专题14-1 几何证明选讲-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

专题14-1 几何证明选讲-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

www.ks5u.com ‎2017年高考备考之 ‎3年高考2年模拟1年原创 第十四章 选讲部分 专题1 几何证明选讲（理科）‎ ‎【三年高考】‎ ‎1. 【2016高考天津】如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2016高考新课标1卷】如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,OA为半径作圆.‎ ‎(I)证明：直线AB与O相切；‎ ‎(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD. ‎ ‎3．【2016高考新课标2】如图，在正方形中，分别在边上（不与端点重合），且，过点作，垂足为．‎ ‎(Ⅰ) 证明：四点共圆；‎ ‎(Ⅱ)若，为的中点，求四边形的面积．‎ ‎【解析】（I）因为,所以则有所以由此可得由此所以四点共圆.（II）由 四点共圆，知，连结，由为斜边的中点，知,故因此四边形的面积是面积的2倍，即 ‎4．【2016高考新课标3】如图，中的中点为，弦分别交于两点．‎ ‎（I）若，求的大小；‎ ‎（II）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明．‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结，则.因为，所以，又，所以.又，所以， 因此.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，由此知四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，又也在的垂直平分线上，因此．‎ ‎5.【2015高考新课标2，】如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边 交于、两点与底边上的高交于点，与、分别相切于、两点．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ） 若等于的半径，且，求四边形的面积．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分线．又因为分别与、相切于、两点，所以，故．从而．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，故是的垂直平分线，又是的弦，所以在上．连接，，则．由等于的半径得，所以．所以和都是等边三角形．因为，所以，．‎ 因为，，所以．于是，．所以四边形的面积．‎ ‎6．【2015高考陕西，】如图，切于点，直线交于，两点，，垂足为．‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，，求的直径．‎ ‎7.【2015高考新课标1】如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E. ‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；‎ ‎（Ⅱ）若，求∠ACB的大小. ‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，在Rt△AEC中，由已知得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，‎ 连结OE，∠OBE=∠OEB，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线. ‎ ‎（Ⅱ）设CE=1，AE=,由已知得AB=，， 由射影定理可得，，‎ ‎∴，解得=，∴∠ACB=60°. ‎ ‎8.【2015高考湖南】如图，在圆中，相交于点的两弦，的中点分别是，，直线与直线相交于点，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）如图所示， ∵，分别是弦，的中点，∴，，‎ 即， ，，又四边形的内角和等于，故；‎ ‎（2）由（I）知，，，，四点共圆，故由割线定理即得 ‎9. 【2014高考辽宁第22题】如图，EP交圆于E、C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.‎ ‎（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；‎ ‎（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED.‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD. 由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA, 又由于∠PGD=∠EGA,故∠DBA=∠EGA,所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,从而∠BDA=∠PFA.由于AF垂直EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.‎ ‎(Ⅱ)连接BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°，在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA,AC=BD，‎ 从而Rt△BDA≌Rt△ACB，于是Rt△BDA与∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.‎ 由于ED是直径，由（Ⅰ）得ED=AB.‎ ‎10. 【2014高考全国2第22题】如图，P是O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交O于点E.‎ 证明：（Ⅰ）BE=EC；‎ ‎（Ⅱ）ADDE=2‎ ‎11. 【2014高考全国1第22题】如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形.