数学（文）卷·2018届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试（2017

数学（文）卷·2018届吉林省实验中学高三上学期第四次模拟考试（2017

吉林省实验中学 2017-2018 学年度上学期 高三年级第四次月考数学（文科）试题 第Ⅰ卷 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．） 1. 已知集合 M＝{x|x＞x2}，N＝{y|y＝4x 2 ，  0,1x }，则 M∩N＝( ) A．{x|0＜x＜1 2 } B．{x|1 2 ＜x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1＜x＜2} 2. “(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是（ ） A. 31 2 cm B. 32 3 cm C. 35 6 cm D. 37 8 cm 4. 执行如图所示的程序框图，若输出 k 的值为 8，则判断框内可填入的条件是（ ） A． ?4 3S B． ?12 11S C． ?24 25S D． ?120 137S （第 3 题） （第 4 题） 5.设 a＞0，b＞0，若 a＋b＝2，则 2 4 a b  的最小值为( ) A．3＋2 2 B．6 C．4 2 D．2 2 6 已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 7.若 ABC 的角 , ,A B C 所对应的边分别为 , ,a b c ，且 2a  ， 4B  ， 4ABCS  ，则b  （ ） A. 5 B. 2 5 C. 41 D. 5 2 8. 将函数 ( ) sin 2f x x 的图像向右平移 (0 )2    个单位后得到函数 ( )g x 的图像，若 对满足 1 2( ) ( ) 2f x g x  的 1x ， 2x ，有 1 2 min 3x x   ，则  （ ） A. 5 12  B. 3  C. 4  D. 6  9. 已知数列 na 为等比数列，且 2013 2015a a   ，则 2014 2012 2014 2016( 2 )a a a a  的值为（ ） A． B． 2 C． 2 D． 24 10. 若实数 ,x y 满足不等式组 2 0 { 1 0 2 0 x y x y a        ，目标函数 2t x y  的最大值为 2，则实数 a 的值是（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. -2 11. 已知 1 2,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 1 2 2F PF   ,则 记 1e 和 2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（ ） A. 2 2 1 2 2e e  B. 2 2 1 2 4e e  C. 2 2 1 2 1 1 4e e   D. 2 2 1 2 1 1 2e e   12.数列 na 满足 1 2 sin 1 22n n na a n        ，则数列 na 的前 100 项和为（ ） A. 5050 B. 5100 C. 9800 D. 9850 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分．） 13. 设向量 ,a b 满足 1a b  ， 1= 2a b  ，则 2 =a b  __________． 14. 已知定义在 R 上的函数 f(x)＝ lg|x|，x≠0， 1， x＝0， 关于 x 的方程 f(x)＝c(c 为常数)恰有三个不 同的实数根 x1，x2，x3，则 x1＋x2＋x3＝________. 15. 已知三棱锥 P－ABC 的四个顶点均在半径为 5 2 2 的球面上，且 5PA BC  ， 41AC BP  ， AB CP ，则三棱锥 P ABC 的体积是____________． 16.已知函数   22f x x m  的图象与函数   lng x x 的图象有四个交点，则实数 m 的取 值范围为________． 三、解答题：（本大题共 6 小题，其中 17-21 小题为必考题，每小题 12 分；第 22—23 题 为选考题，考生根据要求做答，每题 10 分） 17.（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC=3acosB-ccosB. (1)求 cosB 的值. (2)若 2, 2 2BA BC b    且 ，求 a 和 c 的值. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  底面 , ,ABCD BC PB BCD  为等边三角形， 3,PA BD AB AD   ， E 为 PC 的中点． （1）求证 BC PAB 平面 ； （1）求 AB 的长度； （2）求多面体 PBEDA 的体积． 19.（本小题满分 12 分） 已知数列{an}中，a1＝1，当 n≥2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2n＝an Sn－1 2 。 (1)求 Sn 的表达式； (2)设 bn＝ Sn 2n＋1 ，求{bn}的前 n 项和 Tn。 . 20.（本小题满分 12 分） 已知 1 2,F F 是椭圆 :C 2 2 2 2 1x y a b   的左右焦点，O 为坐标原点， 31 2P    ， 在椭圆C 上，线段 1PF 与 y 轴的交点 N 满足 N 为 PF1 的中点 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线 :l y kx m  与椭圆C 相交于 A B、 两点， 3 4OA OBk k   ，判断 AOB 的面积 是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数   21ln 12f x x bx   . （1）证明：曲线  y f x 在 1x  处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标； （2）若关于 x 的不等式    1f x b x  恒成立，求整数b 的最小值. 请考生在 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题记分. 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：参数方程极坐标选讲 以平面直角坐标系 xOy 的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系,两种坐标系 中取相同的长度单位, 直线 l 的参数方程为 22 2 21 2 x t y t       (t 为参数)圆 C 的极坐标方程为 4 2 sin 4       . （1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于 ,A B 两点, 若 P 点的直角坐标为 2,1 ,求 PA PB 的值. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数    2 2 3 , 1 2f x x a x g x x       . （1）解不等式   5g x  ； （2）若对于任意 1x R ，都有 2x R ，使得    1 2f x g x 成立，求实数 a 的取值范围. 吉林省实验中学 2017-2018 学年度上学期 高三年级第四次月考数学（文科）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B B D B A B B C D A D B 13.【答案】 14. 【答案】0 15.【答案】：20 16.【答案】 17.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bcosC=3acosB-ccosB. (1)求 cosB 的值. (2)若 · =2，且 b=2 ，求 a 和 c 的值. 由 b2=a2+c2-2accosB，可得 a2+c2=12， 所以(a-c)2=0，即 a=c，所以 a=c= . 18． ①式两边同除以 Sn－1·Sn，得 1 Sn－ 1 Sn－1＝2， ∴数列 1 Sn是首项为 1 S1＝ 1 a1＝1，公差为 2 的等差数列。 ∴ 1 Sn＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴Sn＝ 1 2n－1。 (2)又 bn＝ Sn 2n＋1＝ 1 (2n－1)(2n＋1) ＝1 2 1 2n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝1 2 1 2n＋1 ＝1 2 1 2n＋1＝ n 2n＋1。 19. (1)略（2）AB＝1；（3） 试题解析：（2）连接 AC, 因为 PA⊥底面 ABCD， 平面 ABCD，所以 PA⊥BC，又因为 PB⊥BC， ，所以 BC⊥底面 PAB，因为 平面 PAB，所以 AB⊥BC，因为 △BCD 为等边三角形，所以∠ABD＝30°．又已知 AB＝AD，BD＝，可得 AB＝1． 20. （1）N 为 中点，而 又为 中点，所以 为 的中位线，又由于 ， 所 以 ， 由 P 坐 标 可 知 ， 所 以 中，由勾股定理得 ∴椭圆 标准方程为 . （2）设 ，由 得， 由 得 ，且有 ，且有 因为 ，得 ，即 化简得： 满足 ， ， 点 到直线 的距离 ，所以 （定值） 21．试题解析：（1） ，所以 ， 所以 ， 所以 处的切线为 ， 所以 ，恒过 ； （2）令 恒成立， 因为 ， ①当 时， 递增， ，不成立； ②当 时，当 在 时， 递增； 当 在 时， 递减； 所以函数最大值为 ， 令 ，可知为减函数，因为 ，所以整数 的值为 . 22.试题分析：（1）消去参数 可得直线的普通方程，由公式 可化极坐标方程 为直角坐标方程；（2）直线 的参数方程是过 点的标准参数方程，因此把直线 参数方程 代入圆 的直角坐标方程，方程的解 ，则 ，由韦达定理可得． 试题解析：（1）直线 的普通方程为： ， ，所以 ． 所以曲线 C 的直角坐标方程为 （或写成 ）．. （2）点 P（2，1）在直线 上，且在圆 C 内，把 代入 , 得 ,设两个实根为 ,则 ，即 异号. 所以 . 23.试题解析：（1）由 ，得 ， 得解集为 . （ 2 ） 因 为 任 意 ， 都 有 ， 使 得 成 立 ， 所 以 ， 又 ， 所以 ，解得 或 ，所以实数 的取值范围为 或 .