2018-2019学年福建省三明市高二上学期期末质量检测数学（文）试题 解析版

2018-2019学年福建省三明市高二上学期期末质量检测数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 福建省三明市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，即可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是“，”.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要查含有一个量词的命题的否定，只需改量词，改结论，即可，属于基础题型.‎ ‎2．若椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，则的最大值为（ ）‎ A．1 B．3 C．5 D．7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，根据椭圆的第二定义，可得，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 设，由椭圆的第二定义，可得，即，‎ 因为点在椭圆上，所以，所以.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆上的点到焦点的距离问题，可根据椭圆的第二定义求解，属于基础题型.‎ ‎3．如面，该茎叶图记录了甲、乙两个数学竞赛小组各6名学生在一次数学竞赛中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，则实数的值为（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由乙组数据，先确定其众数，再由甲组数据即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由茎叶图可知，乙的众数为，甲的中位数为，‎ 因为甲组数据的中位数等于乙组数据的众数，所以，解得.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查中位数和众数，熟记概念，即可求解，属于基础题型.‎ ‎4．将五进制数化为十进制数为（ ）‎ A．10 B．22 C．110 D．1010‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用所给的五进制数字，从最后一位开始分别乘以5的0次幂，5的1‎ 次幂，再求和，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 五进制数化为十进制数为 ‎.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查其他进位制转化为十进制的问题，只需每个数位上的数字乘以对应的权重，再累加，即可，属于基础题型.‎ ‎5．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解不等式，再由充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解不等式得,‎ 所以由“”能推出“”，反之不成立，‎ 所以“”是“”的充分而不必要条件.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的问题，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎6．从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）‎ A．“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球” B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”‎ C．“都是白球”与“至少有一个黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件和对立事件的概念，逐项判断即可.‎ ‎【详解】‎ 从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，‎ A. “恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不能同时发生，且“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”不能包含所有情况，因此“恰好有两个白球”与“恰好有一个黑球”互斥而不对立；‎ B. “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”交事件不是不可能事件，所以 “至少有一个白球”与“至少有一个黑球”不互斥；‎ C. “都是白球”与“至少有一个黑球”互斥且对立；‎ D. “都是黑球”是“至少有一个黑球”的子事件，因此“至少有一个黑球”与“都是黑球”不互斥.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查互斥事件和对立事件的概念，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎7．双曲线：的顶点到渐近线的距离为（ ）‎ A．3 B．4 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由双曲线的方程写出其顶点坐标，和渐近线方程，根据点到直线的距离公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 双曲线：的一个顶点为，其中一条渐近线为，‎ 所以点到直线的距离为.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查点到直线的距离公式，熟记公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎8．已知，若，则实数的值为（ ）‎ A．-1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，再将代入导函数，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以,‎ 因此,所以.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.‎ ‎9．给出下列三个命题：‎ ‎①命题“，”是真命题；‎ ‎②命题“若，则”的否命题为“若，则”；‎ ‎③命题“若，则”的逆否命题是真命题.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三个二次之间的关系，可判断①；根据否命题的概念，可判断②；根据互为逆否的两个命题的真假性一致，可判断③.‎ ‎【详解】‎ ‎①因为的判别式，所以函数与轴有两个交点，即不可能恒成立，故①错；‎ ‎②命题“若，则” 的否命题为“若，则”，故②错；‎ ‎③命题“若，则”为假命题（时，不成立），所以其逆否命题也为假，故③错.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假判断，熟记相关知识点，即可得出结果，属于基础题型.‎ ‎10．