2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题，则命题的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据含有量词的命题的否定的方法求解即可．‎ 详解：由含量词的命题的否定可得，命题的否定是“”．‎ 故选D．‎ 点睛：（1）否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．‎ ‎（2）含量词的命题的否定与命题的否定是不同的，解题时要注意二者的区别．‎ ‎2．已知都是实数，“”是“”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据充分必要条件的定义求解，即判定由“”是否推出“”和由“”是否能推出“”两个结论是否成立，然后可得结论．‎ 详解：当“”时，“”不一定成立，如“”成立，而“”不成立．反之，当“”成立时，“”也不一定成立，如“”成立，而“”不成立．‎ 故“”是“”的既不充分也不必要条件．‎ 故选D．‎ 点睛：判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p．对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．‎ ‎3．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于（ ）‎ A. 演绎推理 B. 类比推理 C. 合情推理 D. 归纳推理 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于演绎推理 ‎【考点】演绎推理 ‎4．已知复数，是的共轭复数，则的虚部等于（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先将复数通过计算化为代数形式，然后求出后可得其虚部．‎ 详解：由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴的虚部等于．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查复数的除法运算、共轭复数的概念和虚部的概念，解题的关键是准确把握有关概念．解题时容易出错的地方是把复数的虚部误认为是．‎ ‎5．展开式中的常数项是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出二项展开式的通项，令x的次数等于零可求得常数项．‎ 详解：二项式展开式的通项为．‎ 令，可得，‎ 即展开式中的常数项是．‎ 故选B．‎ 点睛：求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n)．求常数项时，即这项中不含“变元”，可令通项中“变元”的幂指数为0建立方程，求得k后可得所求．‎ ‎6．若是自然对数的底数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据微积分的运算性质和微积分基本定理求解即可．‎ 详解：．‎ 故选A． ‎ 点睛：定积分的计算是考查定积分的一种常见形式，能否快速、准确地求解原函数是解决问题的关键，然后再根据微积分基本定理求解．‎ ‎7．已知实数满足，，用反证法证明：‎ 中至少有一个小于0．下列假设正确的是 （ ）‎ A. 假设至多有一个小于0‎ B. 假设中至多有两个大于0‎ C. 假设都大于0‎ D. 假设都是非负数 ‎【答案】D ‎【解析】分析：考虑命题“中至少有一个小于0”的反面，即可得出结论．．‎ 详解：由于命题“若a，b，c，d中至少有一个小于0”的反面是“a，b，c，d都是非负数”，故用反证法证明时假设应为“a，b，c，d都是非负数”．‎ 故选D．‎ 点睛：用反证法证题的第一步时作出假设，假设时要分清命题包含的所有情况，除去所要证的命题即为要假设的内容，然后以假设为条件进行推理、得到矛盾即可．‎ ‎8．函数有极值点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出导函数，根据导函数的判别式大于零可得的范围．‎ 详解：∵，‎ ‎∴．‎ ‎∵函数有极值点，‎ ‎∴，‎ 解得或．‎ ‎∴实数的取值范围为．‎ 故选C．‎ 点睛：导函数的零点并不一定就是函数的极值点，只有当导函数在其零点左右的函数值异号时，此零点才是极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．‎ ‎9．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“或作品获得一等奖”；‎ 乙说：“作品获得一等奖”；‎ 丙说：“， 两项作品未获得一等奖”；‎ 丁说：“作品获得一等奖”.‎ 若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖．‎ 对于选项A，若作品获得一等奖，则四人说法都错误，不符合题意．‎ 对于选项B，若作品获得一等奖，则甲、丁人说法都错误，乙丙说法正确，符合题意．‎ 对于选项C，若作品获得一等奖，乙说法错误，其余三人说法正确，不符合题意．‎ 对于选项D，若作品获得一等奖，则乙丙丁人说法都错误，不符合题意．‎ 综上可得作品获得一等奖．选B．‎ ‎10．已知正四棱柱中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：连，则，故可得为异面直线与所成角（或其补角），解三角形可得所求的余弦值．‎ 详解：连，则在正四棱柱中可得，‎ ‎∴即为异面直线与所成角（或其补角）．‎ 设，则在中，，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选D．‎ 点睛：求异面直线所成的角时常采用“平移线段法”作出所求角，平移时常利用图中已有的平行线或作出平行线进行平移；计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行，求解时注意异面直线所成角的范围．‎ ‎11．张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸 ‎ ，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ）‎ A. 12 B. 24 C. 36 D. 48‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先安排首尾的两位家长，再将两个小孩捆绑作为一个整体，与剩下的两位家长作为三个元素安排在中间即可得到结论．‎ 详解：先安排首尾两个位置的男家长，共有种方法；将两个小孩作为一个整体，与剩下的另两位家长安排在两位男家长的中间，共有种方法．由分步乘法计数原理可得所有的排法为种．‎ 故选B．‎ 点睛：求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”‎ ‎12．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：双曲线的右焦点的坐标为，利用为的中点，为的中点，可得为的中位线，从而可求．再设，由勾股定理得出关于的关系式，最后即可求得离心率．‎ 详解：设双曲线的右焦点为，则的坐标为，‎ 抛物线为，则为抛物线的焦点．‎ 由为的中点，为的中点，‎ 则为的中位线，‎ ‎∴，‎ 由为圆的切线，‎ 则，所以，‎ 设，则由抛物线的定义可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又，‎ 在中，由勾股定理得，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 整理得，‎ 解得．‎ ‎∴双曲线的离心率为．