‎ ‎【解析】（I）由题设知四点共圆，所以．由已知得，故．‎ ‎（II）设的中点为，连接，则由知，故在直线上．又不是的直径，的中点为，故，即．所以，故．又 ‎，故．由（1）知，，所以为等边三角形.‎ ‎【三年高考命题回顾】‎ 纵观前三年各地高考试题, 高考对几何证明的考查，主要 考查有关三角形相似、全等、面积、线段长度及角相等的求解及证明，以平行线等分线段定理，平行线截割定理，相似三角形的判定与性质定理，直角三角形射影定理，圆心角、圆周角定理，圆内接四边形的性质定理及判定定理，圆的割线定理，切割线定理，弦切角定理，相交弦定理等为主要考查内容，题目难度一般为中、低档，备考中应严格控制训练题的难度．‎ ‎【2017年高考复习建议与高考命题预测】‎ 由前三年的高考命题形式可以看出, 高考对这部分要求不是太高，要求会以圆为几何背景，利用直角三角形射影定理，圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理，相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理证明三角形相似，全等，求线段长等，预测2017年高考还会以圆为几何背景，考查相交线定理，切割线定理，以及圆内接四边形的性质定理与判定定理，考查学生的数形结合的能力.“几何证明选讲”是选修系列4的一个专题,该专题在高考中只考查“相似三角形”和“圆”这两部分平面几何内容,且与另三个选修4的专题一起命题,供考生选择作答.其核心内容为:线段成比例与相似三角形,圆的切线及其性质,与圆有关的相似三角形等.对同学们来说,“几何证明选讲”是初中所学知识的深化,因而倍感亲切.试题题型为解答题,且难度不大.题型以比例问题为主，平行线分线段成比例定理、相似形、角平分线定理、直角三角形中的射影定理、圆中的割线定理、切割线定理和相交弦定理等,都涉及线段成比例,因此比例问题是本专题中所占比重最大的题型.解决这类问题,主要方法就是设法利用上述定理,并灵活变形.复习建议：圆内接四边形的重要结论：内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形.应用这些性质可以大大简化证明有关几何题的推证过程.与圆有关的比例线段的证明要诀：相交弦、切割线定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥，第三比作介绍，代数方法不可少，分析综合要记牢，十有八九能见效.‎ ‎【2017年高考考点定位】‎ 几何证明选讲的内容涉及的考点可归纳为:①相似三角形的定义与性质;②平行线截割定理;③直角三角形射影定理;④圆周角与圆心角定理;⑤圆的切线的判定定理及性质定理;⑥弦切角的性质;⑦相交弦定理;⑧圆内接四边形的性质定理和判定定理;⑨切割线定理. ‎ ‎【考点1】相似三角形的判定与性质 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．‎ 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．‎ 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ ‎2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ ‎3．相似三角形的判定与性质 ‎(1)判定定理：‎ 内容 判定定理1‎ 两角对应相等的两个三角形相似 判定定理2‎ 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似 判定定理3‎ 三边对应成比例的两个三角形相似 ‎(2)性质定理：‎ 内容 性质定理1‎ 相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比 性质定理2‎ 相似三角形的面积比等于相似比的平方 结论 相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方 射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 ‎【规律方法技巧】‎ ‎1．判定两个三角形相似的常规思路 ‎(1)先找两对对应角相等；‎ ‎(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；‎ ‎(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．‎ ‎2．借助图形判断三角形相似的方法 ‎(1)有平行线的可围绕平行线找相似；‎ ‎(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；‎ ‎(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．‎ ‎3.比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.‎ ‎4.判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等．‎ ‎5.．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．‎ ‎6.相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：‎ 若，则①；②；③；④；⑤；⑥.‎ ‎7.辅助线作法：几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺四】如图所示，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N作割线NAB，交圆O于A，B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连接PB交圆O于点D，若MC=BC.‎ ‎（1）求证：△APM△ABP；‎ ‎（2）求证：四边形PMCD是平行四边形.‎ ‎2.【2016年山西省右玉一中高考冲刺压轴卷三】如图，已知⊙和⊙相交于两点，‎ 为⊙的直径，直线交⊙于点，点为弧中点，连结分别交⊙、于点，连结.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连结，∵为⊙的直径，∴，∵为⊙的直径，∴，∵，∴，∵为弧中点，∴，∵，∴，∴，∴，∴.