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文档介绍
数学卷·2018届福建省三明一中高二上学期期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年福建省三明一中高二(上)期中数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请把答案填在答题卷相应的位置上. 1.命题“∀x∈R,2x>0”的否定是( ) A.∃x∈R,2x>0 B.∃x∈R,2x≤0 C.∀x∈R,2x<0 D.∀x∈R,2x≤0 2.现要完成下列3项抽样调查: ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有32排,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请32名听众进行座谈. ③高新中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员2名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 3.抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为( ) A. B. C.4 D.2 4.阅读如右图所示的程序框图,则输出的值是( ) A.6 B.18 C.27 D.124 5.“m<0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.一抛物线形拱桥,当水面宽4米时,水面离拱顶2米,若水面下降1米,则水面的宽为( ) A.米 B.2米 C.6米 D.8米 7.如图,E,F分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,M为EF的中点,若=, =, =,则下列向量中与相等的向量是( ) A.﹣ ﹣+ B. ++ C. ﹣+ D.﹣ ++ 8.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( ) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 9.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆与两点A,B,则|AF2|+|BF2|的最大值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 10.掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量=(m,n)与向量=(1,﹣1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是( ) A. B. C. D. 11.过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,2|AF|=|BF|+|BA|,则|AB|=( ) A.3 B. C.4 D. 12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则当e1e2取最小值时,e1,e2分别为( ) A., B., C., D., 二、填空题:本大题共4小题中,每小题5分,共20分.请把答案写在答题卷相应位置上. 13.把八进制数(102)(8)转化为三进制数为( )(3). 14.某中学调查200名学生每周晚自习时间(单位,小时),制成了如图所示频率分布直方图,其中自习时间的范围为[17.5,30],根据直方图,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是 . 15.双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为 . 16.已知A、B是椭圆+=1的两个顶点,C、D是椭圆上两点,且分别在AB两侧,则四边形ABCD面积最大值是 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)已知命题p:函数f(x)=lg(x2+mx+m)的定义域为R,命题q:函数g(x)=x2﹣2x﹣1在[m,+∞)上是增函数. (Ⅰ)若p为真,求m的范围; (Ⅱ)若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求m的取值范围. 18.(12分)已知双曲线C的中心在坐标原点,F(﹣2,0)是C的一个焦点,一条渐进线方程为x﹣y=0. (Ⅰ)求双曲线方程; (Ⅱ)若直线l:y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点,求k的值. 19.(12分)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队有6人. (1)求n的值; (2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率. (3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1] 之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率. 20.(12分)已知曲线C上的任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=﹣1的距离相等,直线l过点A(1,1),且与C交于P,Q两点; (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)若A为PQ的中点,求三角形OPQ的面积. 21.(12分)如图,已知椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,且经过过点P(2,1). (1)求椭圆M的标准方程; (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆M上异于顶点的任意两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=﹣. ①求x12+x22的值; ②设点B关于x轴的对称点为C(点C,A不重合),试求直线AC的斜率. 22.