同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则方程有两个不等实根的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由有两个不等实根，确定满足的条件，再用列举法写出其所有包含的基本事件的个数，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为方程有两个不等实根，所以，‎ 又同时投掷两个骰子，向上的点数分别记为，，则共包含36个基本事件，‎ 满足的有共9个基本事件，所以方程有两个不等实根的概率为.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查列举法求古典概型的概率问题，熟记古典概型的概率计算公式即可，属于基础题型.‎ ‎11．某工厂为了对研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价元 ‎9‎ ‎9.2‎ ‎9.4‎ ‎9.6‎ ‎9.8‎ ‎10‎ 销量件 ‎100‎ ‎94‎ ‎93‎ ‎90‎ ‎85‎ ‎78‎ 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从这种线性相关关系，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为（ ）‎ ‎（附：对于一组数据，，…，，其回归直线 的斜率的最小二乘估计值为.参考数值：，）‎ A．9.4元 B．9.5元 C．9.6元 D．9.7元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别求出和，得出回归方程，再设利润为，依题意列出函数解析式，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，，所以，‎ ‎，‎ 故回归方程为；‎ 设该产品的售价为元，工厂利润为元，利润=销售收入-成本，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，取得最大值.‎ 因此，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为9.5元.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性回归方程，最小二乘法求出和，即可求出回归方程，属于常考题型.‎ ‎12．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定函数 在上的单调性，再确定其奇偶性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为在上单调递增，且；在上单调递增，且，‎ 所以已知 在上单调递增，‎ 又，所以为偶函数.‎ 若对任意的恒成立，‎ 则对任意的恒成立,‎ 即对任意的恒成立,‎ 即对任意的恒成立，‎ 所以，‎ 即.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式恒成立的问题，根据函数的单调性和奇偶性，将问题进行转化，即可求出结果，属于常考题型.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，它是由正方形中四个全等的直角三角形和一个小正方形构成.现设直角三角形的两条直角边长为3和4，在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意求出正方形的面积，以及四个直角三角形的面积，进而可求出小正方形的面积，面积之比即为所求概率.‎ ‎【详解】‎ 因为直角三角形的两条直角边长为3和4，所以正方形的边长为，‎ 所以，所以,‎ 因此在正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型，根据题意，将该问题看作与面积有关的几何概型即可，分别求出两个正方形的面积，即可求解，属于基础题型.‎ ‎14．某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为，抽取的样本中高一学生为120人，则实数的值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据高一学生所占的比例，列出等式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，，解得.‎ 故答案为6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分层抽样，熟记分层抽样的相关概念，即可求解，属于基础题型.‎ ‎15．执行如图所示程序框图，则输出的值为__________．‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照程序框图，逐步执行，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 执行程序框图如下：‎ 初始值，，进入循环，‎ ‎，，进入循环；‎ ‎，，进入循环；‎ ‎，，结束循环，输出.‎ 故答案为14‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查程序框图的问题，分析程序的作用，逐步执行即可，属于基础题型.‎ ‎16．已知双曲线：的左焦点为，过原点的直线与相交于，两点，连接，若，，则的离心率为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 记双曲线的右焦点为，连结，，由题意判断，即四边形为矩形，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 记双曲线的右焦点为，连结，，因为，两点关于原点对称，且都在双曲线上，可得，；又，‎ 所以，即四边形为矩形；因此 所以，所以，即；‎ 又，所以离心率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的简单性质，结合双曲线的对称性，即可求出其离心率，属于基础题型.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知抛物线：上一点到焦点的距离为2.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若直线：与抛物线交于，两点，求.‎ ‎【答案】（1）2（2）8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的方程，得出，求出，即可得出结果；‎ ‎（2）联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，以及抛物线弦长公式即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）抛物线焦点为，准线方程为，‎ 因为点到焦点距离为2，所以，解得.‎ ‎（2）抛物线的焦点坐标为，满足直线的方程.故焦点在直线上.‎ 联立，得.‎ 显然，设，，‎ 则，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，根据抛物线的定义即可列出方程求出，进而可求出抛物线方程；求焦点弦的问题，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和弦长公式，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎18．