【推荐】专题2-8 函数与方程-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学
【真题回放】
1．【2017课标3理11】已知函数有唯一零点，则a=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【考点解读】本题考查函数零点的判定定理，函数的单调性、数形结合能力及化归思想和分类讨论的思想等，属于难题。解题可通过等价转化为函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．
2.【2017山东理10】已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】当时， ， 单调递减，且，
单调递增，且 ，此时有且仅有一个交点；当时， ，在 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需 选B.
【考点解读】本题考查了函数的图象、函数与方程及函数性质的综合应用。注意对分类思想的运用。
3.【2017高考江苏理14】设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，
其中集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .
【答案】8
【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合D的解读）
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
函数的零点
B
二分法
A
函数与方程是运用函数思想解决方程问题，体现了函数的统领作用。这部分内容要求学生掌握零点的概念（三种等价表达），零点判定定理及二分法，进一步感悟函数思想及数形结合的思想方法。高考对该部分考查主要为，求函数的零点所在区间，判断零点的个数，已知零点求参数的取值范围等。解决问题中要注意数形结合思想的运用。
融会贯通
题型一 确定函数零点所在的区间
典例1. （1）(2017海口中学高一期末) 方程的根所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，方程的根就是函数的零点，
因为是单调递增函数，且， ，所以
函数的零点所在区间是，因此方程的根所在区
间是，故选B.
（2）(2017福州模拟)若a
0，f(b)<0，f(c)>0，
∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
（3）（2017银川一中模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
（4）（2017兰州模拟）已知函数没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ，则原函数可化为
解题技巧与方法总结
确定函数零点所在区间的方法
1．解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．
2．利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否
有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
3．数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式训练】
（1）(2017嘉兴模拟)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0
所在的区间是________．
【答案】 (1,2)
【解析】 设f(x)＝x3－x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y＝x3与y＝x－2的图象，如图所示．
因为f(1)＝1－－1＝－1<0，f(2)＝8－0＝7>0，所以f(1)f(2)<0，所以x0∈(1,2)．
（2）（2017哈尔滨模拟）已知是自然对数的底数，函数的零点为，函
数的零点为，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
（3）（2017兰州模拟）已知， 是方程的两个解，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
知识链接：
知识点1 函数的零点
1．函数零点的定义；
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
2．三个等价关系；
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
3．函数零点的判定(零点存在性定理)；
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，
函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0
的根．
题型二 确定函数零点的个数
典例2. （1） (2016济南模拟)已知函数f(x)＝cos x－logx，则f(x)在其定义域上零点的个数为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解析】令f(x)＝0，得cos x＝logx，画出函数y＝cos x和y＝log x的图象，
如图所示：
显然函数在有1个交点，在有2个交点，
∵cos 3π＝－1，log3π＝－lg 3π>－1，函数y＝logx在(0，＋∞)上递减，
∴两个函数在有2个交点，共5个交点，故选C.
（2）(2017石家庄一中高一期末)已知函数，则函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当x≤0时，y=f[f（x）]﹣1=x+1+1﹣1=0，解得x=﹣1，当0＜x≤1时，y=f[f（x）]﹣1=log2x+1﹣1=0，解得x=1，当x＞1时，y=f[f（x）]﹣1=log2（log2x）﹣1=0，解得x=4，综上所述函数的零点的个数为3个，故选：C
（3）（2017衡水金卷）设定义在区间[﹣k，k]上的函数是奇函数，且，若[x]表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k﹣6的零点，则[x0]=（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．3
【答案】C
(4)（2017武汉模拟）已知符号函数sgn(x)＝则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点个数为________．
【答案】3
【解析】sgn(ln x)＝故函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点有3个，分别为；e, 1， .
解题技巧与方法总结
判断函数零点个数的方法
1．解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【变式训练】
（1）（2017甘肃天水一中高一期末）函数的零点的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
两个函数的图像有两个交点，即函数有两个零点，应选答案C。
（2）(2017三明高三检测)函数f(x)＝的零点个数是________．
【答案】 2
【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．
当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，
f(3)＝ln 3>0，f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点．综上，函数f(x)的零点个数为2.
（3）（2017石家庄一中模拟）已知函数的周期为,当时,
如果
，则函数的所有零点之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
（4）（2017届四川双流中学高三月考）记表示不超过的最大整数，如，.设函数，若方程有且仅有个实数根，则正实数的取值范围为（ ）
A． B．
C. D．
【答案】B
知识链接：
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
必会结论
(1)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
必知联系
(1)研究方程f(x)＝g(x)的解，实质就是研究G(x)＝f(x)－g(x)的零点．
(2)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
(3)f(a)·f(b)<0是f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件．
题型三 函数零点的应用
典例3.（1）（2017兰州模拟）设函数，且关于的方程恰有3 个不同的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不妨设 ,则,
所以 ,因此 ,选D.
(2)(2017银川模拟)若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
（3）（2017银川一中高考模拟）已知函数的周期为,当时,
如果，则函数的所有零点之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知,在同一坐标系中分别画出函数的图象和 的图象,如下图所示,
当 时, 为增函数,且 ,当时,
,两个函数的图象没有交点,根据它们的图象都是关于直线
对称,结合图象知有8个交点,利用对称性,这8个交点的横坐标之和为
,即所有零点之和为8.选A.
（4）（2017衡水金卷）已知是定义在上的单调函数，且对任意的，都有，则方程的解所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解题技巧与方法总结
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
【变式训练】
（1）（2017兰州模拟）定义； ， ，若 有四个不同的实数解，则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知当 时，，当时，
，作出函数和的图象如下：
其中红色线为的图象，由图可知当时，直线和函数有4个不同的公共点，
故方程有四个不同的实数解，故选D.
