四川省乐山市2020届高三第一次调查研究考试（12月）数学理科试题 含解析

四川省乐山市2020届高三第一次调查研究考试（12月）数学理科试题 含解析

‎2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁RB）＝（　　）‎ A．[﹣2，1） B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）‎ ‎2．已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（　　）‎ A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i ‎3．（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（　　）‎ A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40‎ ‎4．在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（　　）‎ A．30名 B．40名 C．50名 D．60名 ‎5．函数f（x）＝的零点之和为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎6．我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（　　）‎ A．21名 B．16名 C．13名 D．11名 ‎7．设m＝﹣log‎0.30.6‎，n＝，则（　　）‎ A．m+n＜mn＜0 B．mn＜0＜m+n C．m+n＜0＜mn D．mn＜m+n＜0‎ ‎8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“‎ 我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（　　）‎ A． B． C．10 D．20‎ ‎10．函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知函数f（x）＝，令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．（﹣∞，0） ‎ C． D．‎ ‎12．如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（　　）‎ A． B．45 C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是　 　．‎ ‎14．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝　 　；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝　 　．‎ ‎15．（5分）如图，在单位圆中，7S△PON＝2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM＝　 　．‎ ‎16．（5分）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为　 　．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．‎ ‎17．（12分）已知{an}是递增的等差数列，且满足a2+a4＝20，a1•a5＝36．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求边CD的最小值．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；‎ ‎（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．‎ ‎20．（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查．下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？‎ 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 ‎50‎ 女 ‎14‎ 合计 ‎（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.01‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎，n＝a+b+c+d．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝eax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．‎ ‎（1）求f（x）；‎ ‎（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．‎ 请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ ‎（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M ‎，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知x，y，z均为正数．‎ ‎（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；‎ ‎（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．‎ ‎2020年四川省乐山市高考数学一诊试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}，B＝{x|y＝}，则A∩（∁RB）＝（　　）‎ A．[﹣2，1） B．[1，3] C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣2，1）‎ ‎【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．‎ ‎【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，‎ ‎∴∁RB＝{x|x＜1}，A∩（∁RB）＝（﹣2，1）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2．