2020-2021八年级数学上册全等三角形性质及判定同步讲练(新人教版pdf格式)

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2020-2021八年级数学上册全等三角形性质及判定同步讲练(新人教版pdf格式)

2020-2021 学年初二数学上册同步讲练:全等三角形性质及判定讲练 一、知识点 1 全等三角形 (1)形状、大小相同的图形能够完全重合; (2)全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形; (3)全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形; (4)平移、翻折、旋转前后的图形全等; (5)对应顶点:全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点; (6)对应角:全等三角形中相互重合的角叫做对应角; (7)对应边:全等三角形中相互重合的边叫做对应边; (8)全等表示方法:用“  ”表示,读作“全等于”(注意:记两个三角形全等时,把表示对应顶点的字 母写在对应的位置上) (9)全等三角形的性质: ①全等三角形的对应边相等; ②全等三角形的对应角相等; 2 三角形全等的判定 (1)若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等; (2)三角形全等的判定: ①三边对应相等的两个三角形全等;(“边边边”或“SSS”) ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(“边角边”或“SAS”) ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(“角边角”或“ASA”) ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(“角角边”或“AAS”) ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;(“斜边直角边”或“HL”) 二、考点点拨与训练 考点 1:全等三角形的性质 典例:(2020·古田县第十中学初一期中)如图,△ABC≌△AED,∠C=40°,∠EAC=30°,∠B=30°,则∠ D=____,∠EAD=______. 【答案】40° 110° 【解析】解:△ABC 中,∠C=40°,∠B=30° ∵△ABC≌△AED, ∴∠D=∠C=40°,∠E=∠B=30°, ∴∠EAD=180°−∠D−∠E=110°, 故答案为:40°,110°. 方法或规律点拨 本题用考查知识点为:全等三角形的性质及对应角的找法.书写全等时应注意各对应顶点应在同一位置, 也可根据此点来找全等三角形的对应关系.在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中. 巩固练习 1.( 2020·广东省初三一模)如图, ABCADE≌ , 100B  , 40BAC   ,则 AED ∠ ( ) A.70° B.45° C.40° D.50° 【答案】C 【解析】解:∵△ABC≌△ADE, ∴∠BAC=∠DAE=40°,∠B=∠D=100°, ∴∠AED=180°−40°−100°=40°, 故选:C. 2.( 2020·南通市八一中学初一月考)下列说法:①全等图形的形状相同、大小相等;②三边对应相等的两 个三角形全等;③全等三角形的对应角相等;④全等三角形的周长、面积分别相等,其中正确的说法为( ) A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 【答案】D 【解析】由全等三角形的概念可知:全等的图形是完全重合的,所以①全等图形的形状相同、大小相等是 正确的;重合则对应边、对应角是相等的,周长与面积也分别相等,所以①②③④都正确的. 故选:D. 3.( 2018·上海初一期末)如图,已知两个三角形全等,那么∠1 的度数是( ) A.72°; B.60°; C.58°; D.50°. 【答案】D 【解析】根据三角形内角和可知,第一个三角形的第三个角的度数为180 58 72 50     , 由全等三角形的性质可知, 150 , 故选:D. 4.( 2020·上海初三二模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(﹣3,0), B(2,0), C(﹣1,2), E(4,2), 如果△ABC 与△EFB 全等,那么点 F 的坐标可以是( ) A.( 6,0) B.( 4,0) C.( 4.﹣2) D.( 4,﹣3) 【答案】D 【解析】解:如图所示:△ABC 与△EFB 全等,点 F 的坐标可以是:(4,﹣3). 