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文档介绍
【推荐】专题2-1+椭圆-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版(选修1-1)x
2.1 椭 圆 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于_________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的集合描述:设点M是椭圆上任意一点,点F1,F2是椭圆的焦点,则由椭圆的定义,椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,0<|F1F2|<2a}. 2.椭圆的标准方程的推导过程 如图,给定椭圆,它的焦点为F1,F2,焦距|F1F2|=2c(c>0),椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a(a>c). (1)建系:以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy.那么焦点F1,F2的坐标分别为_________,_________. (2)列式:设M(x,y)是椭圆上任意一点,由椭圆的定义得|MF1|+|MF2|=2a,即 . (3)化简:上式整理可得.令,可得(a>b>0). 3.椭圆的标准方程 椭圆的标准方程有两种形式: (1)焦点落在x轴上的椭圆的标准方程为(a>b>0),焦点为F1 (-c,0),F2 (c,0),焦距为_________,且_________,如图1所示; (2)焦点落在y轴上的椭圆的标准方程为(a>b>0),焦点为F1 (0,-c), F2 (0,c),焦距为_________,且_________,如图2所示. 图1 图2 图3 注:椭圆方程中,a表示椭圆上的点到两焦点的距离的和的一半,可借助于图3记忆.正数a,b,c恰好构成一个直角三角形,其中a是斜边,所以a>b,a>c且,其中c是焦距的一半.对于图2中的椭圆,关系式a>b,a>c且也始终成立. 4.椭圆(a>b>0)的简单几何性质 (1)范围 易知,故,即;同理. 故椭圆位于直线和所围成的矩形框里. (2)对称性 在方程中,以代替或以代替或以代替、以代替,方程都不改变,故椭圆关于x轴、y轴和原点都对称.原点为椭圆的对称中心,也称为椭圆的中心. (3)顶点 椭圆与x轴、y轴分别有两个交点,这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点,叫做椭圆的顶点. 其中x轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴,y轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴,长轴长为_________,短轴长为_________. 说明:依据椭圆的四个顶点,可以确定椭圆的具体位置. (4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的_________. 离心率能够刻画椭圆的扁平程度.椭圆的扁平程度由离心率的大小确定,与椭圆的焦点所在的坐标轴无关,e越大椭圆越扁,e越小椭圆越圆. 5.椭圆,(a>b>0)的几何性质比较 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 图形 范围 , , 对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点 焦点 左焦点F1 (-c,0),右焦点F2 (c,0) 下焦点F1 (0,-c),上焦点F2 (0,c) 顶点 轴 线段A1A2,B1B2分别是椭圆的长轴和短轴; 长轴长|A1A2|=2a,短轴长|B1B2|=2b,长半轴长为a,短半轴长为b 离心率 e 6.求曲线方程的常用方法 求曲线的方程,一般有下面几个步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)坐标表示点M满足的条件;(3)化方程为最简形式.若遇到某些点虽适合方程,但不在曲线上时,可通过限制方程中x,y的取值范围予以剔除.常用方法如下: 方法一 直接法.根据题中的已知条件能直接建立所求曲线上的动点(x,y)的横纵坐标x,y满足的关系式,从而得到曲线方程.这是求曲线方程最基本的方法. 方法二 定义法.若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出曲线方程. 方法三 代入法(即相关点法).若动点P(x,y)依赖于另一个动点Q(x1,y1)的变化而变化,且已知动点Q(x1,y1)满足的条件或轨迹方程,则可用x,y表示x1,y1,并代入已知条件或轨迹方程,整理即得动点P的轨迹方程. K知识参考答案: 1.常数 2.(-c,0) (c,0) 3.2c b2+c2 2c b2+c2 4. 2a 2b 离心率 K—重点 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质 K—难点 椭圆标准方程的应用(以椭圆的标准方程为载体,与其他知识综合) K—易错 忽略椭圆定义中的限制条件、焦点的位置、椭圆的范围而致错 对椭圆的两种标准方程的理解 对于方程, ①表示焦点在x轴上的椭圆且; ②表示焦点在y轴上的椭圆且; ③表示椭圆且. 对于方程, (1)若该方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围为________________; (2)若该方程表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为________________; (3)若该方程表示椭圆,则实数m的取值范围为________________. 