(10分)一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验.收集的数据如下: 零件个数x(个) 1 2 3 4 加工时间y(小时) 2 3 5 8 (Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程; (Ⅱ)现需生产20件此零件,预测需用多长时间? (参考公式: =, =﹣x) 2016-2017学年福建省三明一中高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请把答案填在答题卷相应的位置上. 1.命题“∀x∈R,2x>0”的否定是( ) A.∃x∈R,2x>0 B.∃x∈R,2x≤0 C.∀x∈R,2x<0 D.∀x∈R,2x≤0 【考点】命题的否定. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题,去判断. 【解答】解:因为命题是全称命题,根据全称命题的否定是特称命题, 所以命题的否定∃x∈R,2x≤0. 故选:B. 【点评】本题主要考查全称命题的否定,要求掌握全称命题的否定是特称命题. 2.现要完成下列3项抽样调查: ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查. ②科技报告厅有32排,每排有40个座位,有一次报告会恰好坐满了听众,报告会结束后,为了听取意见,需要请32名听众进行座谈. ③高新中学共有160名教职工,其中一般教师120名,行政人员16名,后勤人员2名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本. 较为合理的抽样方法是( ) A.①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样 B.①简单随机抽样,②分层抽样,③系统抽样 C.①系统抽样,②简单随机抽样,③分层抽样 D.①分层抽样,②系统抽样,③简单随机抽样 【考点】收集数据的方法. 【分析】观察所给的四组数据,根据四组数据的特点,把所用的抽样选出来①简单随机抽样,②系统抽样,③分层抽样. 【解答】解;观察所给的四组数据, ①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法,简单随机抽样, ②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段, 在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号, 在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号,系统抽样, ③个体有了明显了差异,所以选用分层抽样法,分层抽样, 故选A. 【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法.常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法.简单随机抽样和系统抽样过程中,每个个体被抽取的可能性是相等的. 3.抛物线y=﹣x2的焦点与准线的距离为( ) A. B. C.4 D.2 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】将抛物线的方程转化成标准方程,则抛物线的焦点在y轴上,即2p=4,p=2,焦点与准线的距离为p=2. 【解答】解:将抛物线y=﹣x2转化成标准方程:x2=﹣4y,则抛物线的焦点在y轴上,即2p=4,p=2, 焦点(0,﹣1),准线方程为y=1, 焦点与准线的距离为p=2, 故选D. 【点评】本题考查抛物线的标准方程,考查抛物线的简单几何性质,考查抛物线焦点到准线的距离,属于基础题. 4.阅读如右图所示的程序框图,则输出的值是( ) A.6 B.18 C.27 D.124 【考点】程序框图. 【分析】运行程序,即可得出结论. 【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: s=1,n=2;s=3•2=6,n=3;s=(6+3)•3=27,n=4,退出循环, 故选C. 【点评】本题主要考查了循环结构,先执行后判定是直到型循环,解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律. 5.“m<0”是“﹣=1表示的曲线是双曲线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】求出﹣=1表示的曲线是双曲线的充要条件,根据集合的包含关系判断即可. 【解答】解:若﹣=1表示的曲线是双曲线, 则m(m﹣1)>0,解得:m>1或m<0 故m<0是m>1或m<0的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查双曲线的定义,是一道基础题. 6.一抛物线形拱桥,当水面宽4米时,水面离拱顶2米,若水面下降1米,则水面的宽为( ) A.米 B.2米 C.6米 D.8米 【考点】抛物线的应用. 【分析】先建立直角坐标系,将A点代入抛物线方程求得m,得到抛物线方程,再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案. 【解答】解:如图建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=my, 将A(2,﹣2)代入x2=my, 得m=﹣2 ∴x2=﹣2y,代入B(x0,﹣3)得x0=, 故水面宽为2米. 故选:B 【点评】本题主要考查抛物线的应用.考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力.属于中档题. 7.如图,E,F分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,M为EF的中点,若=, =, =,则下列向量中与相等的向量是( ) A.﹣ ﹣+ B. ++ C. ﹣+ D.﹣ ++ 【考点】空间向量的加减法. 【分析】利用向量平行四边形法则即可得出. 【解答】解: =,,, ∴=++, 故选:B. 【点评】本题考查了向量平行四边形法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 8.