故选:D. 5.( 2020·偃师市实验中学初二月考)已知:如图,△OAD≌△OBC,且∠O=70°,∠C=25°,则∠AEB= 度. 【答案】120 【解析】解:∵△OAD≌△OBC, ∴∠D=∠C=25°, ∴∠CAE=∠O+∠D=95°, ∴∠AEB=∠C+∠CAE=25°+95°=120°. 6.( 2020·江苏省初二期末)如图,△ABD≌△CBD,若 ∠A=80°,∠ABC=70°,则 ∠ADC 的度数为 . 【答案】130° 【解析】∵△ABD≌△CBD, ∴∠C=∠A=80°, ∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°. 故答案为 130°. 考点 2:应用“SSS”判断三角形全等 典例:(2020·全国初一课时练习)如图,已知 A B A C , AD AE , B D C E ,求证: 3 1 2     . 【答案】证明见解析. 【解析】 在△ABD 和△ACE 中, AB=AC AD=AE BD=CE    , ∴△ABD≌△ACE, ∴∠BAD=∠1,∠ABD=∠2, ∵∠3=∠BAD+∠ABD, ∴∠3=∠1+∠2. 方法或规律点拨 本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质,熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键. 巩固练习 1.( 2020·南通市八一中学初一月考)如图,Rt△ABC,∠C=90°,AD 平分∠CAB,DE⊥AB 于 E,则下列 结论中不正确的是( ) A.BD+ED=BC B.DE 平分∠ADB C.AD 平分∠EDC D.ED+AC>AD 【答案】B 【解析】CD=DE, ∴BD+DE=BD+CD=BC; 又有 AD=AD, 可证△AED≌△ACD ∴∠ADE=∠ADC 即 AD 平分∠EDC; 在△ACD 中,CD+AC>AD 所以 ED+AC>AD. 综上只有 B 选项无法证明,B 要成立除非∠B=30∘,题干没有此条件,B 错误, 故选 B. 2.( 2018·内蒙古自治区初二期末)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB 的 依据是( ) A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS 【答案】D 【解析】解:根据作法可知:OC=O′C′,OD=O′D′,DC=D′C′ ∴△OCD≌△O′C′D′(SSS) ∴∠COD=∠C′O′D′ ∴∠AOB=∠A′O′B′ 故选 D. 3.( 2020·偃师市实验中学初二月考)用尺规作图作已知角∠AOB 的平分线 OC,其根据是构造两个三角形 全等,它所用到的识别方法是( ) A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS 【答案】B 【解析】如图,是用尺规作图作出的∠AOB 的角平分线 OC,连接 DC、EC, 由作图过程可知:OD=OE,DC=EC, ∴在△ODC 和△OEC 中 OD OE DC EC OC OC      , ∴△ODC≌△OEC(SSS). 故选 B. 4.( 2018·内蒙古自治区初二期末)用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB 的 依据是( ) A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS 【答案】D 【解析】解:根据作法可知:OC=O′C′,OD=O′D′,DC=D′C′ ∴△OCD≌△O′C′D′(SSS) ∴∠COD=∠C′O′D′ ∴∠AOB=∠A′O′B′ 故选 D. 5.( 2020·云南省初三二模)有一个平分角的仪器如图所示,其中 AB=AD,BC=DC.求证:AC 平分∠BAD. 【答案】见解析 【解析】证明:在 ABC 和 ADC 中, AB AD BC DC AC AC      ∴ ABC≌ ADC(SSS) ∴∠BAC=∠DAC, ∴AC 平分∠BAD. 6.( 2020·湖北省初三其他)如图, A C D B , A B D C ,求证: E B E C . 【答案】见解析 【解析】证明:在 ABC 与 D C B 中, ACDB ABDC BCCB ì =ïïïï =íïïï =ïî , ∴ ()ABCDCBSSS△ ≌△ ; ∴ ACB DBC   , ∴ ECB EBC   , ∴ . 7.( 2020·江苏省初三一模)已知:如图, ,,,ACBDADBCAD BC 相交于点 O ,过点 作 OEAB , 垂足为 E .求证: AE BE . 