广西南宁市第三中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题

广西南宁市第三中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题

南宁三中2018～2019学年度上学期高二月考（一）‎ 数学试题 一、 选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．已知数据x1，x2，x3，…，x100是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(约100万元)，则相对于x，y，z，这101个数据(　　)‎ ‎　　A．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 ‎　　B．平均数变大，中位数可能不变，方差也不变 C．平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变 D．平均数变大，中位数可能不变，方差变大 ‎２．下列有关命题的说法错误的是（ ）‎ ‎　 A．若“”为假命题，则与均为假命题；‎ ‎　 B．“”是“”的充分不必要条件；‎ ‎　 C．若命题，则命题；‎ ‎　 D．“”的必要不充分条件是“”.‎ ‎3．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)‎ A． B． C． D． ‎4．与命题“”等价的命题是　(　　)‎ ‎ A.　　　　　 B.‎ ‎　 C.　　　　　 D.‎ ‎5．将八进制数135(8)化为二进制数为(　　)‎ A．1110101(2) 　 B．1011101(2) 　　　 C．1010101(2) D．1111001(2)‎ ‎6．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为(　 )‎ A． 　　 B．　　 ‎ C．　　 D． ‎7．对于下列表格中的五对数据，已求得的线性回归方程为＝，则实数m的值为(　　)‎ ‎196‎ ‎197‎ ‎200‎ ‎203‎ ‎204‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎7‎ m A．8 B．‎8.2 ‎　　 　　　C．8.4 D．8.5‎ ‎8．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出的值是，则整数的值为(　　)‎ A．4 　　　　 B．5　　　　‎ C．6 　　　 D．7‎ ‎9．设p:,q:,若q是p的必要不充 ‎ 分条件,则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线 的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线为 （ ）‎ ‎　 A． B． C． D．‎ ‎11．设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满 足，则的值为 ( )‎ ‎ A． B．‎1 ‎ C．2 D．不确定 ‎12．已知椭圆C:()的右焦点为F，短轴的一个端点为M,直线l:交椭圆C于A、B两点,若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆C的离心率的取值范围为( )‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为 .‎ ‎14．有下列命题:‎ ‎ ①“”是“”的充要条件;‎ ‎ ②“”是“一元二次不等式的解集为R”的充要条件;‎ ‎ ③“”是“直线平行于直线”的充分不必要条件;‎ ‎ ④“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎ 其中真命题的序号为 . ‎ ‎15．已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”为真，则参数的取值范围是　　　　　　　．‎ ‎16． 已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 . ‎ 三、解答题（６小题，共70分）‎ ‎17．（10分）在中，内角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18．（12分）已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，.‎ ‎ （Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）求数列的前n项和.‎ ‎19．(12分)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通指数为T，其范围为[0，10]，有五个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段(T≥2)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的部分频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）请补全直方图，并求出轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段各有多少个；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从交通指数在[4，6)，[6，8)，[8，10]的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；‎ ‎（3）从（2）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．‎ ‎ ‎ ‎0.25‎ ‎ ‎ ‎20．（12分）如图，四边形是矩形，沿对角线将折起，使得点在平面上的射影恰好落在边上．‎ ‎ （1）求证：平面平面；‎ ‎ （2）（理科做）当时，求二面角的余弦值．‎ ‎（2）（文科做）当AB=2,AD=1时，求点B到平面ADC的距离.‎ ‎21．（12分）已知双曲线C:的离心率为,且.‎ ‎ （1）求双曲线C的方程;‎ ‎ （2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上,求的值.‎ ‎22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ 南宁三中2018～2019学年度上学期高二月考（一）数学参考答案 ‎1．D　[解析] 因为数据x1，x2，x3，…，x100是杭州市100个普通职工2016年10月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x101比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．故选D.‎ ‎２.D解析：因为“”“”但“”“”所以“”的必要不充分条件是“”这个说法是错误的.‎ ‎3．C　[解析] 由题意知基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共6个，其中满足数字之和为奇数的共4个，故所求概率为＝.‎ ‎4．C【解析】其等价的命题为其逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3.‎ ‎5．B　[解析] 先将八进制数135(8)化为十进制数93，再化为二进制数．‎ ‎6．B　[解析] 设正方形的边长为2，那么图中阴影区域的面积，而正方形的面积S2＝4，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率P＝＝，故选B. ‎ ‎7．A　[解析] 依题意得， ，回归直线必经过样本点的中心，于是有＝0.8×200－155，由此解得m＝8，选A.‎ ‎８．A [解析] 由题知S＝1＋＋＋＋＝1＋1－＝，所以a＝4.‎ ‎9．