2017-2018学年吉林省扶余市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年吉林省扶余市第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省扶余市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，集合满足，则集合的个数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意得到为的子集，确定出满足条件的集合的个数即可 详解：集合，集合满足，‎ 则满足条件的集合的个数是 故选 点睛：本题是基础题，考查了集合的子集，当集合中有个元素时，有个子集。‎ ‎2．函数在上有唯一零点，则的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：函数有唯一零点，则即可 详解：函数为单调函数，且在上有唯一零点，‎ 故 ‎，解得 故选 点睛：函数为一次函数其单调性一致，不用分类讨论，为满足有唯一零点列出关于参量的不等式即可求解。‎ ‎3．函数的值域是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由于函数在上是减函数，且，利用单调性求得函数的值域 详解：函数在上是减函数，且，‎ 当时，函数取得最小值为 当时，函数取得最大值为 故函数的值域为 故选 点睛：本题主要考查的是指数函数的单调性，求函数的值域，较为基础。‎ ‎4．已知集合，则图中阴影部分表示的集合为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：图中阴影部分表示的集合为，解出集合，再进行集合运算即可 详解：‎ 图中阴影部分表示的集合为 故选 点睛：本题主要考查了图表达集合的关系及交、并、补的运算，注意集合 的限制条件。‎ ‎5．下列函数中，即是奇函数，又在上单调递增的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：对四个选项分别进行判断即可得到结果 详解：对于，，，‎ ‎，不是奇函数，故错误 对于，，，当时，，函数在上不单调，故错误 对于，函数在上单调递减，故错误 故选 点睛：对函数的奇偶性作出判断可以用其定义法，单调性的判断可以根据函数的图像性质，或者利用导数来判断。‎ ‎6．在一次投篮训练中，某队员连续投篮两次.设命题是“第一次投中”，是“第二次投中”，则命题“两次都没有投中目标”可表示为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：结合课本知识点命题的否定和“且”联结的命题表示来解答 详解：命题是“第一次投中”，则命题是“第一次没投中”‎ 同理可得命题是“第二次没投中”‎ 则命题“两次都没有投中目标”可表示为 故选 点睛：本题主要考查了，以及的概念，并理解为真时，，中至少有一个为真。‎ ‎7．若函数为奇函数，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：运用奇函数的定义，可得，再计算即可 详解：函数为奇函数，‎ 故选 点睛：本题主要考查的是奇函数的定义，分段函数的应用，属于基础题。根据函数奇偶性的性质是解题的关键 ‎8．已知函数，满足和均为偶函数，且，设 ‎，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据函数的奇偶性和周期性求出，然后即可得到答案 详解：由题意可得：‎ 故，周期为 故选 点睛：本题考查了函数的奇偶性和周期性，运用周期性进行化简，结合已知条件求出结果，本题的解题方法需要掌握。‎ ‎9．函数的图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出函数的定义域，求导，根据导数的符号可得函数的单调性，得到答案 详解：，则 且当时，‎ 则函数在区间单调递减，在区间单调递增 由函数图象的对称性可知应选 点睛：本题运用导数来画出函数图像，可以先判断其奇偶性，然后求导得出单调性，继而给出图像。‎ ‎10．给出下列四个五个命题：‎ ‎①“”是“”的充要条件 ‎②对于命题，使得，则，均有；‎ ‎③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程 没有实数根，则”；‎ ‎④函数只有个零点；‎ ‎⑤使是幂函数，且在上单调递减.‎ 其中是真命题的个数为：‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由充分必要条件的判定方法判断①，写出特称命题的否定判断②，‎ 根据逆否命题与原命题的等价性，只需要判断原命题的真假即可判断③正确，求出方程的根即可判断④正确，求出时是幂函数，且在上单调递减，故⑤正确 详解：对于①，由得到，由可得 是的必要不充分条件，‎ ‎“”是“”的必要不充分条件，故①是假命题 对于②，对于命题，使得，则，均有；根据含量词的命题的否定形式，将与互换，且结论否定，故正确 对于③，命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则”，满足逆否命题的形式，故正确 对于④函数，令可以求得，函数只有个零点，故正确 对于⑤，令，解得，此时是幂函数，且在上单调递减，故正确 综上所述，真命题的个数是 故选 点睛：本题主要考查的是命题的真假判断，根据各知识点即可进行判断，本题较为基础。