热点19 概率（文）-2017年高考数学二轮核心考点总动员

热点19 概率（文）-2017年高考数学二轮核心考点总动员

‎2017届高考数学考点总动员【二轮精品】第一篇 ‎ 热点19 概率（文） ‎ ‎【热点考法】本热点考题形式为选择填空题或解答题，与函数、不等式、统计等知识结合考查古典概型、几何概型及互斥事件的概率求法，考查应用意识、运算求解能力，难度为中档试题，分值为5至17分.‎ ‎【热点考向】‎ 考向一 古典概型 ‎【解决法宝】1.利用古典概型计算事件A的概率应注意的问题：‎ ①本试验是否是等可能的；‎ ②本试验的基本事件有多少个；‎ ③事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．‎ 回答好这三个方面的问题，解题才不会出错.‎ ‎2.基本事件数的探求方法：‎ ①列举法：适合于较简单的试验；‎ ②树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．‎ ‎③列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ 例1．【河北衡水中学2017届高三摸底联考，4】已知张卡片上分别写着数字，甲、乙两人等可能地从这张卡片中选择张，则他们选择同一张卡片的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】列出所有基本事件，找出他们选择同一张卡片的包含的基本事件数，利用古典概型公式即可求出概率.‎ ‎【解析】甲、乙两人选择卡片的所有基本事件为，‎ ‎，，共16个基本事件，选择同一张卡片的有4个，所以他们选择同一张卡片的概率为,故选C.‎ 考向二 几何概型 ‎【解决法宝】‎ ‎1.当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；‎ ‎2.利用几何概型求概率时，关键是构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域.‎ 例2． 【河北唐山2017届高三上期期末，10】已知函数 ，若在区间内随机取一个数，则的概率为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【分析】解出的解集，利用几何概型公式即可求出所求概率.‎ ‎【解析】在同一坐标系中作出函数与，如图所示，则由图可知，两个函数的图象交点为，则在内时，，所以的概率为，故选D．‎ 考向三 互斥事件和对立事件 ‎【解决法宝】1.注意区分互斥事件和对立事件，互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个或多个事件，对立事件是同一试验中不可能同时发生的两个事件，且其和事件为必然事件；‎ 2. 一个事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解.对于“至少”、“至多”等问题往往用这种方法求解；‎ 例3．【南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试】甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为 .‎ ‎【分析】利用互斥事件的概率公式进行求解.‎ ‎【解析】因为甲获胜的概率，甲、乙下和棋的概率以及乙获胜的概率三者之和为1，所以乙获胜的概率为.‎ ‎【热点集训】‎ ‎1.【广东省广州市2016届高三普通高中毕业班综合测试（一）】‎ 在平面区域内随机投入一点，则点的坐标满足的概率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】画出平面区域，如图，阴影部分符合，其面积为：，正方形面积为1，故所求概率为：‎ ‎2. 【河南百校联盟2017届9月质检，6】从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数之和能被3整除的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】从1，2，3，4，5这5个数中一次性随机地取两个数，共有10种取法，其中所取两个数之和能被3整除包含四种取法，所以概率为，选A.‎ ‎3.【广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2016届高三上学期期末】AB是半径为1的圆的直径，在AB上的任意一点M，过点M垂直于AB的弦，则弦长大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4. 【山东省实验中学2017届高三第一次诊断,12】在区间上任取一个数，则事件“”发生的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，所以所求概率为 ‎5.【甘肃省河西五市部分普通高中2016届高三第一次联考】若不等式所表示的平面区域为，不等式组表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】如下图所示，作出不等式组所表示的区域，则，‎ 故所求概率为，故选C．‎ ‎6.【湖北黄石2017届高三9月调研，11】假设你家订了一份牛奶，奶哥在早上6：00---7：00之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上6：30---7：30之间随机地离家上学，则你在离开家前能收到牛奶的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎7.【甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试】如图所示，以边长为1的正方形的一边为直径在其内部作一半圆。若在正方形中任取一点，则点恰好取自半圆部分的概率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】 D ‎【解析】所求概率．故D正确．‎ ‎8.【河北邯郸市2017届高三9月联考，7】满足不等式的实数使关于的一元二次方程有实数根的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】. ‎ ‎9.【广东湛江市2017届高三上学期期中，3】在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设圆的半径为，则正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，正方形的面积为，所以豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆（如图阴影部分）中的概率为，故选C.‎ ‎10.【湖南郴州市2017届高三第二次教学质量监测，3】从标有数字，，的三个红球和标有数字，的两个白球中任取两个球，则取得两球的数字和颜色都不相同的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎11.【河南豫北名校联盟2017届高三上学期精英对抗赛，7】已知函数，当时，的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由及得，所以所求概率为，故选D.‎ ‎12.【云南大理2017届高三上学期第一次统测，5】欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径2百米，中间有边长为1百米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据几何概型的求解方法可知，用正方形的面积除以圆的面积即为所求概率，所以，故选C.‎ ‎13.【广东佛山2017届高三教学质量检测（一），15】数轴上有四个间隔为1的点依次为记为、、、，在线段上随机取一点，则点到、两点的距离之和小于2的概率为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出数轴，由图知，当点位于线段中点与线段中点之间时，点到两点的距离之和小于2，所以所求概率．‎ ‎ 14.【湖南百所重点中学2017届高三阶段性诊断，14】若是集合中任意选取的一个元素，则圆与圆内含的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】数形结合可得，只能是圆在圆内部，则有即，则圆 与圆内含的概率为.‎ ‎15.【湖南百所重点中学2017届高三阶段性诊断，11】若变量满足约束条件，且，则仅在点处取得最大值的概率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎16.【广东惠州市2017届高三第三次调研考试文科数学】.