2020高考数学二轮复习练习:第三部分 回顾7 概率与统计含解析

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2020高考数学二轮复习练习:第三部分 回顾7 概率与统计含解析

回顾7 概率与统计 ‎[必记知识]‎ ‎1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有n类办法,在第一类办法中有m1种方法,在第二类办法中有m2种方法,…,在第n类办法中有mn种方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法(也称加法原理).‎ ‎2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可,做第一步有m1种方法,做第二步有m2种方法,…,做第n步有mn种方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理).‎ ‎3.排列数、组合数公式及其相关性质 ‎(1)排列数公式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=(m≤n,m,n∈N*),A=n!=n(n-1)(n-2)…·2·1(n∈N*).‎ ‎[提醒] (1)在这个公式中m,n∈N*,且m≤n,并且规定0!=1,当m=n时,A=n!.‎ ‎(2)A=主要有两个作用:①利用此公式计算排列数;②对含有字母的排列数的式子进行变形时常使用此公式.)‎ ‎(2)组合数公式 C===(m≤n,n,m∈N*).‎ ‎[提醒] (1)公式C=主要有两个作用:①利用此公式计算组合数;②对含有字母的组合数的式子进行变形和证明时,常用此公式.‎ ‎(2)组合数的性质,C=C(m≤n,n,m∈N*),C=C+C(m≤n,n,m∈N*).‎ ‎(3)排列数与组合数的联系,A=CA.‎ ‎4.二项式定理 ‎(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-kbk+…+Cbn(n∈N*).这个公式叫做二项式定理,‎ 右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系数C(k=0,1,2,…,n)叫做二项式系数.式中的Can-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第k+1项:Tk+1=Can-kbk(其中0≤k≤n,k∈N,n∈N*).‎ ‎5.二项展开式形式上的特点 ‎(1)项数为n+1.‎ ‎(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.‎ ‎(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.‎ ‎(4)二项式的系数从C,C,一直到C,C.‎ ‎[提醒] 对于二项式定理应用时要注意 ‎(1)区别“项的系数”与“二项式系数”,审题时要仔细.项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正.‎ ‎(2)运用通项求展开的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出k,再求所需的某项;有时需先求n,计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.‎ ‎(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和,常赋的值为0,±1.‎ ‎(4)在化简求值时,注意二项式定理的逆用,要用整体思想看待a,b.‎ ‎6.概率的计算公式 ‎(1)古典概型的概率公式 P(A)=;‎ ‎(2)互斥事件的概率计算公式 P(A∪B)=P(A)+P(B);‎ ‎(3)对立事件的概率计算公式 P(A)=1-P(A).‎ ‎7.统计中四个数据特征 ‎(1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据;‎ ‎(2)中位数:在样本数据中,将数据按大小排列,位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平均数作为中位数;‎ ‎(3)平均数:样本数据的算术平均数,‎ 即=(x1+x2+…+xn);‎ ‎(4)方差与标准差 方差:s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2].‎ 标准差:‎ s=.‎ ‎8.二项分布 ‎(1)相互独立事件的概率运算 ‎①事件A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).‎ ‎②若事件A1,A2,…,An相互独立,则这些事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).‎ ‎③事件A,B相互独立,则和,A与,与B也相互独立.‎ ‎(2)条件概率P(B|A)=的性质 ‎①0≤P(B|A)≤1.‎ ‎②若B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).‎ ‎③若A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).‎ ‎(3)二项分布 如果在每次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ=k)=Cpkqn-k,其中k=0,1,…,n,q=1-p,于是得到随机变量ξ的概率分布列如下:‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ k ‎…‎ n P Cp0qn Cp1qn-1‎ ‎…‎ Cpkqn-k ‎…‎ Cpnq0‎ 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ~B(n,p),其中n,p为参数,并称p为成功概率.‎ ‎[提醒] 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,此时称随机变量X服从超几何分布.‎ ‎9.正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足P(a<X≤b)=φμ,σ(x)dx(即直线x=a,‎ 直线x=b,正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积),则称随机变量X服从正态分布,记作X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.‎ ‎(2)正态曲线的特点 ‎①曲线位于x轴上方,与x轴不相交.‎ ‎②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.‎ ‎③曲线在x=μ处达到峰值 .‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为1.