2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．从3台甲型和4台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为（ ）‎ A. 60 B. 30 C. 20 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】用间接法解答，总的取法有种. 全部是甲型的有种，全部是乙型的有种，所以至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法数为35-1-4=30种，故选B.‎ ‎2．若，则等于（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:先化简的值.‎ 详解：由题得，‎ 所以，‎ 所以=1，所以=.‎ 故答案为：D 点睛：本题易错选B,主要是对导数的定义理解不清，,‎ 中自变量的增量是，所以分母中必须是，‎ 根据极限的运算必须化成之后，才能化成导数.‎ ‎3．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的奇数共有（ ）‎ A. 36个 B. 48个 C. 66个 D. 72个 ‎【答案】D ‎【解析】因为零不能在首位， 在末位和在末位两种情况，千位是种情况，十位和百位从剩余的个元素中选两个进行排列有种结果， 位奇数有， 位奇数有，根据分类计数原理知共有，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎4．的展开式中的系数为（ ）‎ A. B. 84 C. D. 280‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.‎ 点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.‎ ‎5．设为曲线上的点，且曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是，则点的横坐标的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：切线的斜率k=tanθ∈[0，1]．设切点为P（x0，y0），k=y′|x=x0=2x0+2，上此可知点P横坐标的取值范围．‎ 详解：∵切线的斜率k=tanθ∈[tan0，tan]=[0，1]．‎ 设切点为P（x0，y0），于是k=y′|x=x0=2x0+2∈[0,1]‎ ‎∴x0∈[﹣1，﹣]．‎ 故答案为：C 点睛：（1‎ ‎）本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)函数y=f(x)在点x=处的切线的斜率等于在这点的导数,这就是导数的几何意义，常用来解答与切线有关的问题.‎ ‎6．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据条件判断函数的奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．‎ 详解：∵f（x）=﹣x3﹣7x+sinx，‎ ‎∴f（﹣x）=x3+7x﹣sinx=﹣（﹣x3﹣7x+sinx）=﹣f（x），则f（x）是奇函数，‎ 函数的导数f′（x）=﹣3x2﹣7+cosx＜0，则函数f（x）是减函数，‎ 则由f（a2）+f（a﹣2）＞0，得f（a2）＞﹣f（a﹣2）=f（2﹣a），‎ 得a2＜2﹣a，即a2+a﹣2＜0，‎ 得﹣2＜a＜1，‎ 即实数a的取值范围是（﹣2，1）.‎ 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查函数奇偶性的判断、函数单调性的判断及其运用，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2) 抽象的函数不等式,一般利用函数的单调性解答，先研究函数的单调性，再把不等式化成的形式，再利用函数的单调性把抽象的函数不等式转化成具体的函数不等式解答.‎ ‎7．如图，阴影部分的面积是（ ）.‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．‎ ‎(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．‎ ‎(3)若y＝f(x)为奇函数，则 ＝0.‎ ‎8．若，则 的解集为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求导，再解不等式得解集.‎ 详解：由题得 所以x＞2或x＜-1，因为x>0,所以x>2.‎ 所以的解集为.‎ 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查求导和解分式不等式，主要考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)解答本题时，容易漏掉函数的定义域，错选C,由于不等式是函数的不等式，所以解答不等式时，首先要考虑函数的定义域，注意定义域优先的原则.‎ ‎9．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求导，再求切线的倾斜角 ，再化简，最后把代入求值.‎ 详解：由题得 ‎=‎ ‎=.‎ 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查三角恒等变换求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本计算能力. (2)解答本题的关键在 ‎，这里利用了，提高了解题效率.‎ ‎10．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A. 函数有极大值和极小值 B. 函数有极大值和极小值 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题图可知，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，．由此可以得到函数在处取得极大值，在处取得极小值．故选D.‎ ‎【考点】1、利用导数判断函数的单调性；2、利用导数求函数的极值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程求出函数定义域内的所有根；（4）列表检查在的根左右两侧的符号，如果左正右负，那么在处取极大值，如果左负右正，那么在处取极小值.‎ ‎11．若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：令f（x）=（x≥e），则f′（x）=≤0，可得函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，即可得出．‎ 详解：令f（x）=（x≥e），则f′（x）=≤0，‎ ‎∴函数f（x）在[e，+∞）上单调递减，‎ ‎∴a=＞b=＞c=，‎ 即a＞b＞c．‎ 故答案为：B 点睛：（1）本题主要考查导数研究函数的单调性及单调性的运用等基础知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力. (2)解答本题的关键是观察到已知的特点联想到构造函数f（x）=（x≥e），再利用导数研究函数的单调性.解答数学题要注意观察然后展开联想.‎ ‎12．