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( ) A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【考点】极差、方差与标准差;分布的意义和作用;众数、中位数、平均数. 【分析】根据平均数公式分别求出甲与乙的平均数,然后利用方差公式求出甲与乙的方差,从而可得到结论. 【解答】解: =×(4+5+6+7+8)=6, =×(5+5+5+6+9)=6, 甲的成绩的方差为×(22×2+12×2)=2, 以的成绩的方差为×(12×3+32×1)=2.4. 故选:C. 【点评】本题主要考查了平均数及其方差公式,同时考查了计算能力,属于基础题. 9.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆与两点A,B,则|AF2|+|BF2|的最大值为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由题意方程求得椭圆的半焦距,结合椭圆定义求得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,则|AF2|+|BF2|=8﹣|AB|,再求出当AB垂直于x轴时的最小值,则|AF2|+|BF2|的最大值可求. 【解答】解:由题意可知:椭圆+=1焦点在x轴上,a=2,b=,c=1, 由椭圆的定义可知:|AF2|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,则|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8, |AF2|+|BF2|=8﹣|AB|, ∵当且仅当AB⊥x轴时,|AB|取得最小值, 当x=﹣c=﹣1, +=1,解得:y=±, ∴|AB|min=3, ∴|AF2|+|BF2|的最大值为8﹣3=5. 【点评】本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆通径的求法,考查计算能力,属于基础题. 10.掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量=(m,n)与向量=(1,﹣1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是( ) A. B. C. D. 【考点】几何概型. 【分析】 由已知掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记为(m,n),共有36种可能,而由数量积则θ∈(0,]的,n范围是m﹣n≥0并且m+n≠0,由几何概型公式得到所求. 【解答】解:解:连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记(m,n)有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个基本事件 若θ∈(0,],则m≥n,则满足条件的(m,n)有: (1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5,2) (5,3),(5,4),(5,5),(6,1),(6,2),(6,3) (6,4),(6,5),(6,6),共21个基本事件 则P=; 故选C. 【点评】本题主要考查古典概型概率求法,用到了用两个向量的数量积表示两个向量的夹角;解答本题的关键是明确概率模型,分别求出所有事件以及满足条件的事件个数,利用公式解答. 11.过抛物线x2=4y的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,2|AF|=|BF|+|BA|,则|AB|=( ) A.3 B. C.4 D. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】由题意可设直线方程y=kx+1,与抛物线方程联立,化为关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系得到A,B的纵坐标的乘积,结合2|AF|=|BF|+|BA|,求得A,B的纵坐标,则|AB|可求. 【解答】解:由抛物线x2=4y,得F(0,1), 若直线l⊥x轴,不合题意; 设直线l的方程为y=kx+1, 代入x2=4y,得y2﹣(4k2+2)y+1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=4k2+2,y1y2=1,① ∵|BF|+|BA|=2|FA|,∴|BF|+|BF|+|AF|=2|FA|, ∴|FA|=2|BF|, 即y1+1=2(y2+1),即 代入①得,∴y1=2, 则|AB|=. 故选:D. 【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查运算求解能力,推理论证能力,考查化归与转化思想,是中档题. 12.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则当e1e2取最小值时,e1,e2分别为( ) A., B., C., D., 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】设出椭圆与双曲线的标准方程分别为:(a>b>0),(a1>0,b1>0),利用定义可得:m+n=2a,m﹣n=2a1,解出m,n.利用余弦定理可得关于e1,e2的等式,再由基本不等式求得当e1e2取最小值时,e1,e2的值. 【解答】解:不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为:(a>b>0), (a1>0,b1>0), 设|PF1|=m,|PF2|=n.m>n. 则m+n=2a,m﹣n=2a1, ∴m=a+a1,n=a﹣a1. cos=, 化为: =(a+a1)(a﹣a1). ∴﹣4c2=0, ∴, ∴4≥2,则,即,当且仅当e1=,e2=时取等号. 故选:C. 【点评】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 二、填空题:本大题共4小题中,每小题5分,共20分.请把答案写在答题卷相应位置上. 13.把八进制数(102)(8)转化为三进制数为( 2110 )(3). 【考点】进位制. 【分析】首先把八进制数字转化成十进制数字,用所给的数字最后一个数乘以8的0次方,依次向前类推,相加得到十进制数字,再用这个数字除以3,倒序取余即得三进制数. 