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.我国标准采用世界卫生组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为优；在之间空气质量为良；在之间空气质量为轻度污染.某市环保局从该市2018年上半年每天的日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，将日均值统计如下：‎ 日均值（）‎ 天数 ‎4‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎（1）在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天日均值数据，求其中恰有一天日均值数据在之间的概率；‎ ‎（2）将以上样本数据绘制成频率分布直方图（直接作图）：‎ ‎（3）该市规定：全年日均值的平均数不高于，则认定该市当年的空气质量达标.现以这20天的日均值的平均数来估计2018年的空气质量情况，试预测该市2018年的空气质量是否达标.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）不达标 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用列举法分别列举出“在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天”的事件个数，以及“恰有一个数据在之间”的基本事件数，即可求出结果；‎ ‎（2）结合题中数据，即可求出结果；‎ ‎（3）计算出这20天的日均值的平均数，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由表中日均值数据可知，空气质量为轻度污染的天数共5天，用，，表示抽到的日均值在之间的数据，用，表示抽到的日均值在之间的数据，则在空气质量为轻度污染的数据中，随机抽取两天的数据，‎ 有，，，，，，，，，，共10种，‎ 恰有一个数据在之间的有，，，，，，共6种，‎ 所以恰有一个数据在之间的概率为.‎ ‎（2）样本数据的频率分布直方图如下：‎ ‎（3）这20天的日均值的平均数为 ‎，‎ 所以全年日均值的平均数的估计值为.‎ 因为，‎ 所以，预测该市2018年的空气质量不达标.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查列举法求古典概型的概率，以及频率分布图等问题，熟记公式，即可求解，属于基础题型.‎ ‎19．已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线；命题：函数在上单调递增.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为假命题，且“”为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由命题为真命题，结合函数的单调性，即可求出结果；‎ ‎（2）根据（1）先求出命题为假命题时的取值范围，再由“”为真命题确定为真，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由函数在上单调递增得恒成立，‎ 因为，‎ 即，即在上恒成立，‎ 所以，即，‎ 因为命题为真命题，所以.‎ ‎（2）由已知命题为假命题，为真命题，故真假，‎ 由（1）知，命题为假命题，可得.‎ 由为真命题，得，即.‎ 故，得.‎ 所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围问题，先判断出命题的真假，再结合命题的内容，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎20．已知函数在处取得极值.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，根据函数 在处取得极值，求出；‎ ‎（1）将代入解析式，再由导数的方法求出其在处的切线斜率，进而可求出结果；‎ ‎（2）函数有三个零点，等价于方程有三个不等实根，也即是函数与直线有三个不同的交点，由导数的方法研究函数的极值，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 由题意知，所以，即.‎ 所以.‎ ‎（1）当时，，，‎ 所以，，‎ 所以在处的切线方程为，即.‎ ‎（2）令，则.‎ 设，则与的图象有三个交点.‎ ‎，‎ 所以当变化时，，的变化情况为 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以，.‎ 又当时，；当时，，‎ 所以，即.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，以及导数的几何意义；对于求函数在某点的切线方程，只需对函数求导，求出切线斜率，再由点斜式求出切线方程即可；对于函数零点问题，可转化为两个函数图像交点的问题，由导数的方法研究函数的极值，进而可求出结果.‎ ‎21．已知椭圆：过点，且点到椭圆两焦点的距离之和为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设，是椭圆上异于顶点的两点，是椭圆：上的点，且，其中为坐标原点，求证：直线与的斜率之积为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意求出即可求出椭圆方程；‎ ‎（2）先设，，，根据，得到三者坐标之间的关系，再由，是椭圆上的点，在椭圆上，即可得到和的关系，进而可证明结论成立.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由椭圆定义可知，，即，‎ 又因为椭圆过，所以，所以.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，.‎ 因为，所以，.‎ 因为，是椭圆上的点，所以，，‎ 在椭圆上，所以.‎ 所以，‎ 即，‎ 所以，即.‎ 直线与的斜率之积.‎ 故直线与的斜率之积为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆中直线斜率之积为定值的问题，通常需要分别表示出直线的斜率，直接计算即可，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果；‎ ‎（2）先分离参数，将原式化为，求的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）的定义域为，，‎ ‎①当时，，所以的减区间为，无增区间.‎ ‎②当时，令得；令得；‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 综上可知，当时，的减区间为，无增区间；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）因为，即.‎ 因为，所以.‎ 设，.‎ 显然在上是减函数，.‎ 所以当时，，是增函数；‎ 当时，，是减函数.‎ 所以的最大值为.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的应用，常用到分类讨论的方法来处理；对于不等式恒成立求参数的问题，通常分离出参数，结合导数的方法求解，属于常考题型.‎