（2）（2017镇江市高三一模）已知函数与函数的图象共有（）个公共点：， ，… ，，则 ．
【答案】2
（3）（2017衡水金卷）设是定义在上的偶函数，且时，当时， ，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】由已知在上递减， 是偶函数，则在上递增，
又，即的图象关于直线对称，因此在上递减，在上递增（实际上是周期为4的周期函数），，方程在区间内有4个根，即函数与函数的图象有4个交点，如图，
所以且，解得，故选D．
（4）（2017北京海淀区一模）已知函数，关于的方程（）有四个不同的实数解，，，则的取值范围为 ．
【答案】 （0,1）
（5）（2017石家庄高三联考）对于函数，若其定义域内存在两个不同实数，使得成立，则称函数具有性质，若函数具有性质，则实数的取值范围为__________．
【答案】
课本典例解析与变式
例1.【必修1第八十八页例1】求函数的零点的个数.
【解析】用计算器或计算机作出x,f(x)的对应值表与图像如下:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
由上表和图可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0,这说明函数f(x)在区间（2，3）内有零点．
由于函数f(x)在定义域（0，+∞）内是增函数,所以它仅有一个零点．
【原题解读】本题为运用函数思想解决方程的求解问题，需要理解零点的概念（三种等价的解释）。
由函数思想丰富了求解方程的思路。感受函数思想的作用及数形结合的方法。
变式1. (2015湖北高考) 函数的零点个数为_________.
【答案】.
变式2.（2016届宁夏银川一中期中）已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)的对应表
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
136.13
15.552
－3.92
10.88
－52.488
－232.064
则函数f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]
【答案】C
【解析】因为f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，所以在区间[2,3]，[3,4]，[4,5]内有零点．
变式3.（2016兰州模拟）已知实数满足，则函数的零点所在的区间
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，，
.所以零点在区间.
变式4.（2016山东高考）已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.
【答案】
【课本回眸反思】
1. 注重运用概念思考解决教材中的例题。例题常常是高考题目生成和变化的源头；
2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；
3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。
练习检测
1.（2017甘肃武威高一期末) 方程的根所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
考点：零点判定定理
2.(2017梅州模拟)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点即2x|log0.5x|－1＝0的解，即|log0.5x|＝x的解，
作出函数g(x)＝|log0.5x|和函数h(x)＝x的图象，由图象可知，两函数图象共有两
个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．
考点：零点的概念
3．(2017襄阳模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
【答案】 D
考点：函数的奇偶性及零点的概念
4.（2017广东高三七校联考）若函数的零点在区间上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】单调递增, ,故选C.
考点：函数的单调性与零点的概念
5.（2017届黑龙江宝清县高三质检）若偶函数，，满足，且 时，，则方程在内的根的个数为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】D
【解析】,将原命题转化为方程组
在内的根的个数，进而转化为交点个数，易得是偶函数，先做出两函数在上的图象，从而得到两函数在上有个交点，再根据偶函数的性质可得两函数在上有个交点，从而可得方程在内的根的个数为个，故选D.
考点：函数的性质与零点的概念
6.（2017衡水金卷）已知函数其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
考点：零点的概念与函数的性质
7.（2017衡水金卷）定义域为R的偶函数满足对任意的，有且
当时， ，若函数在上恰有六个零点，
则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，则，所以，所以，即函数的周期为，由此可画出函数和
的图像如下图所示.由图可知
， ，故.
考点：函数的奇偶性与周期性，零点概念及数形结合的数学思想方法.
8.（2017开封高三一模）已知函数， （），
设方程， ， 的实根的个数为分别为、、，则
（ ）
A. 9 B. 13 C. 17 D. 21
【答案】B
极小值为，极大值为. 方程的实根为方程
或或的根，显然方程有3个根，方程与各有１个根，从而方程，实根的个数为5，即n=5；记方程除0外的另外两个实根分别为， 可知，方程的实根为方程或或的根，显然方
程有3个根，方程与各有１个根，从而方程根的个数为5，即t=5，故13.故选B.
考点：零点的概念及复合函数和换元法。
9．(2017昆山模拟)函数f(x)＝ 则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．
【答案】
考点：零点概念
10.（2016天津河东区高三一模）已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)
【解析】 设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，
y2＝a|x－1|的图象如图所示．
由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点，且4个交点的横坐标都小于1，所以有两组不同解．消去y得
x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a＞0，即a2－10a＋9＞0，
解得a＜1或a＞9，又由图象得a＞0，∴0＜a＜1或a＞9。
考点：零点概念及数形结合法
11.（2016南京市、盐城市高三二模）已知函数,当时,关于的方程的所有解的和为 ．
【答案】10000
考点：函数的零点及数列求和
12．（2017福州外国语学校月考）若函数在区间，内各有一个零点，
则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵函数在区间，内各有一个零点，∴，
即 ，画出可行域，如图所示，表示的内部区域，
其中．目标函数，即加上点与点连线
的斜率．数形结合可得，的最小值趋于 ，的最大值趋
于，故的最小值趋于，最大值趋于．所以答案应填：．
考点：简单线性规划的应用；函数零点的存在定理．
13.（2017衡水模拟）设和是定义在同一个区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”.若与在上是“关联函数”，则的取值范围是 ．
【答案】
考点：函数零点概念及新定义问题
14．（2017天水模拟）已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程．
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及内各有一个零点，求实数a的范围．
【答案】见解析
考点：函数零点及命题真假判定．