【解答】解:102(8)=1×82+0×81+2×80=66(10) 66÷3=22…0 22÷3=7…1 7÷3=2…1 2÷3=0…2 故102(8)=2110(3) 故答案为:2110. 【点评】本题考查进位制之间的转化,本题涉及到三个进位制之间的转化,实际上不管是什么之间的转化,原理都是相同的,考查了转化思想,属于基础题. 14.某中学调查200名学生每周晚自习时间(单位,小时),制成了如图所示频率分布直方图,其中自习时间的范围为[17.5,30],根据直方图,这200名学生每周自习时间不少于22.5小时的人数是 140 . 【考点】频率分布直方图. 【分析】根据已知中的频率分布直方图,先计算出自习时间不少于22.5小时的频率,进而可得自习时间不少于22.5小时的频数. 【解答】解:自习时间不少于22.5小时的频率为:(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7, 故自习时间不少于22.5小时的频率为:0.7×200=140, 故答案为:140 【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目. 15.双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为 60° . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】由双曲线方程,求得其渐近线方程,求得直线的夹角,即可求得两条渐近线夹角. 【解答】解:双曲线﹣x2=1的两条渐近线的方程为:y=±x, 所对应的直线的倾斜角分别为60°,120°, ∴双曲线双曲线﹣x2=1的两条渐近线的夹角为60°, 故答案为:60°. 【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查直线的倾斜角的应用,属于基础题. 16.已知A、B是椭圆+=1的两个顶点,C、D是椭圆上两点,且分别在AB两侧,则四边形ABCD面积最大值是 . 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】四边形ABCD面积=S△ABD+S△ABC,AC是固定的直线,可判断两条平行直线与AB平行时,切点为C,D,此时h1,h2最大,面积最大时,利用导数求出D(2,) 再利用对称性得出C(﹣2,),|AC|=5,最后利用点到直线的距离,求出即可. 【解答】解:∵A、B是椭圆+=1的两个顶点, ∴A(4,0),B(0,3), ∴直线AB的方程为:3x﹣4y﹣12=0, 当如图两条平行直线与AB平行时,切点为C,D, 此时四边形ABCD面积最大值:S=AC(h1+h2),kAC= y=3, y′== x=2,y=,D(2,) 根据对称性可知:C(﹣2,),|AC|=5 h1=,h2=, S=AC(h1+h2)=××= 【点评】本题考查了椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置故关系,利用数形结合的思想判断出最值的位置,再利用导数求解,即可得需要的点,用公式求解即可. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)(2016秋•三元区校级期中)已知命题p:函数f(x)=lg(x2+mx+m)的定义域为R,命题q:函数g(x)=x2﹣2x﹣1在[m,+∞)上是增函数. (Ⅰ)若p为真,求m的范围; (Ⅱ)若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求m的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【分析】(Ⅰ)根据对数函数以及二次函数的性质得到关于m的不等式,解出即可; (Ⅱ)求出q为真时的m的范围,根据p,q中一真一假,得到关于m的不等式组,解出即可. 【解答】解:(Ⅰ)若p为真,x2+mx+m>0恒成立,…(1分) 所以△=m2﹣4m<0,…(2分) 所以0<m<4.… (Ⅱ)因为函数g(x)=x2﹣2x﹣1的图象是开口向上,对称轴为x=1的抛物线, 所以,若q为真,则m≥1.… 若p∨q为真,p∧q为假,则p,q中一真一假; …(6分) ∴或,…(10分) 所以m的取值范围为{m|0<m<1或m≥4}.…(12分) 【点评】本题考查了对数函数、二次函数的性质,考查复合命题的判断,是一道中档题. 18.(12分)(2016秋•三元区校级期中)已知双曲线C的中心在坐标原点,F(﹣2,0)是C的一个焦点,一条渐进线方程为x﹣y=0. (Ⅰ)求双曲线方程; (Ⅱ)若直线l:y=kx+1与双曲线C有且只有一个公共点,求k的值. 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】(Ⅰ)设双曲线方程为﹣=1,a>0,b>0,依题意,,解得即可, (Ⅱ)联立方程组,消元,根据判别式即可求出k的值. 【解答】解:(Ⅰ)设双曲线方程为﹣=1,a>0,b>0, 依题意,, 解得,所以双曲线方程x2﹣=1, (Ⅱ)联立得(3﹣k2)x2﹣2kx﹣4=0, 因为直线与双曲线有且只有一个公共点, 所以3﹣k2=0或△=(﹣2k)2+16(3﹣k2)=0, 即k2=4或k2=3, 所以k=±或k=±2. 【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查渐近线方程的运用,以及直线和双曲线的位置关系,考查运算能力,属于中档题. 19.(12分)(2012•莆田二模)某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队有6人. (1)求n的值; (2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率. (3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率. 【考点】程序框图;古典概型及其概率计算公式;几何概型. 【分析】(1)根据分层抽样可得,故可求n的值; (2)求出高二代表队6人,从中抽取2人上台抽奖的基本事件,确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件,根据古典概型的概率公式,可得a和b至少有一人上台抽奖的概率; (3)确定满足0≤x≤1,0≤y≤1点的区域,由条件 得到的区域为图中的阴影部分,计算面积,可求该代表中奖的概率. 