高考数学精英备考专题讲座 选考系列

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选考系列 一、高考预测 几何证明选讲是高考的选考内容，主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线 分线段成比例定理；圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边 形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对本部分的考查主要是一道选考解答题， 预测 2012 年仍会如此，难度不会太大． 矩阵与变换主要考查二阶矩阵的基本运算，主要是以解答题的形式出现．预测在 2012 年 高考主要考查(1)矩阵的逆矩阵；(2)利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程． 坐标系与参数方程重点考查直线与圆的极坐标方程，极坐标与直角坐标的互化；直线，圆 与椭圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，题目不难，考查 “转化”为目的．预测 2012 高考中，极坐标、参数方程与直角坐标系间的互化仍是考查的热点，题目容易． 不等式选讲是高考的选考内容之一，主要考查绝对值的几何意义，绝对值不等式的解法 以及不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法)．关于含有绝对值的不等式的问题．预 测 2012 年高考在本部分可能会考查不等式的证明或求最值问题． 参数方程与极坐标 1．极点的极径为 0，极角为任意角，即极点的坐标不是惟一的．极径ρ 的值也允许取负值， 极角θ 允许取任意角，当ρ <0 时，点 M(ρ ，θ )位于极角θ 的终边的反向延长线上，且 OM＝| ρ |，在这样的规定下，平面上的点的坐标不是惟一的，即给定极坐标后，可以确定平面上惟 一的点，但给出平面上的点，其极坐标却不是惟一的．这有两种情况：①如果所给的点是极 点，其极径确定，但极角可以是任意角；②如果所给点 M 的一个极坐标为(ρ ，θ )(ρ ≠0)， 则(ρ ，2kπ ＋θ )，(－ρ ，(2k＋1)π ＋θ )(k∈Z)也都是点 M 的极坐标．这两种情况都使点 的极坐标不惟一，因此在解题的过程中要引起注意． 2．在进行极坐标与直角坐标的转化时，要求极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合， 极轴与 x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，在这个前提下才能用转化公式．同时，在曲线 的极坐标方程和直角坐标方程互化时，如遇约分，两边平方，两边同乘以ρ ，去分母等变形， 应特别注意变形的等价性． 3．对于极坐标方程，需要明确：①曲线上点的极坐标不一定满足方程．如点 P(1,1)在方 程ρ ＝θ 表示的曲线上，但点 P 的其他形式的坐标都不满足方程；②曲线的极坐标方程不惟 一，如ρ ＝1 和ρ ＝－1 都表示以极点为圆心，半径为 1 的圆． 2．对于不等式的各项取倒数问题，一定要分清各项的符号，对于同号的，可运用深化(2)； 若不同号，可根据符号进行判定． 3．解含绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值．常用的方法是：①由定义分段讨论； ②利用绝对值不等式的性质；③平方． 4．解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有 关，就必须分类讨论．注意：①要考虑参数的取值范围；②用同一标准对参数进行划分，做 到不重不漏．5．利用绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是解决带有绝对值符号 问题的关键，如何去掉绝对值符号，一定要认真总结规律与方法．6．绝对值不等式的证明通 常与放缩法联系在一起，放缩常用如下绝对值不等式： ①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 7．注意柯西不等式等号成立的条件⇔a1b2－a2b1＝0，这时我们称(a1，a2)，(b1，b2)成比例， 如果 b1≠0，b2≠0，那么 a1b2－a2b1＝0⇔＝.若 b1·b2＝0，我们分情况说明：①b1＝b2＝0，则 原不等式两边都是 0，自然成立；②b1＝0，b2≠0，原不等式化为(a＋a)b≥ab，是自然成立的； ③b1≠0，b2＝0，原不等式和②的道理一样，自然成立．正是因为 b1·b2＝0 时，不等式恒成 立，因此我们研究柯西不等式时，总是假定 b1·b2≠0，等号成立的条件可写成＝. 三、易错点点睛 几何证明选讲 几何证明选讲是考查同学们推理能力、逻辑思维能力的好资料，题目以证明 题为主，特别是一些定理的证明和用多个定理证明一个问题的题目，我们更应注意．重点把 握以下内容：1．射影定理的内容及其证明；2．圆周角与弦切角定理的内容及证明；3．圆幂 定理的内容及其证明；4．圆内接四边形的性质与判定；5．平行投影的性质与 圆锥曲线的统一定义． 如图，A，B，C，D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点，且 EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长 CD 到 F，延长 DC 到 G，使得 EF＝EG，证明： A，B，G，F 四点共圆． 证明 (1)因为 EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因为 A，B，C，D 四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA. 故∠ECD＝∠EBA.所以 CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE.因为 EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连结 AF，BG，则△ EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又 CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠ GBA＝180°.故 A，B，G，F 四点共圆． 易错提醒 (1)对四点共圆的性质定理和判定定理理解不透．(2)不能正确作出辅 助线，构造四边形．(3)角的关系转化不当． 矩阵与变换矩阵与变换易错易漏 (1)因矩阵乘法不满足交换律，多次变换对应 矩阵的乘法顺序易错． (2)图形变换后，所求图形方程易代错． 已知矩阵 M＝o(sup12(1b，N＝o(sup12(c0，且 MN＝o(sup12(2－2 .(1) 求实数 a，b，c，d 的值；(2)求直线 y＝3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的 象的方程． 解 方法一 (1)由题设得解得 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为(α 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相 同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，曲线 C2 的方程为ρ (cos θ － sin θ )＋1＝0，则 C1 与 C2 的交点个数为________． 解 曲线 C1 化为普通方程为圆：x2＋(y－1)2＝1，曲线 C2 化为直角坐标方程为直线：x－y＋1 ＝0.因为圆心(0,1)在直线 x－y＋1＝0 上，故直线与圆相交，交点个数为 2 易错提醒 (1)忽视将 C1 的参数方程和 C2 的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程，即转化 目标不明确．(2)转化或计算错误． 不等式选讲[来源:高&考%资(源#网 wxc] 设 a、b 是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)． 证明 由 a，b 是非负实数，作差得 a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－) ＝(－)[()5－()5]． 当 a≥b 时，≥，从而()5≥()5，得(－)[()5－()5]≥0； 当 a0. 所以 a3＋b3≥(a2＋b2)． 易错提醒 (1)用作差法证明不等式入口较易，关键是分解因式，多数考生对分组分解因式 不熟练．(2)分解因式后，与零比较时，易忽略分类讨论． 设 f x ax bx( )  2 ，且1 1 2 2 1 4    f f( ) ( )， ，求 f ( )2 的取值范围。 易错提醒此题易在 x  0 时 2 2 1x   处出错，忽略了 的前提。这提醒我们分段求解 的结果要考虑分段的前提。 四、典型习题导练 1、自圆O 外一点 P 引圆的一条切线 PA ，切点为 A ， M 为 PA 的中 点，过点 M 引圆O 的割线交该圆于 ,BC两点，且 100BMP， 40BPC.⑴求证： MBP 与 MPC 相似； ⑵求 MPB 的大小. 【解析】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及圆的 性质以及三角形相似等有关知识内容. ⑴因为 MA 为圆的切线，所以 2MA MB MC.又 M 为 PA 中点，所以 2MP MB MC.因 为 BMP PMC   ，所以 BMP 与 PMC 相似.（5 分） ⑵由⑴中 与 相似，可得 MPB MCP   .在 MCP 中， 由 180MPB MCP BPC BMP        ，得 180 202 BPC BMPMPB       .(10 分) （Ⅰ）求证： AH 平分 EAF ； （Ⅱ）若 4CH ，  60CAB ，求圆弧 BHC 的长. 【解析】（Ⅰ）证明：连结OH ，则 EFOH  . EF ∥ BC ， BCOH  ， H 为弧 BC 的中点 FAHEAH  AH 平分 … 5 分 （Ⅱ）连结CO 、 BO ，则  60COH ， COH 为等边三角形， 4 CHCO ，又  120BOC  的长为 3 8 … 10 分 5、如图 ABC 内接于圆O ，AB AC ，直线 MN 切圆C 于点C ，BD ∥ ,MN AC BD与 相 交于点 E ． (1)求证： ADAE  ; D F E H O A B C A B C D E M N (2)若 6, 4,AB BC AE求 ． 6、如图，直线 AB 经过圆上 O 的点 C，并且 OA=OB，CA=CB，圆 O 交于直线 OB 于 E，D，连接 EC，CD，若 tan∠CED= 1 2 ，圆 O 的半径为 3，求 OA 的长． 【解析】如图，连接OC ，因为 ,OA OB CA CB，所以OC AB ． 因为OC 是圆的半径，所以 AB 是圆的切线．……………3 分 因为 ED 是直径，所以 90ECD ，所以 90E EDC     ， 又 90 ,BCD OCD OCD ODC       ， 所以 BCD E   ，又因为 CBD EBC   ， 所以 BCD ∽ BEC ，所以 2BC BD BC BD BEBE BC    ， ………5 分 2 1tan  EC CDCED ， BCD ∽ BEC ， 2 1 EC CD BC BD ． 设 BD x ，则 2BC x ，因为 2BC BD BE，所以 2(2 ) ( 6)x x x，所以 2BD  ．9 分 所以 2 3 5OA OB BD OD      ． 10 分 7、在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为 sin cos sin 2 x y      ( 为参数)，若以该直角 坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极坐标方程为： 2sin( )42t （其中t 为常数）⑴若曲线 N 与曲线 M 只有一个公共点，求t 的取值范围； ⑵当 2t  时，求曲线 M 上的点与曲线 N 上点的最小距离. 【解析】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角 坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容.