（5分）已知＝（5，﹣1），＝（3，2），对应的复数为z，则＝（　　）‎ A．5﹣i B．3+2i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i ‎【分析】根据向量的线性表示求出，即可求解z，进而可求．‎ ‎【解答】解：∵＝（5，﹣1），＝（3，2），‎ ‎∴＝﹣（﹣）＝（﹣2，3），对应的复数为z＝﹣2+3i，‎ 则＝﹣2﹣3i，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了平面内对应的向量与复数的关系及共轭复数的定义的概念，属于基础试题．‎ ‎3．（5分）（2x﹣y）5的展开式中，含x3y2的系数为（　　）‎ A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令y的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x3y2的系数．‎ ‎【解答】解：（2x﹣y）5的展开式中，通项公式为 Tr+1＝•（﹣1）r（2x）5﹣r•yr，‎ 令r＝2，可得含x3y2的系数为•23＝80，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎4．（5分）在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）．据此绘制了如图所示的频率分布直方图．则这200名学生中成绩在[80，90）中的学生有（　　）‎ A．30名 B．40名 C．50名 D．60名 ‎【分析】由频率直方图可求出绩在[80，90）内的学生所占的频率，再求出这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生．‎ ‎【解答】解：成绩在[80，90）内的学生所占的频率为1﹣（0.005×2+0.025+0.045）×10＝0.2，‎ 所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查频率直方图，计算人数，属于基础题．‎ ‎5．（5分）函数f（x）＝的零点之和为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】利用已知条件，通过分段函数分别求解函数的零点，即可得到结果．‎ ‎【解答】解：函数f（x）＝，‎ 可得x＞0时，3x﹣2＝0，解得x＝log32，‎ x≤0时，x+log36＝0，解得x＝﹣log36．‎ 所以函数f（x）＝的零点之和为：log32﹣log36＝﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点的求法，考查计算能力．‎ ‎6．（5分）我市高中数学研究会准备从会员中选拔x名男生，y名女生组成﹣个小组去参加数学文化知识竞赛，若x，y满足约束条件，则该小组最多选拔学生（　　）‎ A．21名 B．16名 C．13名 D．11名 ‎【分析】由题意画出约束条件表示的可行域，找出目标函数z＝x+y对应的最优解，计算可行域内使得z取得最大时的最优解．‎ ‎【解答】解：画出x，y满足约束条件，表示的平面区域，如图所示；‎ 要求招入的人数最多，即z＝x+y取得最大值，目标函数化为y＝﹣x+z；‎ 在可行域内任意取x，y且为正整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，‎ 截距最大时的直线为过得A（7，9），此时目标函数取得最大值为：z＝9+7＝16．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的求解问题，是基础题．‎ ‎7．（5分）设m＝﹣log0.30.6，n＝，则（　　）‎ A．m+n＜mn＜0 B．mn＜0＜m+n C．m+n＜0＜mn D．mn＜m+n＜0‎ ‎【分析】先求出m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，﹣＝＜n＝＜0，由此能推导出m+n＜0＜mn．‎ ‎【解答】解：∵m＝﹣log0.30.6＝﹣（log0.30.2+log0.30.3）＝﹣（log0.30.2+1）＜﹣2，‎ ‎﹣＝＜n＝＜0，‎ ‎∴m+n＜0＜mn．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎8．（5分）元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”即输出值是输入值的，则输入的x＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．‎ ‎【解答】解：i＝1时．x＝2x﹣1，i＝2时，x＝2（2x﹣1）﹣1＝4x﹣3，‎ i＝3时，x＝2（4x﹣3）﹣1＝8x﹣7，‎ i＝4时，退出循环，此时8x﹣7＝x 解得x＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力，利用模拟运算法是解决本题的关键．‎ ‎9．（5分）已知单位向量，分別与平面直角坐标系x，y轴的正方向同向，且向量＝3﹣，＝2+6，则平面四边形ABCD的面积为（　　）‎ A． B． C．10 D．20‎ ‎【分析】由已知可得•＝0，可得⊥，可得平面四边形ABCD的面积＝•||•||．‎ ‎【解答】解：•＝（3﹣）•（2+6）＝6﹣6＝0，‎ ‎∴⊥，‎ 又||＝＝，||＝＝2，‎ ‎∴平面四边形ABCD的面积＝•||•||＝×2＝10，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了向量数量积运算性质、四边形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10．（5分）函数f（x）＝x•ln的部分图象可能是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（x）的奇偶性以及（0，π）上的符号，利用排除法分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）＝x•ln，则f（﹣x）＝（﹣x）ln＝x•ln＝f（x），‎ 则函数f（x）为偶函数，据此排除C、D；‎ 在（0，π）上，sinx＞0，则有0＜＜1，必有ln＜0，则f（x）＝xln＜0，据此排除B；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）＝，令函数，若函数g（x）有两个不同零点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B．