设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令g（x）=xf（x），g′（x）=xf′（x）+f（x），‎ 当x∈（﹣1，1）时，xf′（x）+f（x）＜0，‎ ‎∴g（x）在（﹣1，1）递减，‎ 而g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=﹣xf（x）=﹣g（x），‎ ‎∴g（x）在R是奇函数，‎ ‎∵f（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，‎ 即g（x）在区间（0，+∞）上的唯一零点为2，‎ ‎∴g（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增，‎ g（0）=0，g（2）=0，g（﹣2）=0，‎ 如图示：，‎ x≥0时，f（x）＜0，即xf（x）＜0，由图象得：0≤x＜2，‎ x＜0时，f（x）＜0，即xf（x）＞0，由图象得：﹣2＜x＜0，‎ 综上：x∈（﹣2，2），‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则的最小值为___________‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】分析：求出原函数的导函数，由=2a+b=2，得a+=1，把变形为+后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．‎ 详解：由f（x）=ax2+bx，得=2ax+b，‎ 又f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，‎ 所以=2a+b=2，即a+=1．‎ 则=+=（+）（a+）=5++≥9．‎ 当且仅当=，即a=，b=时“=”成立．‎ 所以的最小值是9．‎ 故答案为：9‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是=+=（+）（a+），这里利用了常量代换的技巧，即把常量“1”用“a+”代替，这样后面就可以利用基本不等式求最值了.‎ 常量代换这个技巧要注意理解掌握并灵活运用.‎ ‎14．设函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析: 首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，进而分析可得y=f（x）图象的大致形状及走向，可知函数图象的变化情况，可知方程f（x）=a有3个不同实根，求得实数a的值．‎ 详解: ,令 所以当或时,,当时,.‎ 所以f（x）的单调递增区间是,单调递减区间是 .‎ 当时，f(x)有极大值；当时，f(x)有极小值 .‎ 由上分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，‎ ‎∴当时，函数y=f(x)的图象与直线x=a有3个不同交点，‎ 即方程f（x）=α有三解．‎ 故答案为：‎ 点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性和极值，考查导数研究函数的零点，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及数形结合思想. (2) 高中数学函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的是方法（2）.‎ ‎15．已知，则的值为______‎ ‎【答案】233‎ ‎【解析】分析：根据题意，在（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，令x=0可得a0=243，设y=（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，求出其导数，分析可得=﹣10=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，令x=1可得a1+2a2+3a3+4a4+5a5的值，将其值相加即可得答案．‎ 详解：根据题意，（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5中，‎ 令x=0可得：35=a0，即a0=243，‎ 设y=（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，‎ 其导数y′=﹣10（3﹣2x）4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4，‎ 令x=1可得：﹣10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5，‎ 则a0+a1+2a2+3a3+4a4+5a5=243﹣10=233；‎ 故答案为：233‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用和导数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力基本的计算能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到赋值法，令x=0可得a0=243，令x=1可得﹣10=a1+2a2+3a3+4a4+5a5.其二是要看到要想到求导.‎ ‎16．已知函数若有且只有一个整数解，则的取值范围为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意可得a＞（x+1）ex﹣2x，设g（x）=（x+1）ex﹣2x，求得导数和单调性，可得最值，画出图象，即可得到所求a的范围．‎ 详解：函数f（x）=（x+1）ex﹣2x﹣a，若f（x）＜0有且只有一个整数根，‎ 可得a＞（x+1）ex﹣2x，‎ 设g（x）=（x+1）ex﹣2x，‎ 导数为=（x+2）ex﹣2，‎ ‎=0，x＞0时，（x+2）ex﹣2＞0，g（x）递增；‎ 当x＜0时，（x+2）ex﹣2＜0，g（x）递减，‎ 可得g（x）在x=0处取得最小值1，‎ 由a＞（x+1）ex﹣2x有且只有一个整数根，‎ 由下图可得1＜a≤2，‎ 故答案为：（1，2]‎ 点睛：（1）本题主要考查导数和根的分布，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合思想及分析推理转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是想到分离参数，a＞（x+1）ex﹣2x，这样提高了解题效率.其二是数形结合观察图像.(3)注意等号问题，本题可以取等1＜a≤2，不要漏掉了右边的等号.‎ 三、解答题 ‎17．（1）求函数过点的切线方程。‎ ‎（2）曲线在处的切线与直线的距离为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】分析：（1）直接利用导数的几何意义求函数过点的切线方程.（2）先利用导数求切线的斜率，再设直线的方程为，利用两直线的距离为求直线的方程．‎ 详解：（1）设切点为，由题得所以切线的斜率为 所以切线的方程为 所以切线方程为.‎ ‎（2）的导数为 在点处的切线斜率为：，则曲线在点处的切线方程为：，设直线，由，解得，或．‎ 则有直线的方程为：或．‎ 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和直线的方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)本题是易错题，“过点”，该点不一定是切点，“在 处”，该点一定是切点，如果不知道该点是不是切点，一般先设切点，再求切线的斜率，求直线的方程.‎ ‎18．