‎ ‎⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.‎ ‎⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.‎ ‎[提醒] P(X≤a)=1-P(X>a);P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).‎ ‎[必会结论]‎ ‎1.求解排列问题常用的方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素的排列产生的空中 先整体,‎ 后局部 ‎“小集团”排列问题中,先整体,后局部 除法 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 间接法 正难则反,等价转化的方法 ‎2.二项式系数的性质 ‎(1)对称性:在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即C=C.‎ ‎(2)增减性与最大值:二项式系数C,当k<时,二项式系数逐渐增大;当k>时,二项式系数逐渐减小.当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数最大.‎ ‎(3)各二项式系数的和:(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即C+C+…+C=2n.‎ ‎(4)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和,即C+C+…=C+C+…=2n-1.‎ ‎3.均值与方差的性质结论 ‎(1)均值的性质结论 ‎①E(k)=k(k为常数).‎ ‎②E(aX+b)=aE(X)+b.‎ ‎③E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).‎ ‎④若X1,X2相互独立,则E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).‎ ‎(2)方差的相关性质结论 ‎①D(k)=0(k为常数).‎ ‎②D(aX+b)=a2D(X).‎ ‎③D(X)=E(X2)-[E(X)]2.‎ ‎④若X1,X2,…,Xn两两独立,则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn).‎ ‎(3)两点分布与二项分布的均值与方差 ‎①若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). ‎ ‎②若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).‎ ‎[必练习题]‎ ‎1.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值为(  )‎ A.62,62.5       B.65,62‎ C.65,63.5 D.65,65‎ 解析:选D.由图易知最高的矩形为第三个矩形,所以时速的众数为65.前两个矩形的面积为(0.01+0.02)×10=0.3,由于0.5-0.3=0.2,则×10=5,所以中位数为60+5=65.故选D.‎ ‎2.在的展开式中,x的幂指数是非整数的项共有(  )‎ A.18项 B.19项 C.20项 D.21项 解析:选C.展开式的通项公式为Tr+1=C(x)24-r·(x-)r=Cx12-r(0≤r≤24,r∈N),若x的幂指数是整数,则12-r为整数,所以r=0,6,12,18,24,共可取5个值,因为的展开式中有25项,所以x的幂指数是非整数的项共有25-5=20项,故选C.‎ ‎3.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是(  )‎ A.7 B.-7‎ C.21 D.-21‎ 解析:选C.因为的展开式中各项系数之和为128,所以令x=1,则2n=128,解得n=7,所以的展开式中第r+1项为Tr+1=C(3x)7-r=(-1)rC37-rx7-,令7-r=-3,解得r=6,所以的系数为(-1)6C×3=21.故选C.‎ ‎4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(  )‎ A.-80 B.-40‎ C.40 D.80‎ 解析:选C.由二项式定理可得,展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(-y)3+y·C(2x)3(-y)2=40x3y3,则x3y3的系数为40.‎ ‎5.从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有(  )‎ A.16种 B.18种 C.22种 D.37种 解析:选A.可分为两类,第一类:甲、乙两个盒子恰有一个被选中,有CC=12种;第二类:甲、乙两个盒子都被选中,有CC=4种,所以共有12+4=16种不同的情况,故选A.‎ ‎6.某彩票公司每天开奖一次,从1,2,3,4四个号码中随机开出一个作为中奖号码,开奖时如果开出的号码与前一天的相同,就要重开,直到开出与前一天不同的号码为止.如果第一天开出的号码是4,那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有(  )‎ A.14种 B.21种 C.24种 D.35种 解析:选B.第一天开出4,第五天同样开出4,则第二天开出的号码有3种情况,‎ 如果第三天开出的号码是4,则第四天开出的号码有3种情况;如果第三天开出的号码不是4,则第四天开出的号码有2种情况,所以满足条件的情况有3×1×3+3×2×2=21种.‎ ‎7.编号为A,B,C,D,E的五个小球放在如图所示的五个盒子里,要求每个盒子只能放一个小球,且A球不能放在4号,5号,B球必须放在与A球相邻的盒子中,则不同的放法的种数为________.‎ 解析:根据A球所在的位置可分三类:(1)若A球放在1号盒子内,则B球只能放在2号盒子内,余下的三个盒子放C,D,E球,有3×2×1=6种不同的放法.(2)若A球放在3号盒子内,则B球只能放在2号盒子内,余下的三个盒子放C,D,E球,有3×2×1=6种不同的放法.(3)若A球放在2号盒子内,则B球可以放在1号,3号,4号中的任何一个盒子内,余下的三个盒子放C,D,E球,有3×3×2×1=18种不同的放法.综上可得不同的放法共有6+6+18=30种.‎ 答案:30‎ ‎8.已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球,现从中随机取出一球,再换回一个不同颜色的球(即若取出的是白球,则放回一个黑球;若取出的是黑球,则放回一个白球).记换好后袋中的白球个数为X,则X的数学期望E(X)=________,方差D(X)=________.‎ 解析:依题意可知X的可能取值为1,3,且P(X=1)=,P(X=3)=.故X的分布列为 X ‎1‎ ‎3‎ P 所以E(X)=1×+3×=,D(X)=×+×=.‎ 答案:  ‎ ‎
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