（﹣∞，0） ‎ C． D．‎ ‎【分析】令F（x）＝f（x）﹣＝，利用分段函数通过函数的导数，求解函数的极值，利用函数的图象 通过F（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或，求解即可．‎ ‎【解答】解：令F（x）＝f（x）﹣＝，‎ 当x＞0时，函数F'（x）＝2﹣（lnx+1）＝1﹣lnx，‎ 由F'（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，‎ 由F'（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，得x＞e，当x值趋向于正无穷大时，y值也趋向于负无穷大，即当x＝e时，函数F（x）取得极大值，极大值为F（e）＝2e﹣elne＝2e﹣e＝e，‎ 当x≤0时，，是二次函数，‎ 在轴处取得最大值，作出函数F（x）的图象如图：‎ 要使F（x）＝a（a为常数）有两个不相等的实根，则a＜0或，‎ 即若函数g（x）有两个不同零点，实数a的取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了方程的根与函数的零点的关系，函数的导数的应用，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎12．（5分）如图，已知函数，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f（x）与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记（i＝1，2，…，5），则n1+n2+…+n5的值为（　　）‎ A． B．45 C． D．‎ ‎【分析】可求得A2，A3的坐标，进而得到，运用数量积公式可得，由此得解．‎ ‎【解答】解：由题意得，函数f（x）的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1，2，3，故，‎ 则，‎ 因为，故，‎ 故＝＝．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象，向量的坐标运算，向量垂直的判断，向量的分解，向量的数量积运算，以及数形结合思想，逻辑推理能力能，呈现方式新颖，属于较难题目．‎ 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是　∃x0∈R，f（x0）＞x0．　．‎ ‎【分析】否定：否定量词，否定结论．‎ ‎【解答】解：否定：否定量词，否定结论．‎ 故命题“∀x∈R，f（x）≤x”的否定形式是为：∃x0∈R，f（x0）＞x0．‎ 故答案为：：∃x0∈R，f（x0）＞x0．‎ ‎【点评】本题考查命题否定，属于基础题．‎ ‎14．（5分）如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））＝　2　；函数f（x）在x＝1处导数f′（1）＝　﹣2　．‎ ‎【分析】（1）要求f（f（0））的值，可先求f（0）＝4，再求f（4），此即为所求；‎ ‎（2）函数的图象可知，，然后求出导数即可求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）由图象可知f（0）＝4，f（4）＝2，‎ 即f（f（0））＝2‎ ‎（2）∵f（0）＝4，f（4）＝2，f（2）＝4，‎ ‎∴由函数的图象可知，‎ ‎，‎ 当0≤x≤2时，f'（x）＝﹣2‎ ‎∴f'（1）＝﹣2‎ 故答案为：2，﹣2‎ ‎【点评】本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题．‎ ‎15．（5分）如图，在单位圆中，7S△PON＝2，△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，则sin∠POM＝　　．‎ ‎【分析】由7S△PON＝2，得到，故90°＜α+60°＜120°，得，再由sinα＝sin[（α+60°）﹣60°]展开代入即可．‎ ‎【解答】解：设∠POM＝α，因为7S△PON＝2，‎ 所以，又△MON为等边三角形，M、N分别在单位圆的第一、二象限内运动，‎ 所以，‎ 故90°＜α+60°＜120°，得，‎ ‎∴sinα＝sin[（α+60°）﹣60°]＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】考查三角形两角和与差的公式，单位圆，三角形的面积等，中档题．‎ ‎16．（5分）已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则的取值范围为　[2，]　．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式得到a2＝bcsinA，由余弦定理和两角和与差公式＝＝sinA+2cosA＝φ ‎），结合基本不等式求出的范围．‎ ‎【解答】解：已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，‎ 所以，所以a2＝bcsinA，‎ 由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，‎ 所以＝＝sinA+2cosA＝φ），其中tanφ＝2，‎ 所以，‎ 由根据基本不等式，当且仅当b＝c时，取等号，‎ 故，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查均值不等式的应用，三角形面积，余弦定理，三角函数辅助角公式，三角函数求最值，考查逻辑推理能力，中档题．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．‎ ‎17．（12分）已知{an}是递增的等差数列，且满足a2+a4＝20，a1•a5＝36．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn的最小值．‎ ‎【分析】（1）设公差为d，则d＞0，运用等差数列的性质和通项公式，可得公差d，首项，进而得到所求通项公式；‎ ‎（2）求得bn＝（4n﹣2）﹣30＝2n﹣31，运用等差数列的求和公式，配方可得所求最小值．