【答案】见解析 【解析】证明:在△ABC 与△BAD 中, AC BD BC AD AB BA      ∴△ABC≌△BAD(SSS), ∴∠ABC=∠BAC, ∴AO=BO, 又∵OE⊥AB, ∴AE=BE. 8.( 2020·全国初一课时练习)如图,已知线段 AB,CD 相交于点 O,AD,CB 的延长线交于点 E,OA=OC,EA=EC, (1)试说明:∠A=∠C; (2)在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是什么? 【答案】(1)见解析;(2)构造全等三角形. 【解析】(1)如图,连接 OE. 在△EAO 和△ECO 中, OA OC EA EC OE OE      所以△EAO≌△ECO(SSS). 所以∠A=∠C(全等三角形的对应角相等). (2) 在(1)的解答过程中,需要作辅助线,它的意图是构造全等三角形. 考点 3:应用“SAS”判断三角形全等 典例:(2020·江苏省中考真题)已知:如图,点 A、B、C、D 在一条直线上, //,,EAFBEAFBABCD. (1)求证: EF   ; (2)若 40,80AD ,求 E 的度数. 【答案】(1)见解析;(2)60° 【解析】解:(1)∵AE∥BF, ∴∠A=∠DBF, ∵AB=CD, ∴AB+BC=CD+BC,即 AC=BD, 又∵AE=BF, ∴△ACE≌△BDF(SAS), ∴∠E=∠F; (2)∵△ACE≌△BDF, ∴∠D=∠ACE=80°, ∵∠A=40°, ∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°. 方法或规律点拨 本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形内角和,解题的关键是找出三角形全等的条件. 巩固练习 1.( 2019·广东省深圳外国语学校初一期末)如图,在 OAB 和 OCD中, , , , 40OA OB OC OD OA OC AOB COD       ,连接 ,AC BD 交于点 M ,连接OM .下列结论: ① AC BD ;② 40AMB ;③ 平分 BOC ;④ MO 平分 BMC .其中正确的个数为( ). A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 【解析】解:∵ 40AOBCOD , ∴ AOBAODCODAOD    , 即 A O C B O D   , 在 A O C△ 和 B O D 中, OAOB AOCBOD OCOD      , ∴  AOCBODSAS≌ , ∴ ,OCAODBACBD  ,①正确; ∴ OAC OBD   , 由三角形的外角性质得: ,AMBOACAOBOBD    ∴ 40AMBAOB °,②正确; 作OGMC 于 G ,OHMB 于 H ,如图所示: 则 90OGCOHD  °, 在 O C G 和 ODH 中, OCA ODB OGC OHD OC OD         , ∴  OCGODHAAS≌ , ∴OG OH , ∴ MO 平分 BMC ,④正确; 正确的个数有 3 个; 故选:B. 2.( 2020·山东初二期末)如图,AB∥CD,CE∥BF,A、 E、F、D 在一直线上,BC 与 AD 交于点 O,且 OE=OF,则图中有全等三角形的对数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】解:①∵CE∥BF, ∴∠OEC=∠OFB, 又∵OE=OF,∠COE=∠BOF, ∴△OCE≌△OBF, ∴OC=OB,CE=BF; ②∵AB∥CD, ∴∠ABO=∠DCO,∠AOB=∠COD, 又∵OB=OC, ∴△AOB≌△DOC; ③∵AB∥CD,CE∥BF, ∴∠D=∠A,∠CED=∠COD, 又∵CE=BF, ∴△CDE≌△BAF. 故选 B. 3.( 2020·济南市长清区实验中学初一期中)如图,点 E、F 在 BC 上,AB=CD,BE=CF,∠B=∠C,AF 与 DE 交于点 O.求证:∠A=∠D. 【答案】见详解 【解析】证明:∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF, ∴BF=CE, 在△ABF 和△DCE 中 AB CD BC BF CE        , ∴△ABF≌△DCE(SAS), ∴∠A=∠D. 4.( 2020·江苏中考真题)如图, AC BC , D C E C , A C B C . D C E C , AE 与 BD 交于点 F . (1)求证: AEBD ; (2)求 AFD 的度数. 