【答案】(1)(2,10);(2)(-6,2);(3)(-6,2)∪(2,10) . 【解析】(1)由题意可知,解得,故实数m的取值范围为(2,10). (3)由题意可知,解得且,故实数m的取值范围为(-6,2)∪(2,10). 【名师点睛】对于形如:Ax2+By2=1(其中A>0,B>0,A≠B)的椭圆的方程,其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况,当B>A时,表示焦点在x轴上的椭圆;当B<A时,表示焦点在y轴上的椭圆. 椭圆的定义及其标准方程的应用 椭圆的定义给出了一个结论:椭圆上的点P到两焦点F1,F2的距离的和为常数2a,则已知椭圆上一点到一焦点的距离就可以利用|PF1|+|PF2|=2a求出该点到另一焦点的距离. 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,点P在椭圆上. (1)若点P到焦点F1的距离等于1,则点P到焦点F2的距离为________________; (2)过F1作直线与椭圆交于A, B两点,则的周长为________________; (3)若,则点P到焦点F1的距离为________________. 【答案】(1)3;(2)8;(3). (3)在中,由余弦定理可得, 即,由椭圆的定义可得,两式联立解得. 【名师点睛】在椭圆中,由三条线段,,围成的三角形称为椭圆的焦点三角形,涉及椭圆的焦点三角形的问题,可结合椭圆的定义:求出结果,因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.同时应注意勾股定理、正弦定理、余弦定理等的灵活应用. 由椭圆方程研究简单几何性质 描点法画椭圆的步骤: ①依据椭圆的范围变形方程,得到椭圆在第一象限内的图象对应的函数关系式; ②取点(x,y),列表、描点; ③用平滑的曲线连接各点,即得到椭圆在第一象限内的图象; ④利用椭圆的对称性画出整个椭圆. 求椭圆9x2+25y2=225的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆. 【答案】见解析. 【解析】将椭圆的方程化为标准形式得,得a=5,b=3,则. 因此,长轴2a=10,短轴长2b=6,离心率. 焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3). 将方程变形为,根据可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x,y),列表如下: x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 先描点,再用光滑曲线顺次连接这些点,得到椭圆在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆,如上图所示. 【名师点睛】解决此类问题时,应先把椭圆方程化成标准形式,注意分清焦点的位置,这样便于写出a,b的值,再根据c2=a2-b2求出c,进而求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质. 求椭圆的标准方程 (1)定义法求椭圆的标准方程的步骤:①由焦点坐标确定方程形式;②由椭圆的定义求出a;③由求出b.(也可采用待定系数法进行求解,主要步骤可归纳为:先定型,再定量). (2)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤(通常采用待定系数法):①确定焦点位置;②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);③根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有,等. 求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点分别为,,且经过点; (2)经过点,; (3)长轴长与短轴长的和为18,焦距为6; (4)经过点,且离心率; (5)经过点,且与椭圆有相同的焦点; (6)经过点,且与椭圆有相同的离心率. 【答案】(1);(2);(3)或;(4)或;(5);(6)或. 【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为. 方法2:因为所求椭圆过点,所以. 又,联立解得,,所以所求椭圆的标准方程为. (2)方法1:若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为. 由已知条件得,解得,所以所求椭圆的标准方程为. 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为. 由已知条件得,解得,由于,与矛盾,故舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为. 方法2:设椭圆的一般方程为. 将点,代入一般方程,得,解得,, 所以所求椭圆的标准方程为. (4)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为, 由题意,得,因为,所以,从而, 所以所求椭圆的标准方程为; 当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为, 由题意,得,因为,解得,从而, 所以所求椭圆的标准方程为. 综上,所以所求椭圆的标准方程为或. (5)方法1:求出焦点坐标,则可转化为(1)的形式,此处不再赘述. 