2020年高中数学 模块综合检测 北师大版必修5
模块综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．数列1，3，7，15，…的通项公式an可能是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2n－1
解析：选C.取n＝1时，a1＝1，排除A、B，取n＝2时，a2＝3，排除D.
2．若a＜1，b＞1，那么下列不等式中正确的是( )
A.＞ B．＞1
C．a2＜b2 D．ab＜a＋b
解析：选D.利用特值法，令a＝－2，b＝2，则＜，A错；＜0，B错；a2＝b2，C错．
3．若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )
A．m<－2或m>2 B．－2
0，所以m>2或m<－2.
4．等差数列{an}满足a＋a＋2a4a7＝9，则其前10项之和为( )
A．－9 B．－15
C．15 D．±15
解析：选D.因为a＋a＋2a4a7＝(a4＋a7)2＝9，
所以a4＋a7＝±3，所以a1＋a10＝±3，
所以S10＝＝±15.
5．若loga50的解集为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.由loga50⇔(x－a)<0，
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解得a5×2＝10，即大于10 g.
9．已知钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝( )
A．5 B．
C．2 D．1
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解析：选B.因为S＝AB·BCsin B＝×1×sin B＝，所以sin B＝，所以B＝或.
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2＋2＝5，所以AC＝，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；
当B＝时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝.
10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )
A.万元 B．万元
C.万元 D．万元
解析：选B.设每年偿还x万元，则：x＋x(1＋γ)＋x(1＋γ)2＋x(1＋γ)3＋x(1＋γ)4＝a(1＋γ)5，所以x＝.
11．若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取得最大值，则实数a的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.∪
解析：选C.直线3x－5y＋6＝0和直线2x＋3y－15＝0的斜率分别为k1＝，k2＝－，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z＝ax＋y经过点(3，3)时，z取得最大值，则直线z＝ax＋y的斜率－a满足－<－a<，解得－0.
解：(1)因为方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－和2.
由根与系数的关系，得
解得a＝－2，b＝3.
(2)易知ax2＋bx－1>0，即2x2－3x＋1<0，解得0的解集为
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18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，sin B＝3sin C.
(1)求tan C的值；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为A＝，所以B＋C＝，故sin＝3sin C，所以cos C＋sin C＝3sin C，
即cos C＝sin C，得tan C＝.
(2)由＝，sin B＝3sin C，得b＝3c.
在△ABC中，由余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝9c2＋c2－2×(3c)×c×＝7c2，又因为a＝，所以c＝1，b＝3，
所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝.
19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？
解：设种植甲种蔬菜x吨，乙种蔬菜y吨，利润为z元，根据题意可得
目标函数为：z＝700x＋1 200y，
作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x＋1 200y＝0，即7x＋12y＝0，平移直线，当直线过A点时目标函数取最大值．
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解方程组
得x＝20，y＝24.
所以点A的坐标为(20，24)．所以zmax＝700×20＋1 200×24＝42 800.
即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log3(x2－4x＋m)的图像过点(0，1)．
(1)求实数m的值；
(2)解不等式：f(x)≤1.
解：(1)由已知有f(0)＝log3m＝1，所以m＝3.
(2)由(1)知f(x)＝log3(x2－4x＋3)．
由x2－4x＋3＞0，得x＜1或x＞3，
所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．
因为log3(x2－4x＋3)≤1且y＝log3x为增函数，
所以0＜x2－4x＋3≤3，
所以0≤x＜1或3＜x≤4，
所以不等式的解集为{x|0≤x＜1或3＜x≤4}．
21．(本小题满分12分)已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N＋)．
(1)求an与bn的表达式；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
解：(1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N＋)．
由题意知：当n＝1时，b1＝b2－1，故b2＝2.
当n≥2时，bn＝bn＋1－bn.整理得＝，
所以bn＝n(n∈N＋)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，
2Tn＝22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N＋)．
22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n年需要付出的维修费用记作an万元，已知{an}为等差数列，相关信息如图所示．
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(1)设该公司前n年总盈利为y万元，试把y表示成n的函数，并求出y的最大值；(总盈利即n年总收入减去成本及总维修费用)
(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．
解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则an＝6＋2(n－1)＝2n＋4(n∈N＋)，
所以y＝25n－－36＝－n2＋20n－36
＝－(n－10)2＋64，当n＝10时，y的最大值为64万元．
(2)年平均盈利为＝＝－n－＋20＝－＋20≤－2× ＋20＝8(当且仅当n＝，即n＝6时取“＝”号)．
故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．
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