2018-2019学年湖北省咸宁市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省咸宁市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省咸宁市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题，总有，则为（ ）‎ A．，总有 B．，总有 C．，总有 D．，总有 ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，即可得到命题的否定，得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题，总有，‎ 则为命题“，总有”，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确书写是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎2．已知空间向量，，且，则（ ）‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由空间向量垂直的充要条件的坐标运算可得：，运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解:因为向量，，且，‎ 所以,‎ 解得,‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间向量的坐标运算及向量垂直的充要条件，属基础题.‎ ‎3．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是　　‎ A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.至少有一个白球；红、黑球各一个 D.恰有一个白球；一个白球一个黑球 ‎【答案】C ‎【解析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，逐一分析所给的选项：‎ 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立．‎ 在B中，至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故B不成立；‎ 在C中，至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生，‎ 是互斥而不对立的两个事件，故C成立；‎ 在D中，恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故D不成立；‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ ‎“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．‎ ‎4．已知直线过定点，且与以，为端点的线段（包含端点）有 交点，则直线的斜率的取值范围是（　 ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：将点标在直角坐标系中,令直线绕旋转,由图可知,,解得，故选：A.‎ ‎【考点】图象法,直线与线段的位置关系.‎ ‎5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，由表中数据得线性回归方程：‎ ‎，则由此估计：当气温为2℃时，用电量约为（ ）‎ ‎（单位：℃）‎ ‎17‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎（单位：度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ A．56度 B．62度 C．64度 D．68度 ‎【答案】A ‎【解析】由已知可得，，再根据线性回归方程：过点（10,40），代入运算得，再运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 由已知有，，‎ 则线性回归方程：过点（10,40），代入运算得，‎ 即线性回归方程为：，‎ 当时， ，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程，重点考查了样本中心点在回归方程上，属基础题.‎ ‎6．已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是　　‎ A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 ‎【答案】B ‎【解析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．‎ ‎【详解】‎ 解：圆：，即，表示以为圆心，半径等于的圆．‎ 圆：，即，表示以为圆心，半径等于5的圆．‎ 两圆的圆心距，‎ ‎，故两个圆相交．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于中档题．‎ ‎7．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论错误的是（ ）‎ A.‎ B.甲得分的方差是736‎ C.乙得分的中位数和众数都为26‎ D.乙得分的方差小于甲得分的方差 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，依次分析选项：‎ 对于A，甲得分的极差为32，30+x﹣6=32，解得：x=8，A正确，‎ 对于B，甲得分的平均值为，‎ 其方差为，B错误；‎ 对于C，乙的数据为：12、25、26、26、31，其中位数、众数都是26，C正确，‎ 对于D，乙得分比较集中，则乙得分的方差小于甲得分的方差，D正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，涉及数据极差、平均数、中位数、众数、方差的计算，属于基础题．‎ ‎8．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 (　　)‎ A. B. C.6 D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为.‎ ‎【详解】‎ 点关于轴的对称点坐标是，‎ 设点关于直线的对称点，‎ 由，解得，‎ 故光线所经过的路程，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.‎ ‎9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，，)‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．‎ ‎【详解】‎ 模拟执行程序，可得：‎ n=6，S=3sin60°=，‎ 不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，‎ 不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，‎ 满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．