‎ ‎11．已知定义在上的函数的图象关于对称，且当时，单调递增，若，则的大小关系是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意可得函数为偶函数，再根据函数的单调性，以及指数函数和对数函数的性质比较即可得到结果 详解：定义在上的函数的图象关于对称，‎ 函数的图象关于轴对称 即函数为偶函数 ‎，，‎ 当时，单调递增 故选 点睛：本题利用函数的奇偶性和单调性判断函数值的大小，根据单调性的概念，只要判定输入值的大小即可判断函数值的大小。‎ ‎12．已知函数满足，函数.若函数与的图象共有个交点，记作，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题意求解，的对称中心点坐标的关系，即两个图象的交点的关系，即可解得答案 详解：函数满足，‎ 即函数关于点对称 函数 即函数关于点对称 函数与的图象共有个交点即在两边各有个交点 ‎，则共有组，故，‎ 故选 点睛：‎ 本题结合函数的对称性考查了函数交点问题，在解答此类题目时先通过化简求得函数的对称中心，再由交点个数结合图像左右各一半，然后求和，本题有一定难度，解题方法需要掌握。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知，则_____________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：根据，可得，，再由对数的运算法则可求结果 详解：‎ 可得：，‎ 点睛：本题主要考查的是对数的运算性质，指数是与对数式的互化，属于基础题。‎ ‎14．函数的定义域为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：令即可求出定义域 详解：令 ‎，，解得 综上所述，函数的定义域为 点睛：在求定义域时找出题目中的限制条件，有分母的令分母不等于零，有根号的令根号里面大于或者等于零，对数有自身的限制条件，然后列出不等式求出定义域。‎ ‎15．已知函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则方程的实根个数为____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：函数是偶函数，还是周期函数，画出函数图像，转化为的图像交点问题来求解 详解：，‎ 则，周期为 当时，‎ 由图可得，则方程的实根个数为 点睛：本题主要考查的是抽象函数的应用，关键在于根据题意，分析出函数的解析式，作出函数图象，考查了学生的作图能力和数形结合的思想应用，属于中档题。‎ ‎16．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由条件可得①，②，由单调递增的定义可知 ③，由①②③求得交集即可得到答案 详解：函数在上单调递增，‎ 时为增，即 ①‎ 时也为增，即有 ②‎ 又由单调递增的定义可知 ③‎ 由②可得 由③可得 故的取值范围为 点睛：本题考查了分段函数的应用，考查了函数的单调性及其应用，助于分段函数的分界点的情况，是一道中档题，也是易错题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设全集为.‎ ‎（Ⅰ）求 C；‎ ‎（Ⅱ）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：⑴化简集合，根据集合的运算法则即可求出结果 ‎⑵化简集合，根据得到，即可求得答案 详解：由得，即 ‎ 由，得，即 ‎ ‎（Ⅰ）由已知得C，∴ C ‎ ‎（Ⅱ）∵，∴ ‎ 又∵，∴有 解得 ‎ 所以的取值范围为. ‎ 点睛：本题是一道基础题，主要考查了集合的运算法则。在语句中，将其转化子集问题，即可求出结果。‎ ‎18．已知函数，且.‎ ‎（Ⅰ）若是偶函数，当时，，求时，的表达式；‎ ‎（Ⅱ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：⑴根据偶函数性质，当时，，求出表达式 ‎⑵复合函数同增异减，并且满足定义域 详解：（Ⅰ）∵是偶函数，所以，又当时，‎ ‎∴当时，，∴， ‎ 所以当时，. ‎ ‎（Ⅱ）因为在上是减函数， ‎ 要使在有意义，且为减函数，则需满足 解得,∴所求实数的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查了复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数范围。‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在区间和上各有一个零点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析：⑴结合图像知，求出的取值范围 ‎⑵分类讨论对称轴的位置，根据单调性满足在区间上恒大于零，求出的取值范围 详解：（Ⅰ）因为函数在区间和上各有一个零点，‎ 所以有 解得 ‎ 所以的取值范围为： ‎ ‎（Ⅱ）要使在区间上恒成立，需满足 或或 解得：无解或 或 无解 所以 ‎ 所以的取值范围为：. ‎ 点睛：本题考查了函数零点问题，由根的存在性定理结合函数图像列出关于参数的不等式组，从而得到结果，在求恒成立问题时需要进行分类讨论，然后求解。‎ ‎20．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.‎ ‎（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；‎ ‎（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得 ‎⑵构造，然后利用已知代入证明 详解：（Ⅰ）是偶函数 由已知得，∴，，∴‎ ‎，即，所以是偶函数.‎ ‎（Ⅱ）设，则，∴ ‎ 所以，所以在上为增函数.‎ 因为，又是偶函数，所以有，解得 ‎∴不等式的解集为.‎ 点睛：本题证明了抽象函数的奇偶性和单调性，在解答此类题目时方法要掌握，按照基本定义来证明，先求出和的值，然后配出形式，单调性要构造，然后按照已知法则来证明。‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）判断函数在区间上零点的个数.‎ ‎【答案】(1) 当时，的最小值为； 当时，的最小值为;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：⑴求导后分类讨论的取值，结合单调性求出最小值 ‎⑵分离参量，转化为图像交点问题 详解：（Ⅰ）因为， ‎ ‎①当时，，所以在上是增函数，无最小值； ‎ ‎②当时，又得，由得 ‎∴在上是减函数，在上是增函数， ‎ 若，则在上是减函数，则；‎ 若，则在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴‎ 综上：当时，的最小值为； ‎ 当时，的最小值为 ‎（Ⅱ）由得 令，则，由得，由得，所以在上是减函数，在上是增函数，‎ 且，且，当时，，‎ 所以，当时，无有零点；‎ 当或时，有1个零点；‎ 当时，有2个零点.‎ 点睛：本题考查了含有参量的导数题目，依据导数，分类讨论参量的取值范围，来求出函数的单调性，从而得到最小值，在零点个数问题上将其转化为两个图像的交点问题。‎ ‎22．选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.点的直角坐标为，直线与曲线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）写出点的极坐标和曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求点到两点的距离之积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】分析：⑴由极坐标方程求出点的极坐标，运用求得曲线的普通方程 ‎⑵将代入，求出直线的参数方程，然后计算出结果 详解：（Ⅰ）由得，又得，∴点的极坐标为. ‎ 由得，所以有，由得 ‎，所以曲线的普通方程为：. ‎ ‎（Ⅱ）因为，点 在上，∴直线的参数方程为：‎ ‎， ‎ 将其代入并整理得，设所对应的参数分别为，且有， ‎ 所以.‎ 点睛：本题考查了极坐标和普通方程之间的转化，运用代入化简即可，在求距离时可以运用参数方程来解答，计算量减少 ‎23．选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若不等式无解,求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的最小值为,求实数的值．‎ ‎【答案】(1);(2). ‎ ‎【解析】分析：⑴化简不等式得，利用不等式性质转化为时满足题意，求出实数的取值范围 ‎⑵由代入化简不等式得不等式组，结合单调性求出最小值 详解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∵，当时取等号，‎ ‎∴要使不等式无解，只需，解得或， ‎ 则实数的取值范围为：.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以，∴‎ 在上是减函数，在上是增函数， ‎ 所以，解得适合.‎ 点睛：本题考查了含有绝对值不等式的解答，运用不等式的性质进行化简，求出最值，当参数确定范围时，代入进行化简得到函数的表达式，根据单调性求出结果。‎