对于曲线 M,消去参 数，得普通方程为 2,12  xxy ,曲线 M 是抛物线的一部分； 对于曲线 N，化成直 角坐标方程为 tyx  ，曲 线 N 是一条直线. (2 分) A B C D E O 第 22 题图 8、在直角坐标系 xoy 中，直线l 的参数方程为 ).(21 ,4 为参数tty tax      在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，极轴与 x 轴的非负半轴重合）中， ).4cos(22  的方程为圆C (Ⅰ)求圆心 C 到直线l 的距离；（Ⅱ）若直线l 被圆 C 截得的弦长为 a求,5 56 的值. 【解析】(Ⅰ)圆 C 的方程整理可得： 2 2 (cos sin )     化为标准方程得： 22( 1) ( 1) 2xy    .圆心为(1, 1) ，半径为 2 . 直线l 一般方程为： 2 2 0x y a    ， 故圆心 C 到 的距离 |1 | 5 |1 |55 ada   （Ⅱ）由题意知圆心 C 到直线 的距离 223 5 5( 2) ( )55d    .由（Ⅰ）知 55|1 |55 a，得 02aa或 ----10 分 9、在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为        ty tx 2 25 2 23 )( 为参数t ．在极坐标系(与 直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的 方程为  sin52 . （Ⅰ）求圆 的直角坐标方程；Ⅱ）设圆 与直线l 交于点 BA、 ，若点 P 的坐标为 )5,3( ， 求 |||| PBPA  . 1 0、在平面直角坐标系 xOy 中，判断曲线 C：( 为参数）与直线 l：(t 为参数)是否有公共点， 并证明你的结论． 11、在直角坐标系 xOy中，直线 l 的参数方程为： (12 xt tyt    为参数), 在以 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆 C 的极坐标方程为： 2 2 sin( ).4  （Ⅰ）将 直线 l 的参数方程化为普通方程，圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与 圆 C 的位置关系. 【解析】(1)将直线l 的参数方程经消参可得直线的普通方程为： : 2 1 0l x y   3 分 由 2 2 sin( )4  得 2 2 sin 2 cos    ，  222 2 0x y x y    即圆C 直角坐标方程为 22( 1) ( 1) 2xy    . 6 分 (2)由(1)知，圆 的圆心 (1,1)C ，半径 2r  ， 则圆心 到直线 的距离 1 2 1 1 25 2,55 d      故直线 与圆 相交. 10 分 13、已知函数 ( ) | 1| | 2 2|.f x x x    ⑴解不等式 ( ) 5fx ；⑵若关于 x 的方程 1 ( ) 4 afx  的解集为空集，求实数 a 的取值范围. 【解析】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及不等式的解法以及 函数等有关知识内容. （1）        1,13 11,3 1,13 )( xx xx xx xf 当 1x 时，由 513 x 解得： 3 4x ；当 11  x 时，由 53 x 得 2x ，舍去；当 1x 时，由 513  x ，解得 2x . 所以原不等式解集 为 4|2 3x x x   或 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 中 分 段 函 数 ()fx的 解 析 式 可 知 : 在区间  ,1  上 单 调 递 减 ， 在 区 间  1,  上 单 调 递 增 . 并且 min( ) ( 1) 2f x f   ，所以函数 ()fx 的值域为 [2, ) . 从而 ( ) 4fx 的 取 值 范 围 是 [ 2, )  , 进而 1 ( ) 4fx ( ( ) 4 0)fx 的取值范围是 1( , ] (0, )2   .根据已知关于 的方程 的解集为空集，所以实数 a 的取值范围是 1( ,0]2 . (10 分) 16、设 ,,abc均为正数，证明： 2 2 2abc abcb c a   ≥ . 【解析】本题考查基本不等式的应用，难点在于通过观察分析、构造不等式. 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c a b ca b c b c a a b cb c a b c a                             ≥ 即得 19、已知 a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：． 【解析】法一：因为 a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以 ()[(2a＋1)＋(2b＋1)] ＝1＋4＋……5 分≥5＋2＝9．……… 3 分 而 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以．………… 2 分 20、设矩阵 M＝．（ 1）求矩阵 M 的逆矩阵 M－1；（ 2）求矩阵 M 的特征值． 【解析】（1）矩阵 A＝(ad－bc≠0)的逆矩阵为 A－1＝． 所以矩阵 M 的逆矩阵 M－1＝．……… 5 分． （2）矩阵 M 的特征多项式为 f()＝＝2－4－5． 令 f()＝0，得到 M 的特征值为－1 或 5．……… 10 分 21、在平面直角坐标系xOy中，直线 y kx 在矩阵 01 10  对应的变换下得到的直线过点 (4 1)P , ， 求实数 k 的值． 【解析】设变换 T： xx yy           ，则 01 10 x x y y y x                  ，即 . xy yx      ， …5 分代入直线 y kx ， 得 x ky ． 将点 (4 1)P ， 代入上式，得 k  4．………10 分 22、已知二阶矩阵 M 有特征值  ＝３及对应的一个特征向量 1 1 1e  ，并且 M 对应的变换将