2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第2章 第11节 导数与函数的单调性

2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第2章 第11节 导数与函数的单调性

第十一节　导数与函数的单调性 ‎[考纲传真]　了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．‎ ‎(对应学生用书第32页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎　 函数的导数与单调性的关系 ‎ 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则 ‎ (1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内是增加的；‎ ‎ (2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内是减少的；‎ ‎ (3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．‎ ‎2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.(　　)‎ ‎ (2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间上没有单调性．(　　)‎ ‎ (3)f′(x)＞0是f(x)为增函数的充要条件．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为(　　)‎ ‎ A．(0,4)　 B．(0,2)‎ ‎ C．(4，＋∞) D．(－∞，0)‎ ‎ A　[f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得00，故选项D正确．‎ ‎ 故选D．]‎ ‎(对应学生用书第32页)‎ 判断或证明函数的单调性 ‎　已知函数f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.讨论f(x)的单调性．‎ ‎ [解]　f(x)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎ f′(x)＝－2ax＋2－a ‎ ＝－.‎ ‎ ①若a≤0，则f′(x)＞0.‎ ‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．‎ ‎ ②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝，‎ ‎ 且当x∈时，f′(x)＞0，‎ ‎ 当x∈时，f′(x)＜0.‎ ‎ 所以f(x)在上单调递增，‎ ‎ 在上单调递减．‎ ‎ 综上所述，当a≤0时，‎ ‎ 函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎ 当a＞0时，函数f(x)在上单调递增，‎ ‎ 在上单调递减．‎ ‎ [规律方法]　用导数证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 ‎ 一求：求f′(x)；‎ ‎ 二定：确认f′(x)在(a，b)内的符号；‎ ‎ 三结论：作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．‎ ‎ 易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．‎ ‎[变式训练1]　(2016·四川高考节选)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．‎ ‎ (1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎ (2)证明：当x>1时，g(x)>0. 【导学号：00090064】‎ ‎ [解]　(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0). 2分 ‎ 当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．‎ ‎ 当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，‎ ‎ 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 5分 ‎ 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 7分 ‎ (2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1. 9分 ‎ 当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，‎ ‎ 从而g(x)＝－>0. 12分 求函数的单调区间 ‎　(2016·天津高考节选)设函数f(x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f(x)的单调区间．‎ ‎ [解]　由f(x)＝x3－ax－b，可得f′(x)＝3x2－A．‎ ‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎ ①当a≤0时，有f′(x)＝3x2－a≥0恒成立，‎ ‎ 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞). 5分 ‎ ②当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝或x＝－.‎ ‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎－ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎　所以f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，. 12分 ‎ [规律方法]　求函数单调区间的步骤：‎ ‎ (1)确定函数f(x)的定义域；‎ ‎ (2)求f′(x)；‎ ‎ (3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；‎ ‎ (4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．‎ ‎[变式训练2]　已知函数f(x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f(x)的单调递增区间为________．‎ ‎ (－，)　[因为f(x)＝(－x2＋2x)ex，‎ ‎ 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ‎ ＝(－x2＋2)ex.‎ ‎ 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，‎ ‎ 因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜，‎ ‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(－，)．]‎ 已知函数的单调性求参数 ‎　已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎ [解]　因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，‎ ‎ 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，‎ ‎ 即a≤3x2对x∈R恒成立．‎ ‎ 因为3x2≥0，所以只需a≤0.‎ ‎ 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．‎ ‎[母题探究1]　(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求 a的取值范围．‎ ‎ [解]　因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎ 所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]．‎ ‎[母题探究2]　(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．‎ ‎ [解]　由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．‎ ‎ 因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数．‎ ‎[母题探究3]　(变换条件)函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．‎ ‎ [解]　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－A．由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)．‎ ‎ ∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3)．‎ ‎ [规律方法]　根据函数单调性求参数的一般方法 ‎ (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．‎ ‎ (2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．‎ ‎ 易错警示：(1)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥‎ ‎0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．‎ ‎ (2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了∈(0,1)来求解．‎ ‎[变式训练3]　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)‎ ‎ (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上是减少的，求a的取值范围；‎ ‎ (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围. ‎ ‎【导学号：00090065】‎ ‎ [解]　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，‎ ‎ 所以h′(x)＝－ax－2，‎ ‎ 由h(x)在[1,4]上是减少的得，‎ ‎ 当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，‎ ‎ 即a≥－恒成立．令G(x)＝－，‎ ‎ 所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，‎ ‎ 因为x∈[1,4]，所以∈，‎ ‎ 所以G(x)max＝－(此时x＝4)，‎ ‎ 所以a≥－，即a的取值范围是.‎ ‎ (2)h′(x)＝－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，‎ ‎ 所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2＜0有解，‎ ‎ 即a＞－有解．‎ ‎ 设G(x)＝－，所以只要a＞G(x)min即可．‎ ‎ 而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.‎ ‎ 所以a＞－1.‎