2017年5月14日,第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行,为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度,某机构随机抽取了年龄在15-75岁之间的100人进行调查, 经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ 中老年 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎(1)根据已知条件完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？‎ ‎(2)现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查.在这9人中再选取3人进行面对面询问,记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X,求X的分布列及数学期望.‎ 附:参考公式，其中 临界值表：‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) 有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关(2) ‎ ‎【解析】试题分析：(1)依题意完成列联表，计算，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样法，得出随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出的分布列，计算出数学期望值.‎ 试题解析：(1)依题意可知,抽取的“青少年”共有人,“中老年”共有人.‎ 完成的2×2列联表如：‎ 关注 不关注 合计 青少年 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 中老年 ‎35‎ ‎20‎ ‎55‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 则 因为， ，所以有的把握认为关注“一带一路” 和年龄段有关 ‎(2)根据题意知,选出关注的人数为3,不关注的人数为6,在这9人中再选取3人进行面对面询问, 的取值可以为0,1,2,3,则 ‎, , , .‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的分布列为数学期望 ‎19．某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲比赛活动．‎ ‎(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；‎ ‎(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；‎ ‎(3)设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P(B)和P(B|A)．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ ‎【解析】试题分析：(1)根据题意可得ξ的所有可能取值为0,1,2，再求出ξ取每一个值的概率,可得ξ的分布列.(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C,求得P(C)＝,则所求概率为P()＝1－P(C)可得结果.‎ ‎(2)求出男生甲被选中、女生乙被选中的概率和男生甲、女生乙都被选中的概率,即可得出结论.‎ 试题解析：(1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝.‎ ‎∴ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，‎ 则P(C)＝＝＝.‎ ‎∴所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.‎ ‎(3)P(B)＝＝＝；P(B|A)＝＝＝.‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1），求得斜率，且切点，由此得到切线方程为；（2）若在上单调递增，等价于函数的导数恒大于零，分离参数得，令，利用导数求得的最大值为，所以.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，∵，即， ‎ ‎∴ 所求切线方程为，即 ‎（2），∵在上单调递增，∴在上恒成立，‎ ‎∴在上恒成立，令， ‎ ‎，令，则，‎ ‎∵在上；在上，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴， ‎ ‎∴，‎ ‎∴实数的取值范围为 ‎【考点】函数导数与不等式．‎ ‎【方法点晴】本题考查函数导数与不等式的问题，解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎ ‎21．已知函数 (， 为自然对数的底数).‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）的最大值为1.‎ ‎【解析】分析：（1）先求导，再对a分类讨论，求函数的单调性得到函数的极值.(2)先把问题转化为关于的方程 在上没有实数解，再转化为方程化为没有实数解，得k的最大值.‎ 详解：（1） ，‎ ‎①当时， ， 为上的增函数，所以函数无极值.‎ ‎②当时，令，得， .‎ ‎， ； ， .‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.‎ 综上，当时，函数无极小值；‎ 当， 在处取得极小值，无极大值.‎ ‎（2）当时， .‎ 直线与曲线没有公共点，‎ 等价于关于的方程在上没有实数解，‎ 即关于的方程 在上没有实数解.‎ ‎①当时，方程可化为，在上没有实数解.‎ ‎②当时，方程化为.‎ 令，则有 令，得，‎ 当变化时， 的变化情况如下表：‎ ‎-1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 当时， ，同时当趋于时， 趋于，‎ 从而的取值范围为.‎ 所以当时，方程无实数解，‎ 解得的取值范围是.‎ 综上，得的最大值为1.‎ 点睛：（1）本题主要考查导数求函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些基础知识的掌 握能力和分析推理能力、数形结合思想和分类讨论思想.(2)解答本题的有两个关键点，其一 是把问题转化为关于的方程 在上没有实数解，其二是再转化为方程 化为没有实数解，得k的最大值.转化的数学思想是高中数学的重要思想，要理 解掌握并灵活运用.‎ ‎22．已知函数 ‎（1）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：对于任意大于的正整数，都有.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由题得在区间上恒成立，分离参数可得实数a的取值范围.(2)先证明，再利用累加法证明.‎ 详解：（1）∵所以,‎ ‎∵函数在区间上为增函数，∴对任意区间上恒成立.‎ ‎∴对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立.∵时，，‎ ‎∴，即所求正实数a的取值范围是.‎ ‎（2）当a=1时，，,‎ 当x＞1时，，故f(x)在上是增函数.‎ 当n＞1时，令，则当x＞1时，‎ 所以，‎ 所以 所以 即 所以 即对于任意大于 则正整数 ，都有 点睛：（1）本题主要考查导数的性质和导数研究恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.(2)本题的关键有两点，其一是想到给a赋值，当a=1时，,其二是想到给x赋值，当n＞1时，令，则当x＞1时，从而得到.‎