数学理（A1）卷·2018届安徽省安庆市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理（A1）卷·2018届安徽省安庆市高二上学期期末考试（2017-01）

安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测 高二数学试题（A1）‎ ‎（必修3、选修2-1）‎ 命题：郑 锋 审题：孙 彦 ‎（考试时间：120分钟 满分150分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.‎ ‎1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是( )‎ A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法 ‎2. 命题“若，则且”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则且 C．若且，则 B．若，则或 D．若或，则 ‎3. 从装有个红球和个白球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的事件是（　　）‎ A．至少有一个红球与都是红球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 B．至少有一个红球与都是白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 ‎4. 已知命题，，那么是（ ）‎ A．，‎ C．，‎ B．，‎ D．，‎ ‎5. 已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面. 下列命题中，正确的是（ ）‎ A．若，，则 C．若，，则 B．若，，则 D．若，，则 ‎6. 我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似．执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（ ）‎ 第6题图 A．2‎ B．4‎ C．6‎ D．8‎ ‎7. 下列说法正确的是（ ）‎ A．“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件 C．，使成立 D．“”必要不充分条件是“”‎ ‎8. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入 (万元)‎ ‎8.2‎ ‎8.6‎ ‎10.0‎ ‎11.3‎ ‎11.9‎ 支出 (万元)‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎8.0‎ ‎8.5‎ ‎9.8‎ 根据上表可得回归直线方程 ，其中，，据此估计，该社区一户收入为万元家庭的年支出为（ ）‎ A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 ‎9. 为比较甲、乙两地某月时的气温情况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论：‎ ‎① 甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；‎ ‎② 甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；‎ ‎③ 甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；‎ ‎④ 甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）.‎ A.①③‎ B.①④‎ 第6题图 C.②③‎ D.②④‎ ‎10. 若如下框图所给的程序运行结果为，则图中的判断框“”中应填入的是( )‎ 第10题图 A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎11. 设点为双曲线（，）上一点，，分别是左右焦点， 是△的内心，若△，△，△的面积，，满足，则双曲线的离心率为（ ）.‎ A．2‎ B．‎ C．4‎ D．‎ ‎12. 抛物线（）的焦点为，准线为，、是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是( )‎ A．‎ B．‎ C．‎ D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横线上.‎ ‎13. 在区间上随机取一个数，则的值介于与之间的概率为_____．‎ ‎14. 已知，，如果是的充分不必要条件，则的取值范围是_____．‎ ‎15. 如图是一个算法流程图，则输出S的值是 ．‎ ‎16. 如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为的中点，抛物线经过，两点，则 ．‎ 第16题图 第15题图 ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程.‎ ‎17. （本题满分10分）“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价元和销售量杯之间的一组数据如下表所示：‎ 价格 ‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7‎ 销售量 ‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎4‎ 通过分析，发现销售量对奶茶的价格具有线性相关关系．‎ ‎（Ⅰ）求销售量对奶茶的价格的回归直线方程；‎ ‎（Ⅱ）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？‎ 注： 已知 .‎ 在回归直线中，，.‎ ‎18.（本题满分12分）设命题函数的定义域为；命题，不等式恒成立. 如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围 ‎19.（本题满分12分）一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是，，，. 现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.‎ ‎（Ⅰ）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于的概率；‎ ‎（Ⅱ）若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字的卡片的概率.‎ ‎20.（本题满分12分）如图，在长方体中，，为中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由．‎ ‎21. （本题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，，内的频率之比为．‎ ‎（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取件产品，求这件产品都在区间内的概率．‎ ‎22.（本题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测 高二数学试题（A1）（必修3、选修2-1）参考答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D D D D B A D B B C A C 二、填空题（每小题4分，共20分）‎ 13. ‎ 14. 15. 16. ‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17. （本题满分10分）解：（Ⅰ），．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以销售量对奶茶的价格的回归直线方程为． …………… 6分 ‎（Ⅱ）由，得．‎ 答：商品的价格定为元． ………… 10分 ‎18.（本题满分12分）解：因为命题“”为真命题，且“”为假命题，所以和一真一假. ………… 2分 命题“函数的定义域为”为真的充要条件是或. ………… 3分 命题 “，不等式恒成立”为真的充要条件是或. …………… 8分 故使命题“”为真命题，且“”为假命题的实数的取值范围是 ‎. …………… 12分 ‎19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）设表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于”.‎ ‎ 抽取三张卡片，三张卡片上数字的全部可能的结果是，，，，其中三张卡片上的数字之和大于的是，，‎ 所以. …………… 5分 ‎（Ⅱ）. …………… 12分 ‎20.（本题满分12分）（Ⅰ）证明：以为原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．‎ 设，则，，，，，‎ 所以，，‎ 所以，故1. …………… 5分 ‎（Ⅱ）解　假设在棱上存在一点，使得∥平面，此时．‎ 又设平面的法向量，因为，，‎ 由⊥平面，得 取，得平面的一个法向量.‎ 要使∥平面，只要⊥，有，解得.‎ 又平面，∴存在点，满足∥平面，‎ 此时. …… 12分 ‎21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）设这些产品质量指标值落在区间内的频率为，‎ 则这些产品质量指标值落在区间，内的频率分别为和． ‎ 依题意得， ‎ 解得．‎ 所以这些产品质量指标值落在区间内的频率为． …………… 4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，这些产品质量指标值落在区间，，内的频率依次为，，．‎ 用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为的样本，‎ 则在区间内应抽取件，记为，，．‎ 在区间内应抽取件，记为，．‎ 在区间内应抽取件，记为． ‎ 设“从样本中任意抽取件产品，这件产品都在区间内”为事件，‎ 则所有的基本事件有：，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，，共种． ‎ 事件包含的基本事件有：，，，，，‎ ‎，，，，，共种． ‎ 所以这件产品都在区间内的概率为． ………… 12分 ‎22.（本题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，‎ 因为椭圆的左焦点为，所以.‎ 设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，‎ 由椭圆的定义知，所以，‎ 所以，从而，‎ 所以椭圆的方程为． …………… 5分 ‎（Ⅱ）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为，‎ 因为直线与椭圆交于两点，.‎ 设点（不妨设），则点，‎ 联立方程组，消去得，所以，，‎ 所以直线的方程为.‎ 因为直线与轴交于点，令得，即点，‎ 同理可得点． ‎ 假设在轴上存在点，使得为直角，则，‎ 即，即． ‎ 解得或． ‎ 故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．‎ ‎…………… 12分