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴，∴，由（Ⅰ）知，∴.‎ ‎【考点2】圆的有关问题 ‎【备考知识梳理】‎ ‎1．圆周角定理 ‎(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．‎ ‎(2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎(3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．‎ 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎2．圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)性质：‎ 定理1：圆内接四边形的对角互补．‎ 定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．‎ ‎(2)判定：‎ 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 另外：若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆．‎ ‎3.圆的切线 ‎(1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系 相交 两个 d＜r 相切 一个 d＝r 相离 无 d＞r ‎(2) 圆的切线性质及判定定理 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ ‎(3)切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线长相等．‎ ‎3．弦切角 ‎(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．‎ ‎(2)弦切角定理及推论 ‎①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．‎ ‎②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ ‎ 4．与圆有关的比例线段 定理名称 基本图形 条件 结论 应用 相交弦定理 弦AB、CD相交于圆内点P ‎(1)PA·PB＝PC·PD；‎ ‎(2)△ACP∽‎ ‎△DBP ‎(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；‎ ‎(2)求弦长及角 切割线定理 PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线 ‎(1)PA2＝PB·PC；‎ ‎(2)△PAB∽△PCA ‎(1)已知PA、PB、PC知二可求一；‎ ‎(2)求解AB、AC 割线定理 PAB、PCD是⊙O的割线　‎ ‎(1)PA·PB＝PC·PD；‎ ‎(2)△PAC∽△PDB ‎(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；‎ ‎(2)应用相似求AC、‎ BD ‎(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．‎ ‎(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．‎ ‎(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．‎ ‎【规律方法技巧】‎ ‎1. 与圆有关的比例线段： (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．‎ ‎(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．‎ ‎(3)相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理统称为圆幂定理：圆的两条弦或其延长线若相交，各弦被交点分成的两条线段长的积相等.当两交点在圆内时为相交弦定理，当两交点在圆外时为割线定理，两交点重合时为切线，一条上两点重合时为切割线定理，两条都重合时为切线长定理，应用此定理一定要分清两条线段是指哪两条．‎ ‎2. 弦切角定理及推论的应用 ‎(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．‎ ‎(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．‎ ‎3. 证明多点共圆，当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．‎ ‎4.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．‎ ‎5.一般地，涉及圆内两条相交弦时首先要考虑相交弦定理，涉及两条割线时要想到割线定理，涉及切线和割线时要注意应用切割线定理，要注意相交弦定理中线段之间的关系与切割线定理线段关系之间的区别．‎ ‎6.在平面几何的有关计算中往往要使用比例线段，产生比例线段的一个主要根据是两三角形相似．在涉及两圆的公共弦时，通常是作出两圆的公共弦．如果有过公共点的切线就可以使用弦切角定理．在两个圆内实现角的等量代换，这是解决两个圆相交且在交点处有圆的切线问题的基本思考方向．‎ ‎【考点针对训练】‎ ‎1.【2016届湖北七市教研协作体高三4月联考】已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至，延长至.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，中边上的高为，求外接圆的面积.‎ ‎【解析】（1）如图，由得，∵与都是同弧所对的圆周角，‎ ‎∴且，故.‎ ‎（2）设为外接圆圆心，连接交于，则，连接，由题意易得，，且，∴，设圆半径为，则，‎ 解得，故外接圆面积为.‎ ‎2.【2016届陕西省高三下学期教学质检二】如图，已知圆与相交于两点，过点作圆的切线交圆于点，过点作两圆的割线，分别交圆、圆于点、，与相交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若是圆的切线，且，求的长.‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接．∵是圆的切线，∴.又∵，∴，∴.‎ ‎（Ⅱ）证明：设，∵，∴.又∵，∴，∴.又∵，联立上述方程得到，∴.∵是圆的切线，∴.∴.‎ ‎【应试技巧点拨】‎ ‎1．辅助线作法：‎ 几何证明题的一个重要问题就是作出恰当的辅助线，相似关系的基础就是平行截割定理，故作辅助线的主要方法就是作平行线，见中点取中点连线利用中位线定理，见比例点取等比的分点构造平行关系，截取等长线段构造全等关系，立体几何中通过作平行线或连结异面直线上的点化异为共等等都是常用的作辅助线方法．‎ ‎2．比例的性质的应用 相似关系的证明中，经常要应用比例的性质：‎ 若，则①；②；③；④；⑤；⑥.‎ ‎3．同一法：先作出一个满足命题结论的图形，然后证明图形符合命题已知条件，确定所作图形与题设条件所指的图形相同，从而证明命题成立．‎ ‎4.证明多点共圆，‎ 当两点在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．‎ ‎5.与圆有关的比例线段 ‎ (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．‎ ‎(2)相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．‎ ‎1. 【2016年山西榆林高三二次模考】如图所示，在中，是的平分线，的外接圆交于点，.‎ ‎（1）求证：；（2）当时，求的长.‎ ‎【解析】（1）连接，因为四边形是圆内接四边形，所以，所以，即有，又，所以，又是的平分线，所以，从而;‎ ‎（2）由条件 得，设，根据割线定理得：，即，所以有，解得：，所以.‎ ‎2. 【2016年湖北八校高三四次联考】如图，在锐角三角形中，，以为直径的圆与边另外的交点分别为，且于．‎ ‎ （Ⅰ）求证：是的切线；‎ ‎ （Ⅱ）若，，求的长．‎ ‎3. 【2016年安徽安庆二模】如图,以的边为直径作圆,圆与边的交点恰为边的中点,过点作于点．‎ ‎（I）求证：是圆的切线；‎ ‎（II）若,求的值．‎ ‎4.【2016年江西高三九校联考】如图所示，为的直径，为的中点，为的中点．‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求证：． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接，因为为的中点，为的中点，所以三点共线．因为为的中点且为的中点，所以，故. ‎ ‎（Ⅱ）因为为的中点，所以，又．又因为． ,,． ‎ ‎ 5. 【2016年安徽淮北一中高三模考】如图，是圆上的两点，为圆外一点，连结分别交圆于点，且，连结并延长至，使．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，且，求．‎ ‎【解析】（1）连结，因为，又因为，所以，所以，由已知，所以，且，所以，所以．‎ ‎（2）因为，所以，则，所以，又因为，所以，所以，所以．‎ ‎ 6. 【2016年江西南昌高三一模】如图， 圆M与圆N交于A， B两点， 以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E， 延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10.‎ ‎(I)求AB的长；‎ ‎（II）求.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据弦切角定理，知，，∴△∽△ ，则，故.‎ ‎（Ⅱ）根据切割线定理，知，，两式相除，得（*）.由△∽△，得，，又，由（*）得． ‎ ‎7. 【2016年河南八市高三三模】已知，内接于圆，延长到点，使得交圆于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎【解析】(1）如图，连结．．又 ‎（2）‎ ‎ 8.【2016届河北省石家庄市高三二模】如图，内接于⊙，，弦交线段于，为的中点，在点处作圆的切线与线段的延长线交于，连接.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若，⊙的半径为，求切线的长.‎ ‎9. 【2016届陕西省高三高考全真模拟四】如下图,是圆的两条互相垂直的直径,是圆上的点,过点作圆的切线交的延长 线于.连结交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若圆的半径为,求的长.‎ ‎【解析】（1）证明：连接,由弦切角定理知，又,即.由切割线定理得,所以.‎ ‎（2）由知，.在中，由得，.在中，由得，于是.‎ ‎ 10.【2016届山西右玉一中高三下学期模拟】已知如图，四边形是圆的内接四边形，对角线交于点，直线是圆的切线，切 点为，.‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）在上取一点，若，求的大小.‎ ‎【解析】（1）∵是圆的切线，∴，由，∴.又，∴∽，∴.又，，∴，∴.‎ ‎（2）由（1）知，，∵，∴，∴.‎ ‎ 11. 【2015届陕西西安西北工大附中高三下学期5月模拟】如图，和相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于两点，连结并延长交于点．‎ 证明：（Ⅰ）； （Ⅱ）．‎ ‎【解析】（1）由与相切于，得，同理，‎ 所以从而，即 ‎ ‎（2）由与相切于，得，又，得 从而，即，综合（1）的结论， ‎ ‎12.【2015届陕西省西工大附中高三下学期模拟考试一】如图,⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点,为⊙上一点,AE＝AC ,交于点,且,‎ ‎（Ⅰ）求的长度．‎ ‎（Ⅱ）若圆F与圆内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度 ‎【解析】（Ⅰ）连结,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长等于弧长可得,又,,从而,故∽,∴, 由割线定理知,故． ‎ ‎（Ⅱ）若圆F与圆内切，设圆的半径为，因为即，所以是圆的直径，且过点圆的切线为，则，即 .‎ ‎13.【2015届吉林省吉林市高三第三次模拟考试】如图，在△ABC中，，以为直径的⊙O交于，过点作⊙O的切线交于，交⊙O于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：是的中点；‎ ‎（Ⅱ）证明：.