．本试题 满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2．选择题部分，请将选出的答案标号（A、B、C、D）用2B铅笔涂在答题卡上。将填空及解答题答案用黑色签字（0.5mm）笔填在答题卡指定位置。‎ ‎3.参考公式：台体体积 ： ‎ 锥体体积：， 球体体积： 球表面积：‎ 一、选择题：大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )‎ A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 第3题图 ‎2．在空间四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是( )‎ A. 梯形 B. 矩形 C. 正方形 D. 菱形 ‎3．如图是水平放置的△ABC的直观图，轴，‎ ‎，则是( )‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 ‎4．已知圆锥的全面积是底面积的倍,那么这个圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第6题图 ‎5．设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为 ，，,则其外接球的表面积为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．如图，四面体ABCD中，若截PQMN是正方形,则在下列结论 中错误的是( )‎ A． AC=BD B． AC//截面PQMN ‎ C． AC⊥BD D． PM与BD成45°角 ‎7．已知数列 满足 ，，那么 的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，若 ，，则的面积为( )‎ A. B. 1 C. D. 2‎ ‎9．已知函数 ，下列结论中错误的是( )‎ A． B． 的最小正周期为 ‎ C． 的图象关于y轴对称 D． 的值域为 ‎ 第11题图 ‎10．将正方形沿对角线对折使得平面平面，以下四个结论中不正确的结论是( )‎ A. B. 是正三角形 C. ⊥ D.与所成的角是 ‎11．如图，网格纸上的小正方形边长为 ，粗线或虚线表示一个 棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎12．已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上，球心 在 上，，，则球的体积与三棱锥体积之比是( )‎ A． B． C． D． ‎ 二、 填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分 ‎13. 等差数列中，已知,则 ‎ ‎14. 已知侧棱长为2的正三棱锥S-ABC如图所示，其侧面是顶角为20°的等腰三角形，一只蚂蚁从点A出发，围绕棱锥侧面爬行一周后又回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为 ______ ．‎ ‎15．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2则PC与平面PAD所成角的大小为 ______ ．‎ ‎16．如图，中，，，．在三角形内挖去半圆（圆心O在边上，半圆与、相切于点、，与交于），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为 ．‎ 第14题图 ‎ ‎ 第16题图 ‎ ‎ 第15题图 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（本小题满分10分）已知各项都为正数的等比数列满足，且．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，且为数列的前项和，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）在中，边分别为内角的对边，且满足．‎ ‎（Ⅰ）判断的形状；‎ ‎（Ⅱ）若，，为角的角平分线，求的长．‎ ‎19．（本小题满分12分）如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求异面直线AE与BD所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明: 平面； ‎ ‎（Ⅱ）求点到平面的距离．‎ ‎21．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面，是边长为3的正三角形，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）在线段上是否存在点，使得平面．若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求点到平面的距离．‎ ‎2017学年度第一学期第一次段考高二级数学试题答案 一、选择题：‎ 二、 填空题：‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：（Ⅰ）由题意可知：等比数列{an}的公比为q，q＞0，‎ 由5a1+4a2=a3，即5a1+4a1q=a1q2，‎ 整理得：q2﹣4q﹣5=0，解得：q=5或q=﹣1（舍去）， ---------------------3分 a1a2=a3，a1•a1q=a1q2，解得：a1=5，an=a1qn=5n；‎ 数列{an}的通项公式，an=5n； -----------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）bn=log5an=n，Sn为数列{bn}的前n项和，Sn=， ------------------------7分 ‎==2（﹣）， -------------------------------------8分 数列的{}的前n项和Tn，‎ Tn=2[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，‎ ‎=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，‎ 数列的{}的前n项和Tn，Tn=． ------------------------------------------10分 ‎18．解：（Ⅰ）由，得，‎ ‎， ---------------------------------2分 ‎，．故为直角三角形． -----------------5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，，‎ ‎，，， -----------------7分 由正弦定理得，‎ ‎． --------------------12分 ‎19．解：（Ⅰ）证明：设，连接． 依题可知是中点，平面，则，而，是中点，故．平面，平面，平面． -------------------------------4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以为直线与的所成角．‎ ‎ 平面，，平面，则．又平面，则，，平面，平面．在中， ， ， ‎ 故 ，‎ 所以异面直线与所成角的正弦值为 ----------8分 ‎（Ⅲ）且平面，平面，‎ 因是中点，是中点，故，‎ 平面，，在中，，‎ ‎，．‎ ‎． ------------------------------12分 ‎20．（Ⅰ）证明：设为中点，连接，，．‎ 由题意得平面，所以． 因为，所以，所以平面． -----------2分 由为的中点，得且，从而且，‎ 所以是平行四边形，所以．‎ 因为平面，所以平面． --------------4分 ‎（Ⅱ）解：由，得.‎ 由且，在中由勾股地理得，在中同理得，， ---------------------8分 由（Ⅰ）知平面，故为三棱锥的高，‎ ‎，设点到平面的距离为，‎ ‎， ，即 ‎，，，‎ 故点到平面的距离为． ------------------------------------------12分 ‎21．解：（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC． ………………1分 ‎∵△ABD是边长为3的正三角形，BC=CD=，‎ ‎∴在△BCD中，由余弦定理得到：cos∠BDC= =，…………3分 ‎∴∠BDC=30°，∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+30°=90°，‎ ‎∴DC⊥AD， …………………………4分 又∵AD∩PD=D，‎ ‎∴CD⊥平面PAD．又∵CD⊂平面CDP，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PCD； ……………………6分 ‎（Ⅱ）存在AP的中点M，使得DM∥平面PBC．理由如下：‎ 取AB的中点N，连接MN，DN．‎ ‎∵M是AP的中点，∴MN∥PB． ………………7分 ‎∵△ABC是等边三角形，∴DN⊥AB，‎ 由（1）知，∠CBD=∠BDC=30°，‎ ‎∴∠ABC=60°+30°=90°，即BC⊥AB． ∴ND∥BC．…………8分 又MN∩DN=N，∴平面MND∥平面PBC．∴DM∥平面PBC．…………9分 过点B作BQ⊥AD于Q，‎ ‎∵由已知知，PD⊥BQ，∴BQ⊥平面PAD，∴BQ是三棱锥B﹣DMP的高，…………10分 ‎∵BQ=，S△DMP=AD•PD=3，∴VP﹣BDM=VB﹣DMP=BQ•S△DMP=．……12分 ‎22．（Ⅰ） 证明: 取的中点,连接.则,‎ 又平面,∴平面.‎ ‎∵平面,∴. ‎ ‎∵分别为的中点, ∴.‎ ‎∵,即, ∴. ‎ ‎∵平面平面 ‎ ‎ ∴平面. ‎ ‎∵平面,∴. --------3分 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）解: 过作且与的延长线相交于点, 连接 ‎∵，，， ∴平面，∴ ‎ ‎∴是二面角的平面角,也是二面角的平面角的补角,‎ ‎ ‎ 在Rt△中，，. ‎ 在Rt△中，. ‎ 在Rt△中，，. ‎ ‎∴二面角的余弦值为. ----------7分 ‎（Ⅲ）解:过点作于, ‎ 由（Ⅱ）知平面平面,且平面平面,‎ ‎∴平面. ∴的长为点到平面的距离.‎ 在Rt△中，. ‎ ‎∵点是的中点, ∴点到平面的距离是点到平面的距离的倍. ‎ ‎∵,∴平面. ‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离. ‎ ‎∴点到平面的距离是. ----------12分