A [解析] 由2x2-x-1≤0,得≤x≤1.由x2-(‎2a-1)x+a(a-1)≤0,得a-1≤x≤a.因为q是p的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件（或p是q的必要不充分条件）,所以a-1≥且a≤1(等号不能同时取得),得≤a≤1.‎ ‎10．B 解析：因为，所以，故选Ｂ.‎ ‎11．C【解析】由题意设焦距为‎2c，椭圆的长轴长‎2a，双曲线的实轴长为‎2m，‎ 设P在双曲线的右支上，由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=‎2m ①‎ 由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=‎2a ②‎ 又∵∴，可得∠F1PF2=900，‎ 故|PF1|2+|PF2|2=‎4c2③‎ ‎①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=‎2a2+‎2m2‎④‎ 将④代入③，化简得a2+m2=‎2c2，即，可得，‎ 因此，.‎ 故答案为：C ‎12．A [解析] 如图所示,设F'为椭圆的左焦点,连接AF',BF',则四边形AFBF'是平行四边形,‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=‎2a,∴a=2.不妨取M(0,b),‎ ‎∵点M到直线l的距离不小于,∴≥,解得b≥1,‎ ‎∴e==≤=,‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是.‎ ‎13．400　[解析] 设青年、中年、老年职员的人数分别为10k，8k，7k，其中k>0.由 ＝0.2，得k＝40，所以该单位青年职员共有40×10＝400(人)．‎ ‎14．④ [解析] ①当x>2且y>3时,x+y>5成立,反之不一定,所以“x>2且y>‎3”‎是“x+y>‎5”‎的充分不必要条件,故①为假命题;‎ ‎②不等式的解集为R的充要条件是a<0且b2‎-4ac<0,故②为假命题;‎ ‎③当a=2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则=,所以a=2,因此,“a=‎2”‎是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=‎1”‎的充要条件,故③为假命题;‎ ‎④lg x+lg y=lg(xy)=0,所以xy=1且x>0,y>0,所以xy=1必成立,‎ 反之不然,因此“xy=1”是“lg x+lg y=‎0”‎的必要不充分条件,故④为真命题.‎ 综上可知,真命题是④.‎ ‎15．(－3，＋∞)． 解：由已知得¬p：∀x∈[1，2]，x2＋2ax＋2－a≤0成立．‎ 所以设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，‎ 则所以 解得a≤－3，‎ 因为¬p为假，所以a＞－3，‎ 即a的取值范围是(－3，＋∞)．‎ ‎16．16 解析：如图：‎ ‎ 同理 ‎17．【解析】（1）在中，由，可得，‎ 又由，得，‎ ‎∴，得……………………5分 ‎（2）由，可得，则 ‎……………………10分 ‎18．【解析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由已知，得，而，所以.‎ 又因为，解得.所以，.……………………3分 由，可得 ①.‎ 由，可得 ②，‎ 联立①②，解得，，由此可得.……………………6分 所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.‎ ‎（II）解：设数列的前项和为，‎ 由，，有，‎ 故，……………………8分 ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎ ‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.……………………12分 ‎19．解：(1)补全直方图如图所示．……………………2分 由直方图可知：(0.1＋0.2)×1×20＝6，‎ ‎(0.25＋0.2)×1×20＝9，(0.1＋0.05)×1×20＝3.‎ 所以这20个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵的路 段分别为6个、9个、3个．……………………5分 ‎ (2)由(1)知三个路段共有6＋9＋3＝18(个)，按分层抽样从18个路段中抽取6个，由×6＝2，×9＝3，×3＝1，得这三个级别路段中分别抽取的个数为2，3，1. ……………………8分 ‎ (3)记(2)中选取的2个轻度拥堵路段为A1，A2，3个中度拥堵路段为B1，B2，B3，1个严重拥堵路段为C1，‎ 则从这6个路段选取2个路段的可能情况有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B3，C1)，共15种可能．……………………10分 其中至少有1个路段为轻度拥堵的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，‎ ‎(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，共9种可能．‎ 所以所选2个路段中至少1个为轻度拥堵的概率为＝.……………………12分 ‎20．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）设点在平面上的射影为点，连接，‎ 则平面，所以．‎ 因为四边形是矩形，所以，‎ 所以平面，··································2分 所以．························3分 又，,所以平面，··············5分 而平面，所以平面平面．··············6分 ‎（理科）（2）以点为原点，线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 设，则，所以．················7分 由（1）知，又，所以，，‎ 那么，，‎ ‎，························8分 所以，所以，‎ 设平面的一个法向量为，则，即．‎ 取，则所以···················10分 因为平面的一个法向量为，···················11分 所以 所求二面角的余弦值为．···················12分 ‎（文科）（2）作交于F，由（1）知平面BCD,‎ ‎ 平面ADC ··············8分 F 又由（1）知平面ABD,‎ ‎··············10分 点B到平面ADC的距离为··············12分 ‎21．解:(1)由题意得解得所以b2=c2-a2=2,‎ 所以双曲线C的方程为x2=1. ……………………5分 ‎ (2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).‎ 由得x2-2mx-m2-2=0,因为判别式Δ=‎8m2‎+8>0, …………8分（判别式占1分）‎ 所以x0==m,y0=x0+m=‎2m.因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,所以m2+(‎2m)2=5,‎ ‎故m=±1. ……………………12分 ‎22. 【解析】（1）由题意知，，∴‎ 当直线AB的斜率为0时， .‎ ‎ 解得得.‎ ‎∴椭圆的方程为.……………………4分 ‎（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知.……5分 ‎②当两弦斜率均存在且不为0时，由（1）知，，‎ 设直线AB的方程为，则直线CD的方程为.‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得，………………7分 解得，.‎ ‎.……………………8分 同理,. ……………………9分 ‎.‎ 令，则，.‎ 设 ‎.‎ 综合①与②可知，的取值范围是……………………12分