是平面内不共线的三点，点在该平面内且有，现将一粒黄豆随机撒在内，则这粒黄豆落在内的概率为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，∴点是边的三等分点（靠近点），∴，且与的高相等，∴，∴所求概率为. ‎ ‎17.【河北邯郸市2017届高三9月联考，18】（本小题满分12分）‎ 某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（Ⅰ）写出的值；‎ ‎（Ⅱ）求抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人 ，求至少抽到1名女生的概率.‎ ‎ ‎ ‎【答案】（Ⅰ）0.05；（Ⅱ）抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）.‎ ‎（Ⅱ）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.05+0.02）×5=0.35，所以，在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.‎ 在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为（0.04+0.03）×5=0.35，所以，在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有0.03×20=7人.‎ 故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的学生人数有7+7=14人.‎ ‎18.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，18】（本题满分12分）某学校为加强学生的交通安全教育，对学校旁边，两个路口进行了8天 的检测调查，得到每天各路口不按交通规则过马路的学生人数（如茎叶图所示），且路口数据的平均数 比路口数据的平均数小2.‎ ‎（1）求出路口8个数据中的中位数和茎叶图中的值；‎ ‎（2）在路口的数据中任取大于35的2个数据，求所抽取的两个数据中至少有一个不小于40的概率.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）路口8个数据的中位数为.……………………………………………3分 ‎∵路口8个数据的平均数为，‎ ‎∴路口8个数据的平均数为36，‎ ‎∴，‎ ‎.………………………………………………6分 ‎（2）在路口的数据中任取2个大于35的数据，有如下10种可能结果：‎ ‎（36,37），（36,38），（36,42），（36,45），（37,38），（37,42），（37,45），‎ ‎（38,42），（38,45），（42,45）. ………………………………………………………………………………9分 其中“至少有一次抽取的数据不小于40”的情况有如下7种：‎ ‎（36,42），（36,45），（37,42），（37,45），（38,42），（38,45），（42,45）.‎ 故所求的概率为.………………………………………………………………………………………12分 ‎19. 【四川凉山州2017届高三上学期一诊，18】化为推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户：‎ 分值区间 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户：‎ 分值区间 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列列联表，并回答是否有的把握认为性别对手机的“认可”有关：‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎“不认可”手机 合计 附：‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户中评分小于90分的概率．‎ ‎【答案】（1）列联表 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ ‎“不认可”手机 ‎60‎ ‎120‎ ‎180‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ 有的把握认为性别和对手机的“认可”有关．‎ ‎(2).‎ ‎【解析】（1）由频数分布表可得列联表如下图：‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎140‎ ‎180‎ ‎320‎ ‎“不认可”手机 ‎60‎ ‎120‎ ‎180‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎，所以有的把握认为性别和对手机的“认可”有关．‎ ‎（3）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，记为，，，，评分不小于90分的人数为2，记为，，从6人中任取2人，‎ 基本事件空间为，符合条件的共有9个元素，其中把“两名用户评分都小于90分”记作，‎ 则共有6个元素．‎ 所有两名用户评分都小于90分的概率为．‎ ‎ 20. 【广东珠海市2017届上学期调研测试（1），19】（本小题满分12分）‎ 某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部 退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.‎ ‎（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：件，）‎ 的函数解析式；‎ ‎（2）商店记录了50天该商品的日需求量（单位：件，），整理得下表：‎ 若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润 在区间内的概率.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎（2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元.‎ 若利润在区间内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9.‎ 则利润在区间内的概率为.‎ ‎ 21. 【广西陆川县中学2017届高三上学期模拟二，18】某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对名出租车司机进行调查，调查问卷共道题，答题情况如下表：‎ 答对题目数 女 男 ‎（I）如果出租车司机答对题目大于等于，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率；‎ ‎（II）从答对题目数小于的出租车司机中选出人做进一步的调查，求选出的人中至少有一名女出租车司机的概率.‎ ‎【答案】(I)；(II).‎ ‎【解析】（I）答对题目数小于的人数为，记“答对题目数大于等于”为事件，‎ ‎. …………………（6分）‎ ‎（II）设答对题目数小于的司机为，，，，，其中，为女司机，任选出人包含,,,,,,,,,,共种，至少有一名女出租车司机的事件为,,,,,,,共种，记“选出的人中至少有一名女出租车司机”为事件，则.…………………（12分）‎ ‎ 22.【广东湛江市2017届高三上学期期中，19】（本小题满分12分）‎ 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示：‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的占55%.‎ ‎（Ⅰ）求的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；‎ ‎（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）平均值为分钟；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意：，解得：.‎ 将这100位顾客一次购物的结算时间看作一个容量为100的简单随机样本，用样本平均数估计顾客一次购物的结算时间的平均值：‎ ‎.‎ ‎∴顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.‎ ‎（Ⅱ）记事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，‎ ‎“顾客一次购物的结算时间为1分钟”的概率；‎ ‎“顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”的概率；‎ ‎“顾客一次购物的结算时间为2分钟”的概率；‎ ‎∴.‎ ‎∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7.‎ ‎ ‎