【答案】(1)见解析(2)90° 【解析】(1)∵ , , ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又 . ∴△ACE≌△BCD ∴ (2)∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设 AE 与 BC 交于 O 点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故 AFD =180°-∠BFO=90°. 5.( 2020·江苏中考真题)如图,已知 //A B C D , A B C D , B E C F . 求证:(1) A B F D C E   ; (2) //AFDE . 【答案】(1)证明见详解;(2)证明见解析. 【解析】证明:(1)∵AB∥CD, ∴∠B=∠C, ∵BE=CF, ∴BE-EF=CF-EF, 即 BF=CE, 在△ABF 和△DCE 中, = = ABCD BC BFCE    ∴△ABF≌△DCE(SAS); (2)∵△ABF≌△DCE, ∴∠AFB=∠DEC, ∴∠AFE=∠DEF, ∴AF∥DE. 6.( 2020·重庆初三)如图,AB∥CD,AD 与 BC 相交于点 E,AF 平分∠BAD,交 BC 于点 F,交 CD 的延 长线于点 G. (1)若∠G=29°,求∠ADC 的度数; (2)若点 F 是 BC 的中点,求证:AB=AD+CD. 【答案】(1)58°;( 2)详见解析 【解析】证明:(1)∵AB∥CD,∴ ∠BAG=∠G, ∠BAD=∠ADC. ∵AF 平分∠BAD,∴∠BAD=2∠BAG=2∠G. ∴∠ADC=∠BAD=2∠G . ∵∠G=29°,∴∠ADC=58°. (2)∵AF 平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG. ∵∠BAG=∠G, ∴∠DAG=∠G. ∴AD=GD. ∵点 F 是 BC 的中点,∴BF=CF. 在△ABF 和△GCF 中, ∵ . BAF G AFB GFC FB FC         , , ∴△ABF≌△GCF. ∴AB=GC. ∴AB=GD+CD=AD+CD. 7.( 2020·福州四十中金山分校初二月考)如图(1), AB=4 cm ,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=BD=3 .点 P 在线段 AB 上以 1 /cms 的速度由点 A 向点 B 运动,同时,点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运 动.它们运动的时间为 t (s). (1)若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,当 =1 时,△ACP 与△BPQ 是否全等,请说明理由, 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系; (2)如图(2),将图(1)中的“AC⊥AB,BD⊥AB”为改“∠CAB=∠DBA=60°”,其他条件不变.设点 Q 的运动速度为 x /cm s ,是否存在实数 ,使得△ACP 与△BPQ 全等?若存在,求出相应的 、 t 的值;若 不存在,请说明理由. 【答案】(1)全等,垂直,理由详见解析;(2)存在, 1 1 t x    或 2 3 2 t x   【解析】(1)当 t=1 时,AP= BQ=1, BP= AC=3, 又∠A=∠B= 90°, 在△ACP 和△BPQ 中, { AP BQ AB AC BP      ∴△ACP≌△BPQ(SAS). ∴∠ACP=∠BPQ , ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*. ∴∠CPQ= 90°, 即线段 PC 与线段 PQ 垂直; (2)①若△ACP≌△BPQ, 则 AC= BP,AP= BQ, 34t t xt    解得 1 1 t x    ; ②若△ACP≌△BQP, 则 AC= BQ,AP= BP, 3 4 xt tt    解得: 2 3 2 t x   综上所述,存在 1 1 t x    或 使得△ACP 与△BPQ 全等. 考点 4:应用“ASA” 或“AAS”判断三角形全等 典例:(2020·山东省初一期中)CD 是经过∠BCA 定点 C 的一条直线,CA=CB,E、F 分别是直线 CD 上两 点,且∠BEC=∠CFA=∠β. (1)若直线 CD 经过∠BCA 内部,且 E、F 在射线 CD 上, ①若∠BCA=90°,∠β=90°,例如左边图,则 BE CF,EF |BE - AF| (填“>”,“<”,“=”); ②若 0°<∠BCA<180°,且∠β+∠BCA=180°,例如中间图,①中的两个结论还成立吗?并说明理由; (2)如右边图,若直线 CD 经过∠BCA 外部,且∠β=∠BCA,请直接写出线段 EF、BE、AF 的数量关系(不 需要证明). 