对于循环结构的框图关键是将每一次循环的结果都按题意写出来，直到满足输出条件为止.‎ ‎10．已知F1,F2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C交于P,Q两点，且四边形F1PF2Q是矩形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 由题意，矩形的对角线长相等，把代入， 可得 ， ∴ ‎ ‎∴4a2b2=（b2-3a2）c2， ∴4a2（c2-a2）=（c2-4a2）c2， ∴e4-8e2+4=0， ∵e＞1，∴ ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率，考查矩形的性质，确定a，c的关系是关键，属于中档题．‎ ‎11．，满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则 的最小值为（  ）‎ A.14 B.7 C.18 D.13‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的及其内部，再将目标函数对应的直线进行平移，可得当时，最大值为，然后利用常数代换结合基本不等式，可得当且仅当时， 的最小值为.‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，‎ 得如图的及其内部，‎ 其中，‎ 设，‎ 将直线进行平移，‎ 当经过点时，目标函数达到最大值，‎ ‎，‎ 可得，‎ 因此，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即当且仅当时，的最小值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎12．如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)‎ A.y2＝9x B.y2＝6x C.y2＝3x D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，计算∠BCB1＝30°，得到计算得到.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ 分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，‎ 由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，‎ ‎∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，‎ ‎∴∠BCB1＝30°，‎ ‎∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，‎ 过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，‎ 设l交x轴于K，‎ 则，即，‎ ‎∴抛物线方程为y2＝3x 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的标准方程，做辅助线判断△AA1F为等边三角形是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点,则_________‎ ‎【答案】 4‎ ‎【解析】先求出椭圆的焦点坐标，再根据双曲线的焦距求m的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得椭圆的焦点为（-3,0）和（3,0）,所以3=，所以m=4.‎ 故答案为：4‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆和双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若“”是“”成立的充分不必要条件，则由解得，所以.‎ 故答案为.‎ ‎15．从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，从中任取两个不同的数，共有中不同的取法，再找出取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数只有一种取法，利用对立事件的概率计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，从中任取两个不同的数，共有中不同的取法，‎ 其中取出的2个数之差的绝对值大于2的只有取得到两个数为时，只有一种取法，‎ 所以取出的2个数之差的绝对值小于或等于2的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，找出基本时间的总数和所求事件的对立事件的个数，利用对立时间的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎16．设集合，,若，则实数m的取值范围是______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 由题意，‎ 三、解答题 ‎17．已知，，，.‎ ‎（1）若为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，且为假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)分a=0和两种情况讨论即可；（2）因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，当真假，有解出即可，当假真，有解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时，不恒成立，不符合题意；‎ 当时，，解得.‎ 综上所述：.‎ ‎(2)，，则.‎ 因为为真命题，且为假命题，所以真假或假真，‎ 当真假，有，即；‎ 当假真，有，则无解.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】‎ 由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．（2）可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算．‎ ‎18．己知直线2x﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+1=0交于点P．‎ ‎（Ⅰ）求过点P且平行于直线3x+4y﹣15=0的直线的方程；（结果写成直线方程的一般式）‎ ‎（Ⅱ）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线方程（结果写成直线方程的一般式）‎ ‎【答案】(Ⅰ)3x+4y﹣7=0；(Ⅱ)x+y﹣2=0或x﹣y=0．‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）联立方程组，求得点，根据题意设直线的方程为，代入点，求得的值，即可得到直线的方程；‎ ‎（2）①当直线过原点时，可得方程为；‎ ‎②当直线不过原点时，设的方程为，代入点，求得，即可得到直线的方程.‎ 试题解析：‎ 联立，解得，∴P（1，1）．‎ ‎（Ⅰ）设平行于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程为3x+4y+m=0，把P（1，1）代入可得：3+4+m=0，解得m=-7．‎ ‎∴过点P且平行于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程为3x+4y﹣7=0．‎ ‎（Ⅱ）当直线l2经过原点时，可得方程为：y=x．‎ 当直线l2不过原点时，可设方程为：y+x=a，把P（1，1）代入可得1+1=a，可得a=2．‎ ‎∴直线l2的方程为x+y﹣2=0．‎ 综上可得：直线l2的方程为x+y﹣2=0或x﹣y=0．‎ ‎19．某同学为了计算函数图象与x轴，直线，所围成形状A的面积，采用“随机模拟方法”，用计算机分别产生10个在上的均匀随机数和10个在上的均匀随机数，其数据记录为如下表的前两行．‎ ‎2.50‎ ‎1.01‎ ‎1.90‎ ‎1.22‎ ‎2.52‎ ‎2.17‎ ‎1.89‎ ‎1.96‎ ‎1.36‎ ‎2.22‎ ‎0.84‎ ‎0.25‎ ‎0.98‎ ‎0.15‎ ‎0.01‎ ‎0.60‎ ‎0.59‎ ‎0.88‎ ‎0.84‎ ‎0.10‎ ‎0.92‎ ‎0.01‎ ‎0.64‎ ‎0.20‎ ‎0.92‎ ‎0.77‎ ‎0.64‎ ‎0.67‎ ‎0.31‎ ‎0.80‎ ‎（1）依据表格中的数据回答，在图形A内的点有多少个，分别是什么？‎ ‎（2）估算图形A的面积．‎ ‎【答案】（1）6个，见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）根据图表数据及信息，结合函数、x轴，直线，的图像可得所在图形A内的点有6个；‎ ‎（2）由随机模拟试验概率的求法可得：，运算即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）根据题意，画出图形，如图所示：‎ 由得表格中的数据满足条件的点，即在图形A内的点有6个，‎ 分别是，，，，，；‎ ‎（2）由（1）知，表中10个点满足的点有6个，‎ 记A的面积为S，∴，‎ 故估计图形A的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了阅读能力、数据的处理能力及随机模拟试验，属基础题.‎ ‎20．某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）．现用分层抽样方法（按A类，B类分两层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）．从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2：‎ 表1：‎ 生产能力分组 人数 ‎4‎ ‎8‎ x ‎5‎ ‎3‎ 表2：‎ 生产能力分组 人数 ‎6‎ y ‎36‎ ‎18‎ ‎（1）求x，y的值；‎ ‎（2）在答题纸上完成频率分布直方图；并根据频率分布直方图，估计该工厂B类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）和中位数．（结果均保留一位小数）‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1），‎ ‎；（2）频率分布直方图见解析，平均数为133.8，中位数为134.6．‎ ‎【解析】(1)由分层抽样可得：A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名，再运算即可求得，；‎ ‎（2）由频率分布直方图中平均数、中位数的求法可得：，中位数为，得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知A类工人中应抽查25名，B类工人中应抽查75名．‎ 故，得，，得．‎ ‎（2）频率分布直方图如下：‎ ‎ ‎ 中位数为 故平均数为133.8，中位数为134.6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分层抽样、频率分布直方图中平均数、中位数的求法，属基础题.‎ ‎21．在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2. ‎ 如图1 如图2‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【解析】（1）在题图1中，可证 ，在题图2中，平面.进而得到平面.从而证得平面平面；‎ ‎（2）可证得平面. .则以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得. ‎ 又因为为的中点，所以 ‎ 在题图2中，，，且，‎ 所以平面，‎ 所以平面. ‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.‎ 所以平面. ‎ 又因为平面，‎ 所以.‎ 以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 在题图1中，设，则，，，.‎ 则，，，.‎ 所以，，. ‎ 设为平面的法向量，‎ 则，即 令，则.所以. ‎ 设与平面所成的角为，‎ 则.‎ 所以直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知过点的动直线l与椭圆C交于 A，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，结合 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、即可得结果；（2）设过点的直线 的方程为与椭圆交于,则整理得，根据韦达定理及平面向量数量积公式可将表示为的函数，消去可得，从而可得，存在以为直径的圆恒过定点 ，且定点的坐标为.‎ 试题解析：（1）由题意，故， 又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，所以，解得，，所以， 所以椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）当直线l的斜率为0时，令，则，此时以AB为直径的圆的方程为． ‎ 当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为， 联立解得，即两圆过点．‎ 猜想以AB为直径的圆恒过定点． ‎ 对一般情况证明如下：‎ 设过点的直线l的方程为与椭圆C交于,‎ 则整理得，‎ 所以． ‎ 因为 ‎ ‎ ‎，‎ 所以．‎ 所以存在以AB为直径的圆恒过定点T，且定点T的坐标为．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.‎