数学（理）卷·2018届吉林省吉林油田实验中学高二下学期期中考试（2017-05）

数学（理）卷·2018届吉林省吉林油田实验中学高二下学期期中考试（2017-05）

油田实验中学2016-2017学年度第二学期期中考试 高 二 数 学 试 题（理科）‎ 命题人：陈洪岩 2017.5.9‎ ‎（本卷共2页．满分为150分．考试时间120分钟．只交答题页）‎ 第I卷（选择题, 共60分）‎ 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．复数z＝的共轭复数是 (　　)‎ A.＋i B.－i C．1－i D．1＋i ‎2. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有 （ ）‎ A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 ‎3．下列积分的值等于1的是 （ ）‎ A． B. C． D．‎ ‎4. 若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋内装有6个白球，6个红球，今从两袋里任意取出1个球，设取出的白球个数为ξ，则下列概率中等于 的是(　　)‎ A．P(ξ＝0)　　　 B．P(ξ≤2) C．P(ξ＝1) D．P(ξ＝2)‎ ‎5．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以＞0”，你认为这个推理 （ ） ‎ A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的 ‎ ‎6．本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 用反证法证明“如果a>b，那么＞”假设的内容应是 （ ）‎ A. = B. ＜ ‎ ‎ C. =且＜ D. =或＜‎ ‎8．设函数的导函数为，且，则 （ ）‎ A．0‎ B．‎ C．‎ D．2‎ ‎9．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （ ）‎ A．40种 B.60种 C. 100种 D. 120种 ‎10．展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75 C． 0.6 D．0.45‎ ‎12．已知有极大值和极小值，则的取值范围为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ 第II卷（非选择题, 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．若复数为纯虚数，则实数的值等于　　　　　．‎ ‎14．若，则的值为__________.‎ ‎15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝3－4+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.‎ ‎16． 展开式中的系数是 .‎ 三、解答题（本题共6小题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（本小题满分10分）设随机变量X的分布列P＝ak，(k＝1、2、3、4、5)．‎ ‎(1)求常数a的值；‎ ‎(2)求P(X≥)；‎ ‎(3)求P.‎ ‎18.（本小题满分12分）三个女生和五个男生排成一排．‎ ‎ （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？‎ ‎ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？‎ ‎ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？‎ ‎ （4）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？‎ ‎19. （本小题满分12分）已知的第5项的二项式系数与第3 项的二项式系数之 比为14:3,求n及展开式中的常数项．‎ ‎20.（本小题满分12分）袋中有4个红球、3个黑球，随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．‎ ‎(1)求得分X的分布列；‎ ‎(2)求得分大于6分的概率．‎ ‎21.（本小题满分12分）在数列中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）．‎ ‎（1）写出此数列的前5项；‎ ‎（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.‎ ‎(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．‎ 班级 姓名 学号 ‎ 装 订 线 参考答案 一 选择题：（本大题共12小题，每小题5分）‎ ‎1 B 2D 3 C 4 C 5 A 6 A 7 D 8 B 9 B 10 A 11A 12 D 二 填空题 （本大题共4小题，每题5分，共20分）‎ ‎ ‎ ‎13 、 0 。 14 、 1 。‎ ‎15、 2x-y+4=0 。 16、 。‎ 三 解答题 ‎17．(10分) [解析]　(1)由a·1＋a·2＋a·3＋a·4＋a·5＝1，得a＝.‎ ‎(2)因为分布列为P＝k (k＝1、2、3、4、5)‎ 解法一：P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝；‎ 解法二：P＝1－＝1－＝.‎ ‎(3)因为＜X＜，只有X＝、、时满足，故P＝P＋P＋P ‎＝＋＋＝.‎ ‎18．（12分）‎ ‎ ‎ ‎(1) 4320； ‎ ‎(2) 14400； ‎ ‎(3) 14400； ‎ ‎(4) 720‎ ‎19.（12分） 解：第三项的二项式系数为，第五项的二项式系数为，由第三项与第五项的二项式系数之比为可得n＝10，‎ 则＝，‎ 令40－5r＝0，解得r＝8，故所求的常数项为.‎ ‎20．（12分）解：(1)从袋中随机摸4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红．‎ 分别得分为5分，6分，7分，8分．故X的可能取值为5,6,7,8.‎ P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝， P(X＝7)＝＝， P(X＝8)＝＝.‎ 故所求分布列为 X ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ P ‎(2)根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.‎ ‎ 21．（12分）‎ 解：（1）由已知，，分别取，‎ 得，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以数列的前5项是：，．‎ ‎（2）由（1）中的分析可以猜想．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，公式显然成立．‎ ‎②假设当时成立，即，那么由已知，‎ 得，即，‎ 所以，即，‎ 又由归纳假设，得，‎ 所以，即当时，公式也成立．‎ 由①和②知，对一切，都有成立．‎ ‎ ‎ ‎22．（12分）‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3. ‎ f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.‎ ‎(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．‎ 令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎①若00等价于即 解不等式组得－52，则0<<.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－，0)‎ ‎0‎ ‎(0，)[]‎ ‎(，)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  当x∈[－，]时，‎ f(x)>0等价于即 解不等式组得

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