专题9-6+双曲线（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

专题9-6+双曲线（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）

‎ ‎ ‎【基础巩固】‎ 一、填空题 ‎1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．‎ ‎【答案】2 ‎【解析】由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为‎2c＝2.‎ ‎2．(2017·南京模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎【答案】y＝±x ‎【解析】因为2b＝2，所以b＝1，因为‎2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x. ‎ ‎3．(2015·广东卷改编)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．‎ ‎【答案】－＝1‎ ‎4．(2017·苏北四市联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c,0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.‎ ‎5．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点为M，右焦点为F，过点F作垂直于x轴的直线l与双曲线交于A，B两点，且满足MA⊥MB，则该双曲线的离心率是________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意可得AF＝MF，且AF＝，MF＝a＋c，则＝a＋c，即b2＝a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2.‎ ‎6．(2017·南京师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x2＋(y＋2)2＝1没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为________．‎ ‎【答案】(1,2)‎ ‎7．(2017·泰州模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F‎1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为________．‎ ‎【答案】－＝1‎ ‎【解析】由题意知，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y＝x上，因此有解得所以此双曲线的方程为－＝1.‎ ‎8．已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由已知得AB＝，BC＝‎2c，∴2×＝3×‎2c.‎ 又∵b2＝c2－a2，整理得：‎2c2－‎3ac－‎2a2＝0，两边同除以a2得22－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．‎ 二、解答题 ‎9．(2017·镇江期末)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点 P(4，－)．‎ ‎(1)求双曲线的标准方程；‎ ‎(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.‎ ‎∴·＝0.‎ ‎10．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求此双曲线的方程；‎ ‎(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若A＝P，求△AOB的面积．‎ 解　(1)依题意得解得 ‎【能力提升】‎ ‎11．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】取B为双曲线右焦点，如图所示．∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝OB＝2，‎ 又∠AOB＝，‎ ‎∴＝tan＝1，即a＝b.‎ 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.‎ ‎12．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是右支上一点．若△PF‎1F2是顶角为的等腰三角形，则双曲线C的率心率是________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意可得PF2＝F‎1F2＝‎2c，∠PF‎2F1＝，则PF1＝‎2c，由双曲线定义可得PF1－PF2＝‎2c－‎2c＝‎2a，则(－1)c＝a，则双曲线C的离心率是e＝＝.‎ ‎13．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点 P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是________．‎ ‎【答案】(2，8)‎ ‎14．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.‎ ‎(1)求双曲线E的离心率；‎ ‎(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以＝2，所以＝2，故c＝a，‎ 从而双曲线E的离心率e＝＝.‎ 由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.‎ 如图，设直线l与x轴相交于点C.‎ 当l⊥x轴时，‎ 由S△OAB＝OC·|y1－y2|，得 ·＝8，‎ 即m2＝4|4－k2|＝4(k2－4)．‎ 由 得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.因为4－k2＜0，‎ 所以Δ＝4k‎2m2‎＋4(4－k2)(m2＋16)‎ ‎＝－16(4k2－m2－16)．‎ 又因为m2＝4(k2－4)，‎ 所以Δ＝0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．‎ 因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.‎