吉林省实验中学2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

吉林省实验中学2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 理 新人教A版

吉林省实验中学2012—2013学年度下学期期末考试 高二数学理试题 一、选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1．若集合，集合= （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎2．下列各函数中值域为的是 （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎3．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为( )‎ ‎2‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 A．2,2‎ B．2,2‎ C．4,2‎ D．2,4‎ ‎4．已知实数,则“”是 “”的 ( )‎ ‎ A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 否 开始 结束 输出 是 输入 ‎5．运行右图所示的程序框图．若输入，则输出的值为 ( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为 ‎24，则这个长方体的一条对角线长为 （ ） ‎ A． B． C．5 D．6‎ ‎7.若直线经过圆的圆心，则的最小值是 （ ） ‎ ‎ A． B． C．4 D．2‎ ‎8．在△ABC中，，则sinA= （ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 定义在R上的函数是偶函数，且，若时，，则的值为 （ ）‎ ‎ A．-1 B．‎3 ‎C．1 D．-3‎ ‎10. △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5＝，则△AOB的面积＝ （ ） ‎ A． B． C.1 D．‎ ‎11．已知A，B，C，D，E是函数＞0，0＜＜一个周期内的图像上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图像上的最低点，E为该函数图像的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则的值为 ( )‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎12．已知为上的可导函数，当时，，则关于x的函数的零点个数为 （ ）‎ ‎ A.1 B‎.2 ‎‎ ‎‎ C.0 D.0或 2‎ ‎20 30 40 50 60 70 ‎ ‎ ‎ 岁 ‎ 频率/组距 ‎ 第15题图 ‎ ‎0.0350‎ ‎0.0125‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．已知为等差数列，若，则的值为 ‎ ‎14.为了“城市品位、方便出行、促进发展”，长春市拟修建地铁，市某部门问卷调查了n个市民,其中赞成修建地铁的市民占80％，在 赞成修建地铁的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有400人，岁的有m人，则n=　　 , m= ‎ ‎15.已知，，，和的夹角是锐角，则实数的取值范围是 .‎ ‎16.已知函数，若时，不等式 恒成立，则实数t的取值范围是 . ‎ 三解答题 ‎17．（12分）已知关于的一元二次方程．‎ ‎ （Ⅰ）若是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；‎ ‎ （Ⅱ）若，求方程没有实根的概率．‎ ‎18. （满分12分）已知圆C：。（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P()向该圆引一条切线，切点为M且有（O为原点），求使取得最小值时点P的坐标。‎ ‎19．（满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．‎ ‎（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；‎ ‎（2）求证：平面BDE⊥平面SAC；‎ ‎（3）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．‎ ‎20．(满分12分）数列：满足 ‎(Ⅰ) 设，求证是等比数列；(Ⅱ) 求数列的通项公式; ‎ ‎（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证: ‎ ‎21．已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）求证：‎ 选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D。 （I）求证：‎ ‎ （II）若，⊙O的半径为1，且P为弧的中点，求AD的长。‎ ‎23.本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程 已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为（其中为参数）‎ ‎（1）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求圆上的点到直线的距离的最小值 ‎24．选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎ （1）当a=0时，解不等式 ‎ （2）若存在成立，求实数a的取值范围。‎ 参考答案 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D ‎ D B B C C A C D B C 二．填空题（本大题共20小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13． 14. n=　4000 , m= 1120 ‎ ‎15. 且 16. _____．‎ 三、解答题 ‎17.(满分12分)‎ 解：（Ⅰ）基本事件共有36个，方程有实根，‎ 方程有根等价于Δ≥0， (a－2)2＋b2≥16.‎ ‎ 设“方程有两个实根”为事件，则事件包含的基本事件共36-14=22个，‎ ‎ 故所求的概率为； ……………6分 ‎（Ⅱ）试验的全部结果构成区域，其面积为 ‎ 设“方程无实根”为事件，则构成事件的区域为 ‎ ，‎ ‎ 其面积为 ‎ 故所求的概率为 ………………12分 ‎18. (满分12分)‎ 解: ( 1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.‎ ‎①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得 ＝，即k＝2±，从而切线方程为y＝(2±)x . .……………………3分 ‎②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，‎ 由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切线的方程为y＝(2±)x x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 .……………………6分 ‎(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0. .…………8分 即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即 ‎|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0. .……………………10分 解方程组得P点坐标为 ..……………………12分 ‎19. (满分12分)‎ ‎ 证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥．‎ ‎ 因为平面，平面，‎ ‎ 所以∥平面．‎ ‎ （Ⅱ）法一：证明：由已知可得，,是中点，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又因为四边形是正方形，所以．‎ ‎ 因为，所以．‎ ‎ 又因为，所以平面平面． -‎ ‎ （Ⅱ）法二：证明：由（Ⅰ）知，．‎ ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎ 设四棱锥的底面边长为2，‎ ‎ 则，，，‎ ‎ ，，．‎ ‎ 所以，．‎ ‎ 设（），由已知可求得．‎ ‎ 所以，．‎ ‎ 设平面法向量为，‎ ‎ 则 即 ‎ 令，得．‎ ‎ 易知是平面的法向量．‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，所以平面平面． -------------------8分 ‎（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，‎ ‎ 平面法向量为．‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以是平面的一个法向量．‎ ‎ 由已知二面角的大小为．‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以，解得．‎ ‎ 所以点是的中点． ----------------12分 ‎20．(满分12分)‎ 解：(Ⅰ)由得　……………………2分　　　‎ ‎，即　， ……………………4分 ‎ 是以２为公比的等比数列　 ……………………5分　　　　　‎ ‎ (Ⅱ) 又　　　　　　　　　　　‎ 即 ， ……………………6分　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ 故　　　 　……………………7分　　　　‎ ‎（Ⅲ） ……………………9分 ‎　　 ……………………10分　‎ 又 ……………………12分 ‎21.（满分12分）．‎ 解：（1）， ………………1分　‎ ‎ …………3分 令上单调递减；‎ 令上单调递增。‎ 故增区间为减区间为（-1，0） ……………………5分　‎ ‎（2） ……………………6分　‎ 令 ‎ ‎ …………7分 令则 令 当在（-1，0）上单调递增； ‎ 当上单调递减， ‎ 故上单调递减； …………9分 当时，，即，则在（-1，0）上单调递增；当即上单调递减…………11分　‎ 故 …………12分 ‎22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 ‎23.本题满分10分）选修4—4：坐标与参数方程 解：（1）极点为直角坐标原点O，，‎ ‎∴，可化为直角坐标方程：x+y-1=0. ……………………5分 ‎(2)将圆的参数方程化为普通方程：，圆心为C（0，-2），‎ ‎∴点C到直线的距离为，‎ ‎∴圆上的点到直线距离的最小值为。 ……………………5分 ‎24. 本题满分10分）‎ 解：(1)由|x+1|≥2|x|,得x2+2x+1≥4x2,解得-≤x≤1.‎ 所以不等式的解集是[-,1]. ……………………10分 ‎ (2)由题意可知，存在x∈R,使得|x+1|-2|x|≥a.‎ 令φ(x)=‎ 当x＜-1时，φ(x)＜-2；当-1≤x＜0时，-2≤φ(x)＜1；当x≥0时，φ(x)≤1.‎ 综上可得：φ(x)≤1,即a≤1. ……………………10分 ‎ ‎