方法2:设所求椭圆的方程为,将点M的坐标代入可得, 解得舍去.故所求椭圆的标准方程为. (6)方法1:求出离心率,由a,b,c之间的关系及方程过点N,列方程组即可求解,此处不再赘述. 方法2:设所求椭圆的方程为或, 将点N的坐标代入可得或,即,, 故所求椭圆的标准方程为或,即或. 【名师点睛】(1)若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为,从而避免讨论. (2)在椭圆的简单几何性质的应用中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个. (3)与椭圆有相同焦点的椭圆方程可设为且,与椭圆有相同离心率的椭圆方程可设为,焦点在x轴上或,焦点在y轴上. 求椭圆的离心率 离心率是椭圆的重要几何性质,也是高考命题的重点,求解方法一般有两种: ①易求a,c,代入求解;易求b,c,由求解;易求a,b,由求解. ②列出含a,c的齐次方程,列式时常用公式代替式子中的b,然后将等式两边同时除以a的n次方(一般除以a或a2),从而利用转化为含e的方程,解方 程即可.但应注意. (1)设F1,F2是椭圆E:的左、右焦点,P为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则椭圆E的离心率为_______________; (2)如图1,在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,B1,B2为椭圆的四个顶点,F为其右焦点,直线A1B2与直线B1F相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点,则该椭圆的离心率为_______________. 【答案】(1);(2). 【解析】(1)如图2,设直线交x轴于D点,因为是底角为的等腰三角形,则有,因为,所以,,所以,即,即,即,所以椭圆E的离心率. 图1 图2 (2)设F(c,0),则. 又点M在椭圆上,所以,整理得, 两边同时除以,可得,解得或(舍去). 【名师点睛】在解一元二次方程时得出的根一般有两个,此时要根据椭圆的离心率 进行根的取舍,否则易产生增根. 与椭圆有关的轨迹问题 求解有关椭圆的轨迹问题,一般有如下两种思路: ①首先通过题干中给出的等量关系列出等式,然后化简等式得到对应的轨迹方程; ②首先分析几何图形所揭示的几何关系,然后对比椭圆的定义,设出对应椭圆的标准方程,求出其中a,b的值,得到标准方程. 如图1,在圆C:(x+1)2+y2=36内有一点A(1,0),点Q为圆C上一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,求点M的轨迹方程. 图1 图2 【答案】. 故点M的轨迹方程为. 直线与椭圆的位置关系 (1)判断直线与椭圆的位置关系时,一般把二者方程联立得到方程组,判断方程组解的个数,方程组有几个解,直线与椭圆有几个公共点,方程组的解对应公共点的坐标.由直线与椭圆的公共点个数求参数的取值范围时,联立二者方程消元化为一元方程,对于二次方程依据判别式与0的大小关系求解. (2)求直线与椭圆的相交弦长时,可以先求出两个公共点的坐标,代入两点间距离公式, 也可以联立方程消元为二次方程,利用根与系数的关系得到. 已知直线,椭圆C:.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 【答案】(1);(2);(3). 【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组, 消去y,得 ①,判别式. (3)当,即或时,方程①没有实数解, 可知原方程组没有实数解,这时直线l与椭圆C没有公共点. 【名师点睛】联立方程组后,消去x还是消去y都可以,这是不影响最终计算结果的. 如图,已知斜率为1的直线l过椭圆C:的下焦点,交椭圆C于A,B两点,则弦AB的长等于_______________. 【答案】 【解析】设A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2). 由椭圆方程知,,所以, 所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0,-2),故直线l的方程为y=x-2. 将其代入,化简整理得,所以,, 所以. 【名师点睛】解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法,解题步骤为: (1)设直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2); (2)联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x或y的一元二次方程; (3)利用根与系数的关系设而不求; (4)利用题干中的条件转化为x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2,进而求解. 忽略椭圆定义中的限制条件从而导致错误 (1)已知F1,F2为两定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 (2)若方程表示椭圆,则实数k的取值范围为________________. 【错解】(1)由椭圆的定义知点M的轨迹是椭圆,故选A. (2)由,可得,所以实数k的取值范围为(6,8). 【错因分析】(1)中忽略了椭圆定义中|F1F2|<2a这一隐含条件;(2)中忽略了椭圆标准方程中a>b>0这一限制条件,当a=b>0时表示的是圆的方程. 【名师点睛】准确理解椭圆的定义,明确椭圆定义中的限制条件,才能减少解题过程中的失误,从而保证解题的正确性. 忽略对椭圆焦点位置的讨论从而导致错误 已知椭圆的标准方程为,并且焦距为8,则实数k的值为_____________. 