【答案】(1)①=,= ②两结论依然成立,证明见解析 (2)EF=BE+AF 【解析】(1)①∵∠BCA=90°,∠β=90° ∴∠FCA+∠BCF=90°,∠FCA+∠CAF=90° ∴∠BCF=∠CAF 又∵∠BEC=∠CFA,CA=CB ∴△BEC  △CFA(AAS) ∴BE=CF,CE=AF ∴ EFCFCEBEAF ②在△FCA 中,∠CFA+∠FCA+∠CAF=180° 又∵∠BEC=∠CFA=∠β,∠β+∠BCA=180° ∴∠FCA+∠CAF=∠BCA ∵∠BCA=∠BCE+∠FCA ∴∠CAF=∠BCE ∵CA=CB ∴△BEC  △CFA(AAS) ∴BE=CF,CE=AF ∴ (2)在△BEC 中,∠B+∠BEC+∠BCE=180° 又∵∠BEC=∠CFA=∠β,∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°,∠β=∠BCA ∴∠B=∠ACF ∵CA=CB ∴△BEC △CFA(AAS) ∴BE=CF,CE=AF EF=EC+CF=AF+BE 方法或规律点拨 本题考查全等三角形证明以及性质的应用,并结合一定的探究思路,按照题目指引利用 AAS 判别定理解答 即可. 巩固练习 1.( 2020·江苏初三二模)如图,点 A , B , C , D 在同一条直线上, CEDF , AF , ACFD . 求证: AEFB . 【答案】证明见解析. 【解析】证明: C E D F∥ , A C E D   . 又 AF   , A C F D , ACEFDB△ ≌△ , AE FB . 2.( 2020·湖北省初三月考)如图, / /,,ABCDABCDBFAC = 于点 ,F D E A C 于点 E , 求证: A E C F . 【答案】详见解析 【解析】证明: //ABCD , AC , ,BFACDEAC, 90BFA DEC    , 在 ABF 和 C D E△ 中, BFAEDC AC ABCD       ,  ABFCDEAAS△ △ , AFCE, AE CF∴ = . 3.( 2020·重庆市育才中学初二期末)如图△ABC 中,点 E 在 AB 上,连接 CE,满足 AC=CE,线段 CD 交 AB 于 F,连接 AD. (1)若∠DAF=∠BCF,∠ACD=∠BCE,求证:AD=BE; (2)若∠ACD=24°,EF=CF,求∠BAC 的度数. 【答案】(1)证明见解析;(2)52°. 【解析】解:(1) DAFBCF , A F D C F B   , DB   , 又 AC CE , A C D B C E   , ()ACDECBAAS , AD BE; (2) , CAEAEC , E F C F , ECFAEC  , 又 24ACD , A C E 中, 1 (18024 )523EAC  . 4.( 2020·浙江初一月考)△ADE 中,AE=AD,∠EAD=90°. (1)如图(1),若 EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE,交 AD、AE 于点 C、B,连接 BC.请你判断 AB、 AC 是否相等,并说明理由; (2)△ADE 的位置保持不变,将(1)中的△ABC 绕点 A 逆时针旋转至图(2)的位置,CD、BE 相交于 O, 请你判断线段 BE 与 CD 的位置关系及数量关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若 CD=6,试求四边形 CEDB 的面积. 【答案】(1)理由见解析;(2)理由见解析;(3)18. (1)AB=AC. 理由如下: ∵EC、DB 分别平分∠AED、∠ADE ∴∠AEC= 1 2 ∠AED,∠ADB= ∠ADE ∵∠AED=∠ADE ∴∠AEC=∠ADB 在△AEC 和△ADB 中, ∠AEC=∠ADB,AE=AD,∠A=∠A ∴△AEC≌△ADB ∴AB=AC; (2)BE=CD 且 BE⊥CD. 理由如下: ∵∠EAD=∠BAC ∴∠EAB=∠DAC 在△AEB 和△ADC 中, ABAC EABDAC AEAD      , ∴△AEB≌△ADC(SAS) ∴EB=CD ∴∠AEB=∠ADC ∵∠AEB+∠DEB+∠ADE=90° ∴∠ADC+∠DEB+∠ADE=90° ∵∠ADC+∠DEB+∠ADE+∠DOE=180° ∴∠DOE=90° ∴BE⊥CD; (3)四边形 CEDB 的面积= ×BE×CD= 2CD =18. 5.( 2020·山东省初二期中)(1)如图①,直线 m 经过正三角形 ABC 的顶点 A ,在直线 上取两点 D 、E , 使得 60ADBo , 60AEC,求证: BD CE DE. (2)将(1)中的直线 m 绕着点 A 逆时针方向旋转一个角度到如图②的位置,并使 120A D Bo , 120AEC,通过观察或测量,猜想线段 BD , CE 与 DE 之间满足的数量关系,并予以证明. 