‎ ‎【解答】解：（1）{an}是递增的等差数列，设公差为d，则d＞0，‎ a2+a4＝20，a1•a5＝36，可得a1+a5＝20，‎ 解得a1＝2，a5＝18，d＝＝4，‎ 则an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；‎ ‎（2）bn＝（4n﹣2）﹣30＝2n﹣31，‎ 可得前n项和Tn＝n（﹣29+2n﹣31）＝n2﹣30n＝（n﹣15）2﹣225，‎ 当n＝15时，前n项和Tn取得最小值﹣225．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及单调性、前n项和的最值求法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．‎ ‎（1）求角C；‎ ‎（2）设D为边AB的中点，△ABC的面积为，求边CD的最小值．‎ ‎【分析】（1）由已知结合正弦定理先进行化简，然后结合两角和的正弦公式及诱导公式可求cosC，进而可求C；‎ ‎（2）由，代入可求ab．然后由，结合向量数量积的性质及余弦定理，基本不等式可求．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理：，又，‎ 由题，所以＝．‎ 因为sinA≠0，所以cosC（2sinB﹣sinA）＝cosAsinC，‎ 即cosCsinA+cosAsinC＝2sinBcosC，即sinB＝sin（A+C）＝2sinBcosC，‎ 因为sinB≠0，所以，则．‎ ‎（2）由，即，所以ab＝12．‎ 由，所以 ‎＝当且仅当a＝b时取等，‎ 所以边CD的最小值为3．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，向量的数量积的性质等知识的综合应用，属于中档试题．‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是菱形，D为AB的中点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝，∠ABB1＝，且AB＝B1C．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；‎ ‎（2）求CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．‎ ‎【分析】（1）推导出CD⊥AB，连结B1D，设AB＝2a，则，推导出CD⊥B1D，由此能证明CD⊥平面ABB1A1．‎ ‎（2）设CD与平面BCC1B1所成角为θ，点D到平面BCC1B1的距离为d，AB＝2a，由，求出d＝，由此能求出CD与平面BCC1B1所成角的正弦值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵D为AB中点，AC＝BC，∴CD⊥AB，‎ 连结B1D，如图，设AB＝2a，∵四边形ABB1A1是菱形，D为AB 中点，∠ABB1＝，‎ ‎∴，∵△ABC是等腰直角三角形，，CD＝a，‎ ‎∴，∴CD⊥B1D，‎ ‎∵AB∩B1D＝D，∴CD⊥平面ABB1A1．‎ ‎（2）解：设CD与平面BCC1B1所成角为θ，‎ 点D到平面BCC1B1的距离为d，AB＝2a，‎ 由（1）知B1D⊥平面BCD，则，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵BC＝，B1B＝B1C＝2a，∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵，∴，‎ 解得d＝，∴sinθ＝＝．‎ ‎∴CD与平面BCC1B1所成角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20．（12分）某校为了解学生一周的课外阅读情况，随机抽取了100名学生对其进行调查．下面是根据调查结果绘制的一周学生阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，且将一周课外阅读时间不低于200分钟的学生称为“阅读爱好”，低于200分钟的学生称为“非阅读爱好”．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关？‎ 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 ‎50‎ 女 ‎14‎ 合计 ‎（2）将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取4人，记被抽取的四人中“阅读爱好”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列和数学期望Eξ．‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.01‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎，n＝a+b+c+d．‎ ‎【分析】（1）完成2×2列联表，求出K2＝6＞5.024，从而有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关．‎ ‎（2）由频率分布直方图知从该校学生中任意抽取1名学生，恰 为“阅读爱好”的概率为，由题意知ξ～B（4，），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．‎ ‎【解答】解：（1）完成2×2列联表如下：‎ 非阅读爱好 阅读爱好 合计 男 ‎24‎ ‎26‎ ‎50‎ 女 ‎36‎ ‎14‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ K2＝＝6＞5.024，‎ ‎∴有97.5%的把握认为“阅读爱好”与性别有关．‎ ‎（2）由频率分布直方图知：‎ 从该校学生中任意抽取1名学生，恰 为“阅读爱好”的概率为，‎ 由题意知ξ～B（4，），‎ P（ξ＝0）＝＝，‎ P（ξ＝1）＝＝，‎ P（ξ＝2）＝＝，‎ P（ξ＝3）＝＝，‎ P（ξ＝4）＝＝，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 0‎ ‎1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴E（ξ）＝4×＝．