【错解1】因为2c=8,所以c=4,由椭圆的标准方程知a2=36,b2=k2,a2=b2+c2, 所以36=k2+42,即k2=20,又k>0,故. 【错解2】因为2c=8,所以c=4,由椭圆的标准方程知a2=k2,b2=36,a2=b2+c2, 所以k2=36+42,即k2=52,又k>0,故. 【错因分析】当椭圆的焦点位置不确定时,求椭圆的标准方程需要进行分类讨论,而错解中忽略了对椭圆的焦点位置的讨论,从而导致错误. 【正解】因为2c=8,所以c=4, ①当焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程知a2=36,b2=k2,a2=b2+c2, 所以36=k2+42,即k2=20,又k>0,故; 【名师点睛】涉及椭圆方程的问题,如果没有指明椭圆焦点所在的位置,一般都会有两种可能的情形,不能顺着思维定式,想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解. 忽略椭圆的范围从而导致错误 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率,已知点到椭圆的最远距离为,求椭圆的标准方程. 【错解】由题意可设椭圆的标准方程为, 则,故,即. 设椭圆上的点到点P的距离为d, 则, 所以当时,取得最大值,从而d取得最大值, 所以,解得,. 故所求椭圆的标准方程为. 【错因分析】错解中“当时,取得最大值”这一步的推理是错误的,没有考虑椭圆方程中y的取值范围,事实上,由于点在椭圆上,所以,因此在求的最大值时,应分类讨论. 设椭圆上的点到点P的距离为d, 则, 若,则当时,取得最大值,从而d取得最大值, 于是,解得,与矛盾,故, 所以当时,取得最大值,从而d取得最大值, 所以,解得,. 故所求椭圆的标准方程为. 【名师点睛】准确把握椭圆定义中的限制条件,是正确解题的前提,在求解时,应做到步步有依据,这样才能避免出错. 1.已知椭圆,焦点在轴上,若焦距为,则等于 A. B. C. D. 2.椭圆的一个焦点坐标是 A. B. C. D. 3.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则点到另一个焦点的距离为 A. B. C. D. 4.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则 A. B. C. D. 5.已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长是 A. B. C. D. 6.离心率为,长轴长为的椭圆的标准方程是 A. B.或 C. D.或 7.如果椭圆上一点到此椭圆一个焦点的距离为,是的中点,是坐标原点,则的长为 A. B. C. D. 8.设椭圆的左、右焦点分别为,,是上的点,,,则的离心率为 A. B. C. D. 9.椭圆上横坐标为的点到右焦点的距离为_______________. 10.已知椭圆,则离心率等于_______________. 11.已知方程表示椭圆,则实数的取值范围为_______________. 12.若椭圆的离心率,则实数的值为_______________. 13.已知椭圆的中心在原点,两焦点,在轴上,且过点.若,求椭圆的标准方程. 14.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率. 15.已知椭圆,,点在椭圆上,且,其中为坐标原点,则点的坐标为 A. B. C. D. 16.已知为椭圆的左,右焦点,点在上,,则等于 A. B. C. D. 17.椭圆的左,右焦点分别为,弦过,若△的内切圆周长为,两点的坐标分别为,则值为 A. B. C. D. 18.已知椭圆上有一点,它关于原点的对称点为,点为椭圆的右焦点,且满足,设,且,则该椭圆的离心率的取值范围为 A. B. C. D. 19.椭圆的左焦点为,为椭圆上的动点,是圆上的动点,则的最大值是_______________. 20.在平面直角坐标系中,点是椭圆上的点,以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点,圆与轴相交于、两点.若为锐角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是_______________. 21.已知椭圆的离心率,焦距是. (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆交于、两点,,求的值. 22.已知椭圆的离心率为,椭圆的左、右焦点分别是、,点为椭圆上的一个动点,面积的最大值为. (1)求椭圆的方程; (2)为椭圆上一点,与轴相交于,且.若直线与椭圆相交于另一点,求的面积. 23.(2017浙江)椭圆的离心率是 A. B. C. D. 24.(2017新课标全国III文)已知椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为 A. B. C. D. 25.(2017新课标全国I文)设A,B是椭圆C:长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 A. B. C. D. 26.(2017江苏)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线,的交点在椭圆上,求点的坐标. 27.(2017新课标全国I)已知椭圆C:,四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点. 28.