‎ ‎14.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】如图，圆周角的平分线与圆交于点，过点的切线与弦的延长线交于点，交于点．‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）若四点共圆，且弧与弧相等，求 ‎15.【2015届陕西省西安市第一中学高三下学期自主命题二】如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）当，时，求的长．‎ ‎【解析】（Ⅰ）连接，因为是圆内接四边形，所以又∽，即有，又因为，可得因为是的平分线，所以，从而 ‎ ‎（Ⅱ）由条件知，设，则，根据割线定理得，即即，解得或（舍去），则． ‎【一年原创真预测】‎ ‎1. 如图，内接于⊙，弦AE交BC于点D，已知，，OD=1,.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求中BC边上的高．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由于，所以D为AE中点，那么，为直角三角形， ∵，∴∽，则，又(对顶角)，∴. ‎ ‎（Ⅱ）作AFBC于点F，连接OA，由(1)得，在直角与直角中，AF=ADsin=OEsin2=，即BC边上的高为． ‎ ‎【入选理由】本题主要考查平面几何的相关知识，同时考查考生的逻辑推理能力.高考对平面几何的考查主要是通过三角形全等或三角形相似进行边角转化，并综合运用圆的切割线定理、相交弦定理等 进行证明计算．以圆为背景 是基本不变的，因而灵活应用圆的几何性质，找准有关的对应三角形、对应边和对应角是解题的关键.本题构思巧妙，难度不大，故选此题.‎ ‎2．如图，过圆外一点作圆的切线，切点为，割线、割线分别交圆于与、‎ 与．已知的垂直平分线与圆相切．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ ‎【解析】（1）证明：连结，∵与圆相切，∴．又为的垂直平分线，∴，∴，∴． ‎ ‎（2）由（1）知且为的中点，∴为的中点，且，∴．∵为圆的切线，∴，∴，∴，∴． ‎ ‎【入选理由】本题考查圆的切割线定理，弦切角定理等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力. 切割线定理、三角形相似、四点共圆的性质，是高考重点考查知识点，本题难度不大，故选此题.‎ ‎3.如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．‎ 求证：（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）．‎ ‎【证明】（Ⅰ）连接，是直径，，．切圆于，．． ‎ ‎（Ⅱ）连接，切圆于，．又∽．‎ ‎． ‎ ‎【入选理由】本题考查圆的弦切角定理、三角形相似等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力.本题由弦切角定理入手，得出三角形相似，从而可证，本题难度不大，故选此题.‎ ‎4.如图，是⊙的直径，是圆上两点，交于点，若，．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求线段的长度．‎ ‎ ‎ ‎【入选理由】本题考查平面几何的证明，具体涉及圆的性质，四点共圆，割线定理等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题. ‎ ‎5.如图，圆内接四边形满足∥，在的延长线上，且. 若，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求的长.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由知是圆的切线. ∴由弦切线角定理得， 又， ∴， ∴； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 又， ∴∽， ∴， 又，，∴，∵，∴.‎ ‎【入选理由】本题考查圆的切线的性质，圆內接四边形的性质，三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础，难度不大，故选此题. ‎ ‎6.如图，点P是△ABC的外接圆O在C点的切线与直线AB的交点．‎ ‎（Ⅰ）若∠ACB＝∠APC，证明：BC⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若D是圆O上一点，∠BPC=∠DAC，AC=，AB=，PC＝4，求CD的长．‎ ‎【入选理由】本题考查三角形相似的判定与性质、弦切角定理、切割线定理等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力.本题第一问由弦切角入手，得三角形相似，从而得结论，第二问由切割线定理入手，结合弦切角定理及同弧所对的圆周角相等，得三角形相似，像这种题型考查知识基础，综合性强，是高考出题方向，故选此题. ‎ ‎7.如图所示，在四边形中，交于点，.‎ ‎（Ⅰ）求证：、、、四点共圆;‎ ‎（Ⅱ）过作四边形外接圆的切线交的延长线于，,求证：平分.‎ ‎【证明】（Ⅰ）∵,∴,,∵,, ∴,,∴=,=,=,‎ ‎=,∴=+++‎ ‎=+++==,∴、、、四点共圆； ‎ ‎（Ⅱ）由弦切角定理可知：∠=∠，∵,∴∽,∴=， ∵，∴=,∴=,∴=, ‎ ‎∴=,∴=∠,∴平分. ‎ ‎【入选理由】本题考查三角形相似的判定与性质、四点共圆的判定、弦切角定理等基础知识，意在考查学生推理证明和逻辑思维能力.本题考查知识基础难度不大，是高考出题方向，故选此题. ‎ ‎8.如图，四边形外接于圆，是圆周角的角平分线，过点的切线与延长线交于点，交于点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是圆的直径，，，求长 ‎【解析】（1）∵是圆周角的角平分线，∴．又∵是圆的切线，∴，∴．又∵，∴，∴．‎ ‎【入选理由】本题考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑思维能力和推理论证能力.本题是一个常规题，考查知识基础，难度不大，故选此题.‎