‎ ‎【点评】本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二次分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝eax+b（a，b∈R）的图象与直线l：y＝x+1相切，f'（x）是f（x）的导函数，且f'（1）＝e．‎ ‎（1）求f（x）；‎ ‎（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，若直线l与函数g（x）的图象有两个不同的交点A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），求证：x1+x2＜﹣4．‎ ‎【分析】（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），求得f（x）的导数可得切线的斜率，由切线方程和已知条件，可得m，n的方程和a，b的方程，解方程组可得a，b，进而得到所求f（x）的解析式；‎ ‎（2）求得y＝g（x）的解析式，g（x1）＝x1+1，g（x2）＝x2+1，两式相加和相减，相除可得x1+x2+2＝•（x1﹣x2），令x1﹣x2＝t（t＞0），可得要证x1+x2＜﹣4，即证•t＜﹣2，即证t（1+et）﹣2（et﹣1）＞0，可令h（t）＝t（1+et）﹣2（et﹣1），t＞0，求得二阶导数，判断单调性，即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）设直线l与函数f（x）的图象相切的切点为（m，n），‎ 函数f（x）＝eax+b的导数为f′（x）＝aeax+b，‎ 由题意可得aeam+b＝1，eam+b＝m+1，且aea+b＝e，解得a＝1，b＝0，m＝0，‎ 可得f（x）＝ex；‎ ‎（2）函数g（x）的图象与曲线y＝kf（x）（k∈R）关于y轴对称，‎ 可得g（x）＝kf（﹣x）＝ke﹣x，由g（x1）＝x1+1，g（x2）＝x2+1，‎ 可得ke﹣x1＝x1+1，ke﹣x2＝x2+1，‎ 两式相加可得k（e﹣x1+e﹣x2）＝x1+x2+2，‎ 两式相加可得k（e﹣x1﹣e﹣x2）＝x1﹣x2，‎ 两式相除可得＝，‎ 则x1+x2+2＝•（x1﹣x2），‎ 令x1﹣x2＝t（t＞0），则x1+x2+2＝•t，‎ 要证x1+x2＜﹣4，即证•t＜﹣2，‎ 即证t（1+et）﹣2（et﹣1）＞0，‎ 可令h（t）＝t（1+et）﹣2（et﹣1），t＞0，h′（t）＝1+tet﹣et，h″（t）＝tet＞0，‎ h′（t）在t＞0递增，h′（t）＞h′（0）＝0，可得h（t）在t＞0递增，即有h（t）＞h（0）＝0，‎ 可得x1+x2＜﹣4成立．‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查构造函数法和方程思想、化简运算能力，属于中档题．‎ 请考生在第22-23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．‎ ‎（1）求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线l的极坐标方程为，直线l与y轴的交点为M，与曲线C1相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．‎ ‎【分析】（1）由曲线C1的参数方程消去参数φ，得曲线C1的普通方程．把ρ＝4cosθ两边同时乘以ρ，结合极坐标与直角坐标的互化公式得曲线C2‎ 的普通方程．联立两圆的普通方程可得两交点所在直线的普通方程，进一步得到直线的极坐标方程；‎ ‎（2）由，展开两角和的正弦，得直线l的直角坐标方程，求得M（0，4），写出直线l的参数方程，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，再由参数t的几何意义求解．‎ ‎【解答】解：（1）由（φ为参数），消去参数φ，得曲线C1的普通方程为：（x﹣5）2+y2＝10．‎ 由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，得曲线C2的普通方程为：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4．‎ 由两圆心的距离，得两圆相交，‎ ‎∴两方程相减可得交线为﹣6x+21＝5，即．‎ ‎∴直线的极坐标方程为；‎ ‎（2）由，得，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程：x+y＝4，‎ 则与y轴的交点为M（0，4）．‎ 直线l的参数方程为，代入曲线C1（x﹣5）2+y2＝10，得．‎ 设A，B两点的参数为t1，t2，‎ ‎∴，t1t2＝31，则t1，t2同号．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数t的几何意义及其应用，着重考查了运算与求解能力，是中档题．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知x，y，z均为正数．‎ ‎（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；‎ ‎（2）若＝，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用基本不等式可得|x+z|⋅|y+z|≥＝，再根据0＜xy＜1时，即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；‎ ‎（2）由＝，得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，‎ ‎∴|x+z|⋅|y+z|＝（x+z）（y+z）≥＝，‎ 当且仅当x＝y＝z时取等号．‎ 又∵0＜xy＜1，∴，‎ ‎∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；‎ ‎（2）∵＝，∴．‎ ‎∵，，，‎ 当且仅当x＝y＝z＝1时取等号，‎ ‎∴，‎ ‎∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz＝2xy+yz+xz≥8，‎ ‎∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．‎ ‎【点评】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．‎