(2017天津文)已知椭圆的左焦点为,右顶点为,点的坐标为,的面积为. (1)求椭圆的离心率; (2)设点在线段上,,延长线段与椭圆交于点,点,在轴上,,且直线与直线间的距离为,四边形的面积为. ①求直线的斜率; ②求椭圆的方程. 1.【答案】D 【解析】因为焦点在轴上,所以,即,又,所以,故选D. 2.【答案】D 3.【答案】B 【解析】设所求距离为,由题意得.根据椭圆的定义得,故选B. 4.【答案】B 【解析】由题椭圆焦点在轴上,且离心率为,故.故选B. 5.【答案】C 【解析】如图,设椭圆的另外一个焦点为,由椭圆的方程知,则的周长.故选C. 6.【答案】B 【解析】由题意知,当焦点在轴上时,;当焦点在轴上时,.故选B. 7.【答案】C 【解析】∵椭圆方程为,∴,根据椭圆的定义得, 而是△的中位线,∴,故选C. 9.【答案】 【解析】由椭圆方程可知,右焦点为,将代入椭圆方程得,所以两点间距离为. 10.【答案】 【解析】由椭圆的方程可知. 11.【答案】且 【解析】由椭圆的定义知解得且. 故实数的取值范围为且. 12.【答案】或 【解析】由题意得,即或,解得或. 13.【答案】. 【解析】设椭圆的标准方程为,焦点,. ∵,∴,而,, ∴,∴,即,∴,. ∵, ∴,∴. ∴所求椭圆的标准方程为. 14.【答案】. 【解析】如图,设焦点坐标为,,是椭圆上一点,依题意设点坐标为. 在中,,即, 而,整理得. 又,所以,所以, 所以,所以. 16.【答案】B 【解析】由题意可知,, ,,故选B. 17.【答案】A 【解析】由椭圆的标准方程可得,因为的内切圆周长为,所以的内切圆的半径为,而三角形内切圆半径和周长与三角形的面积的关系为,所以的面积为,而的面积又等于和的面积之和,即,所以,故选A. 19.【答案】 【解析】圆的圆心为,半径为.由椭圆方程可知,所以,左焦点为,右焦点为. 故, 所以. 20.【答案】 【解析】过点作轴,垂足为点,∵△是锐角三角形,∴,,∴,,化为,,∴,,解得,,故该椭圆离心率的取值范围是. 21.【答案】(1);(2). (2)设,,将代入,整理得, 所以 ①,,, 又,,所以, 又, 代入上式,整理得,即, 解得(舍去)或,即, 经验证,能使①成立,故. 22.【答案】(1);(2). 【解析】(1)由已知条件得,, 又,∴,,.∴椭圆的方程为. (2)由,知为的中点,设,则, 又在椭圆上,所以可代入求得,∴直线的方程为. 由消去可得, 设,,则,,∴,, ∴. 24.【答案】A 【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点,半径为,圆的方程为, 直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,整理可得,即即,从而,则椭圆的离心率,故选A. 25.【答案】A 【解析】当时,焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即,得;当时,焦点在轴上,要使C上存在点M满足,则,即,得,故的取值范围为,故选A. 26.【答案】(1);(2). 【解析】(1)设椭圆的半焦距为c. 因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以,, 解得,于是, 因此椭圆E的标准方程是. (2)由(1)知,,. 设,因为为第一象限的点,故. 当时,与相交于,与题设不符. 当时,直线的斜率为,直线的斜率为. 因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为, 从而直线的方程: ①,直线的方程: ②. 由①②,解得,所以. 因此点P的坐标为. 27.【答案】(1);(2)证明见解析. (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2,如果l与x轴垂直,设l:x=t, 由题设知,且,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,). 则,得,不符合题设,从而可设l: (). 将代入得,由题设可知. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=. 而. 由题设,故, 即,解得, 当且仅当时,于是l:,即, 所以l过定点(2,). 【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质,判断点是否在椭圆上,可以通过这一方法进行判断;证明直线过定点的关键是设出直线方程,通过一定关系转化,找出两个参数之间的关系式,从而可以判断过定点情况.另外,在设直线方程之前,若题设中未告知,则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况,其通法是联立方程,求判别式,利用根与系数的关系,再根据题设关系进行化简. 28.【答案】(1);(2)①,②. 【思路分析】(1)先根据题意得出,然后结合,即可求得离心率; (2)①首先设直线的方程为,再写出直线的方程,两方程联立得到点的坐标,根据求得的值,即得直线的斜率;②将直线的方程和椭圆方程联立,可得点的坐标,再求,确定直线和都垂直于直线,根据平面几何关系求面积,从而可求得的值,进而得椭圆的方程. (2)①依题意,设直线FP的方程为,则直线FP的斜率为. 由(1)知,可得直线AE的方程为,即, 与直线FP的方程联立,可解得,即点Q的坐标为. 由已知|FQ|=,有, 整理得,所以,故直线FP的斜率为. 因此可得点,进而可得, 所以. 由已知,线段的长即为与这两条平行直线间的距离, 故直线和都垂直于直线. 因为,所以, 所以的面积为,同理的面积等于, 由四边形的面积为,得,整理得, 又由,得. 所以,椭圆的方程为. 查看更多
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