【答案】(1)证明见解析;(2) C E B D D E ,理由见解析. 【解析】(1)∵在正三角形 ABC 中, 60BAC, ∴ ,120ABCADABCAE 又∵ 120ECACAE  ∴ D A B E C A   在 DAB 和 ECA 中, 60ADBAEC DABECA ABCA       ∴ ≌ ( AAS ) ∴ ADCE , BDAE ∴ BDCEAEADDE (2)猜想: 证明:∵在正三角形 中, ∴ , 60AB CA DAB CAE    ∵ ∴ 60ECA CAE   ∴ 在 和 中 120ADB AEC DAB ECA AB CA          ∴ DAB ≌ E C A ( AAS ) ∴ A D C E , BD AE ∴CEBDADAEDE 考点 5:应用“HL”判断三角形全等 典例:(2020·辽宁初三一模)如图,将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB= ∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点 E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F. (1)求证:AF+EF=DE. (2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转 α,且 0°<α<60°,其他条件不变,请在图②中画出旋转 后的图形,并直接写出(1)中的结论是否仍然成立. (3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转 β,且 60°<β<180°,其他条件不变,如图③.你认为(1)中 的结论还成立吗?若成立,请写出证明过程;若不成立,请写出 AF,EF 与 DE 之间的关系,并说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)成立,理由见解析;(3)不成立,理由见解析; 【解析】(1)如图①所示,连接 BF, ∵BC=BE, 在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中 {BF BF BC BE   ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL), ∴EF=CF, ∴AF+EF=AC=DE; (2)如图②所示: 延长 DE 交 AC 与点 F,连接 BF, 在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中 {BF BF BC BE   ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL), ∴EF=CF, ∴AF+EF=AC=DE; (3)如图③所示: 连接 BF, 在 Rt△BCF 和 Rt△BEF 中 ∴Rt△BCF≌Rt△BEF(HL), ∴EF=CF, ∴AF-FC=AC=DE, ∴AF-EF=DE. 方法或规律点拨 本题主要考查全等三角形的判定及性质,掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键. 巩固练习 1.( 2020·山东初二期中)如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠1=40°,则∠2= A.40° B.50° C.60° D.75° 【答案】B 【解析】解:∵∠B=∠D=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中 BCCD ACAC = =    , ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) ∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°. 故选 B. 2.( 2020·甘肃靖远五中初二期中)如图, ,,BF CE AE BC DF BC   ,要根据“ HL ”证明 RtABERtDCF≌ ,则还要添加一个条件是( ) A. AB DC B. AD  C. BC  D. AEDF 【答案】A 【解析】添加的条件是 AB=CD;理由如下: ∵AE⊥BC,DF⊥BC, ∴∠CFD=∠AEB=90°, ∵ BF CE , ∴ B E C F , 在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中, A B CD B E CE    ∴Rt△ABE=R△DCF(HL) 所以 A 选项是正确的. 3.