数学文卷·2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届福建省闽侯第四中学高三上学期期中考试（2017

福建省闽侯第四中学2018届高三上学期期中 数学（文）试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置.） 1.设集合，，则中元素的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数满足，则（ ） A． B． C． D．‎ ‎3.有个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加同一个社团的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.下列判断错误的是（ ） A．若为假命题，则，至少之一为假命题 B．命题“，”的否定是“，” C．“若且，则”是真命题 D．“若，则”的否命题是假命题 5.已知双曲线：（，）的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.将函数的图象上各点的横坐标压缩为原来的倍（纵坐标不变），所得函数在下面哪个区间单调递增（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知是公差不为的等差数列的前项和，且，，，成等比数列，则等于（ ） A． B． C． D．‎ ‎8.若实数，满足，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知一个空间几何体的三视图如图所示，这个空间几何体的顶点均在同一个球面上，则此球的体积与表面积之比为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎11.已知椭圆：（），左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若的最大值为，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.若直角坐标平面内、两点满足：①点、都在函数的图象上；②点、关于原点对称，则称点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点”对”有 ‎（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知数列满足：，，,则 ．. 14.在中，，且，，则 ．. 15.已知，，且，则的最小值为 ．. 16.函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知向量，（），若，且的图象上两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求的单调递减区间； （Ⅱ）设的内角，，的对边分别为，，，且满足，，，求，的值.‎ ‎18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了人，他们年龄大点频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：‎ 年龄 频数 支持“生育二胎”‎ ‎（Ⅰ）由以上统计数据填下面乘 年龄不低于岁的人数 年龄低于岁的人数 合计 列联表，并问是否有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异： ‎ 支持 不支持 合计 ‎（Ⅱ）若对年龄在的的被调查人中随机选取两人进行调查，恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少？‎ 参考数据：，. 19.已知直角梯形中，，，，，，为的中点，过作 ，将四边形沿折起使面面.‎ ‎（1）若为的中点，求证：面； （2）若，试求多面体体积. 20.定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线 的方程； （Ⅱ）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线，的斜率分别为，，求.‎ ‎21.已知函数，（）‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）证明：当时，对于任意，，总有成立，其中是自然对数的底数.‎ 请考生在第22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑. 22.选修 4-1：几何证明选讲 已知点在圆直径的延长线上，切圆于点，分别交，于点，，.‎ ‎（1）求证：为的平分线； （2）若，求的值. 23.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，从极点作圆的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线. （1）求的极坐标方程； （2）已知曲线的参数方程为（，为参数，且），与交于点，与交于点，且，求的值. 24.选修 4-5：不等式选讲 已知，，均为正实数，且.‎ ‎（1）证明：； （2）求证：.‎ 高三数学（文）答案 一、选择题 ‎1-5:ABACA 6-10:ACCBD 11、12：DC 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）∵，，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∵的图像上两相邻对称轴间的距离为，∴，即.‎ ‎∴‎ 则.‎ 由，得，，‎ ‎∴的单调减区间为，‎ ‎（Ⅱ）由，得，‎ ‎∵，∴，则，.‎ 由余弦定理得：，即，①‎ 又，②‎ 联立①②解得：，.‎ ‎18.（Ⅰ）‎ 年龄不低于岁的人数 年龄低于岁的人数 合计 支持 不支持 合计 所以没有的把握认为以岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.‎ ‎（Ⅱ）年龄在中支持“生育二胎”的人分别为，，，，不支持“生育二胎”的人记为，厄从年龄在的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有：，，，，，，，，.‎ 设“恰好这两人都支持“生育二胎””为事件，‎ 则事件所有可能的结果有，，，，.‎ ‎∴‎ 所以对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查时，恰好这两人都支持“生育二胎”的概率为 ‎19.证明：（1）取的中点，连接，，因为，，，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，，面，故 面.‎ 解：（2）因为面面，所以，，两两垂直，连接，所求的几何体分为两部分，四棱锥与三棱锥，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎20.解：（Ⅰ）由点到曲线的距离的定义可知，到圆的距离，所以，所以有，由椭圆定义可得点的轨迹为以、‎ 为焦点的椭圆，从而可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设，，则，则直线的斜率为，由可得直线的斜率是，记，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理用，表示与即可得到结论.‎ 解（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故，‎ 所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，‎ 设椭圆方程为（），则，‎ 所以，故曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设（），，则，则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设置的方程为，由题意知，，由得.∴，‎ ‎∴，由题意知，，‎ 所以，‎ ‎∴直线的方程为，令，得，即.‎ 可得.‎ 所以，即.‎ ‎21.解析：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ 当时，当变化时，，的变化情况如下表：‎ 当时，当变化时，，的变化情况如下表：‎ 综上所述，‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；‎ 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在区间上单调递增，；‎ 在区间上单调递减，且，所以当时，.‎ 因为，所以，令，得.‎ ‎①当时，在区间上恒成立 所以函数在区间上单调递增，所以.‎ 所以对于任意，，仍有.‎ ‎②当时，由，得；由，得，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以.‎ 因为 所以对任意，，总有.‎ ‎22.（Ⅰ）证明：∵为圆的切线，∴，‎ 又∵为直径，，∴.‎ 又∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴为的平分线 ‎（Ⅱ）解：，∴，‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎23.解：（Ⅰ）设上任意一点的极坐标为 则点在圆上，故，‎ 所以的极坐标方程为（）‎ ‎（Ⅱ），两点的极坐标分别为，，‎ 又因为 所以 故，所以或 ‎24.证明：（Ⅰ）∵‎ ‎∴‎ 又∵‎ 由题中条件知 ‎∴‎ 即 ‎（Ⅱ）∵‎ 同理：，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