【解答】解:(1)由题意可得,∴n=160; (2)高二代表队6人,从中抽取2人上台抽奖的基本事件有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b.f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种,其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种, ∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=; (3)由已知0≤x≤1,0≤y≤1,点(x,y)在如图所示的正方形OABC内, 由条件得到的区域为图中的阴影部分 由2x﹣y﹣1=0,令y=0可得x=,令y=1可得x=1 ∴在x,y∈[0,1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为= ∴该代表中奖的概率为=. 【点评】本题考查概率与统计知识,考查分层抽样,考查概率的计算,确定概率的类型是关键. 20.(12分)(2016秋•三元区校级期中)已知曲线C上的任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=﹣1的距离相等,直线l过点A(1,1),且与C交于P,Q两点; (Ⅰ)求曲线C的方程; (Ⅱ)若A为PQ的中点,求三角形OPQ的面积. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】(Ⅰ)利用曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=﹣1的距离相等,可知曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线,从而可求曲线C的方程; (Ⅱ)求出直线l的方程,与抛物线方程联立,利用韦达定理,即可求三角形OPQ的面积. 【解答】解:(Ⅰ)∵曲线C上任意一点到点F(1,0)的距离与到直线x=﹣1的距离相等. ∴曲线C的轨迹是以F(1,0)为焦点的抛物线 ∴曲线C的方程为y2=4x.… (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=2 因为y12=4x1,y22=4x2, 所以作差,可得直线l斜率为2,…(6分) 所以直线方程为y﹣1=2(x﹣1),即y=2x﹣1. 此时直线l与抛物线相交于两点.…(7分) 设T为l与x的交点,则|OT|=,…(8分) 由y=2x﹣1与y2=4x,消去x得y2﹣2y﹣2=0,…(9分) 所以y1+y2=2,y1y2=﹣2,…(10分) 所以三角形OPQ的面积为S=|OT||y1﹣y2|=.…(12分) 【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查直线与抛物线的位置关系,解题的关键是正确运用抛物线的定义,正确运用韦达定理. 21.(12分)(2016春•苏州期末)如图,已知椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,且经过过点P(2,1). (1)求椭圆M的标准方程; (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆M上异于顶点的任意两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=﹣. ①求x12+x22的值; ②设点B关于x轴的对称点为C(点C,A不重合),试求直线AC的斜率. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(1)运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程,结合a,b,c的关系,解方程可得椭圆方程; (2)①运用直线的斜率公式,可得k1k2==﹣,两边平方,再由点A,B的坐标满足椭圆方程,化简整理即可得到所求值; ②由题意可得C(x2,﹣y2),运用椭圆方程可得y12+y22=,配方可得(y1+y2)2=(3+4y1y2),(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2=6+8y1y2,再由直线的斜率公式,化简整理,即可得到所求值. 【解答】解:(1)由题意可得e==, +=1,a2﹣b2=c2, 解得a=2,b=, 可得椭圆标准方程为+=1; (2)①由题意可得k1k2==﹣, 即为x12x22=16y12y22, 又点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆M上异于顶点的任意两点, 可得4y12=8﹣x12,4y22=8﹣x22, 即有x12x22=(8﹣x12)(8﹣x22), 化简可得x12+x22=8; ②由题意可得C(x2,﹣y2), 由4y12=6﹣x12,4y22=6﹣x22, 可得y12+y22==, 由x12+x22=(x1﹣x2)2+2x1x2=6, 可得(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2, 由y12+y22=(y1+y2)2﹣2y1y2=, 可得(y1+y2)2=+2y1y2=(3+4y1y2), 由=﹣,即x1x2=﹣4y1y2, 可得(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2=6+8y1y2, 则直线AC的斜率为kAC==±=±. 【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程,考查直线的斜率的求法,注意运用点满足椭圆方程,直线的斜率公式和两边平方及配方的思想方法,考查化简整理的运算能力,属于中档题. 22.(10分)(2016秋•三元区校级期中)一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了4次试验.收集的数据如下: 零件个数x(个) 1 2 3 4 加工时间y(小时) 2 3 5 8 (Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程; (Ⅱ)现需生产20件此零件,预测需用多长时间? (参考公式: =, =﹣x) 【考点】线性回归方程. 【分析】(Ⅰ)分别求出,,代入公式计算即可;(Ⅱ)将x=20代入=2x﹣0.5,计算即可. 【解答】解:(Ⅰ) ==2.5, ==4.5,…(2分) ==2,查看更多