( 2020·山西省初二期末)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=5cm,在 AC 上取一点 E 使 EC=BC, 过点 E 作 EF⊥AC,连接 CF,使 CF=AB,若 EF=12cm,则 AE 的长为( ) A.5cm B.6cm C.7cm D.8cm 【答案】C 【解析】∵EF⊥AC, ∴∠CEF=90°, 在 Rt△ABC 和 Rt△FCE 中 BCCE BACF    , ∴Rt△ABC≌Rt△FCE(HL), ∴AC=FE=12cm, ∵EC=BC=5cm, ∴AE=AC-EC=12-5=7cm, 故选:C. 4.( 2019·陕西省陕西师大附中初一期末)如图,在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90°,D 为 AB 延长线上 一点,点 E 在 BC 上,且 BE=BD,连接 AE、DE、DC.若∠CAE=30°,则∠BDC=_____. 【答案】75° 【解析】解:延长 AE 交 DC 边于点 F,如图: ∵∠ABC=90°, ∴∠CBD=90°, 在 Rt△ABE 与 Rt△CBD 中, , , BEBD ABBC    ∴Rt△ABE≌Rt△CBD(HL), ∴∠AEB=∠BDC,AB=BC, ∴∠BAC=∠ACB=45°, ∵∠AEB 为△AEC 的外角,∠CAE=30°, ∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+30°=75°, ∴∠BDC=75°. 故答案为:75°. 5.( 2020·山西初三二模)如图所示,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯 BC 的高 AC 与右边滑梯 EF 水平方 向的长度 DF 相等,两滑梯倾斜角∠ABC 和∠DFE 有什么关系?并说明理由。 【答案】∠ABC+∠DFE=90°,理由见解析. 【解析】解:∠ABC+∠DFE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中, BC EF AC D F    ∴Rt△ABC≌Rt△DEF ∴∠ABC=∠DEF 又∵∠DEF+∠DFE=90° ∴∠ABC+∠DFE=90° 6.( 2020·云南初三一模)如图,∠A=∠D=90°,AC=DB,AC、DB 相交于点 O.求证:AB=CD. 【答案】见解析 【解析】证明:在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中, DBAC CBBC    , ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL), ∴AB=DC. 7.( 2020·河南省实验中学初二月考)如图,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,若 BD=CD,BE=CF. (1)求证:AD 平分∠BAC. (2)写出 AB+AC 与 AE 之间的等量关系,并说明理由. 【答案】(1)详见解析;(2)AB+AC=2AE,理由详见解析. 【解析】证明:(1)∵DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F, ∴∠E=∠DFC=90°, ∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形, ∵在 Rt△BDE 与 Rt△CDF 中, , , BD CD BE CF    ∴Rt△BDE≌Rt△CDF, ∴DE=DF, ∴AD 平分∠BAC; (2)AB+AC=2AE. 理由:∵BE=CF,AD 平分∠BAC, ∴∠EAD=∠CAD, ∵∠E=∠AFD=90°, ∴∠ADE=∠ADF, 在△AED 与△AFD 中, , , , EADCAD ADAD ADEADF       ∴△AED≌△AFD, ∴AE=AF, ∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE. 8.( 2019·湖北初二期中)如图,点 B、C、E、F 在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC 于点 C,DF⊥EF 于点 F, AC=DF. 求证:(1)△ABC≌△DEF ;( 2)AB∥DE. 【答案】见解析. 【解析】解:(1)∵AC⊥BC,DF⊥EF ∴∠ACB=∠DFE=90° 又∵BC=EF AC=DF ∴△ABC≌△DEF (2)∵△ABC≌△DEF ∴∠B=∠DEF ∴AB∥DE(同位角相等,两直线平行)
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