‎ 点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．‎ 二、填空题 ‎13．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意求得抛物线的焦点为（2,0），再求得双曲线的渐近线为，根据点到直线的距离公式可得所求．‎ 详解：由抛物线可得其焦点为（2,0），‎ 又双曲线的渐近线方程为，‎ ‎∴所求距离为．‎ 点睛：本题考查抛物线的焦点坐标、双曲线渐近线方程的求法和点到直线的距离，主要考查学生的运算能力，属容易题．‎ ‎14．直线是曲线的一条切线，则实数的值为____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设切点(x0，lnx0)，则切线斜率k＝＝，所以x0＝2.又切点(2，ln2)在切线y＝x＋b上，所以b＝ln2－1.‎ ‎15．三角形面积（为三边长，）,又三角形可以看作是四边形的极端情形(即四边形的一边长退化为零)．受其启发,请你写出圆内接四边形的面积公式：__________．‎ ‎【答案】（其中为各边长，为四边形半周长）‎ ‎【解析】分析：由于三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零），结合三角形的面积公式类比可得圆内接四边形的面积．‎ 详解：由于三角形面积（为三边长，），‎ 结合三角形可以看作是四边形的极端情形（即四边形的一边长退化为零），利用类比推理可得圆内接四边形的面积公式为（其中为各边长，为四边形半周长）．‎ 点睛：进行类比推理时，弄准类比对象是关键，解题时首先要明确类比推理的常见情形，如平面与空间类比、低维与高维类比、等差数列与等比数列类比、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等，然后将相似的性质推广到另一类对象上．‎ ‎16．若，则的值为__．‎ ‎【答案】125‎ ‎【解析】分析：令可得；令，可得；又 ‎，故可得的值．‎ 详解：在中，‎ 令，可得；‎ 令，可得；‎ 又，‎ ‎∴．‎ 点睛：对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．‎ 三、解答题 ‎17．给定命题：对任意实数都有成立； ：关于的方程有实数根．如果为真命题， 为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：首先求得命题p，q为真命题时的的取值范围，分情况讨论两命题的真假得到的取值范围．‎ 试题解析：‎ 对任意实数都有恒成立；‎ 关于的方程有实数根；‎ 因为命题p且q为假命题，p或q为真命题，则命题p和q一真一假。‎ 如果p正确，且q不正确，有；‎ 如果q正确，且p不正确，有．‎ 所以实数的取值范围为 ‎18．是否存在常数使得等式对一切正整数都成立？若存在，求出值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】分析：先由时求得的值，然后用数学归纳法进行证明．‎ 详解：分别令，可得，解得．‎ 故猜想等式对一切正整数都成立. ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当n=1时，由上面的探求可知等式成立．‎ ‎②假设时猜想成立，‎ 即．‎ 当n=k＋1时，‎ ‎．‎ 所以当n=k＋1时，等式也成立．‎ 由①②知猜想成立，即存在使命题成立．‎ 点睛：利用数学归纳法证明等式时应注意的问题 ‎(1)用数学归纳法证明等式其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少；‎ ‎(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要充分利用n＝k时的式子，即充分利用假设．证题时要根据要求正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．‎ ‎19．四棱锥，底面为平行四边形，侧面底面.已知，，，为线段的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）连，交于点，连，可得，然后根据线面平行的判定定理可得平面．（2）由题意得两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面 的法向量后，可得两法向量夹角的余弦值，由此可得所求锐二面角的余弦值．‎ 详解：(1) 连，交于点，连． ‎ ‎∵底面为平行四边形，‎ ‎∴为的中点. ‎ 又在中，为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵面，面， ‎ ‎∴平面．‎ ‎(2)以的中点为原点，分别以为轴，建立如图所示的坐标系.‎ 则，，，．‎ ‎∴，，，．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，‎ 令 得，则．‎ 同理设平面的一个法向量为，‎ 由 ，得，‎ 令 得，则．‎ ‎∴．‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ 点睛：（1）运用空间中的线面关系定理证明线面关系时，要注意解题过程的规范性，特别是定理中的关键词语在证明过程中一定要有所体现．‎ ‎（2）用空间向量求二面角的余弦值时，在求得两平面的法向量的夹角的余弦值后，还要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，才能确定所求余弦值的大小．‎ ‎20．已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）若是曲线上关于轴对称的两点，点，直线交曲线 于另一点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）过定点 ‎【解析】分析：（1）根据圆与圆外切并且与圆内切可得点满足，由椭圆的定义可得动点的轨迹，然后可求得其方程．（2）由题意可设直线的方程为，将其代入椭圆方程消去y后可得二次方程，根据点共线及根据系数的关系可得，于是直线方程是，过定点．‎ 详解：（1）圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， ‎ 设动圆半径为，‎ ‎∵圆与圆外切且与圆内切，‎ ‎∴ ，，‎ ‎∴ ， ‎ ‎∴圆心的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆（左顶点除外），设其方程为．‎ 由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线C的方程为． ‎ ‎（2）由题意知直线斜率存在，设直线的方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∵直线与椭圆交于A,E两点，‎ ‎∴，‎ 整理得①，‎ 设，，则，‎ 且，，‎ ‎∵点共线，‎ ‎∴，即，‎ 整理得，‎ ‎∴ ，‎ 整理得，满足判别式①．‎ ‎∴直线方程是，‎ ‎∴直线过定点．‎ 点睛：（1）求曲线方程时，要结合条件进行判断曲线上是否有不符合题意的点，对于此类点要去掉．‎ ‎（2）证明直线过定点时，首先要根据题意选择参数，建立一个直线系方程，然后根据该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．‎ ‎21．函数 ，其中 ．‎ ‎（1）试讨论函数 的单调性；‎ ‎（2）已知当 （其中 是自然对数的底数）时，在 上至少存在一点 ，使 成立，求 的取值范围；‎ ‎（3）求证：当 时，对任意 ，，有 ．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 ‎【解析】分析：（1）求导数后根据的取值范围判断出导函数在上的符号可得函数的单调性．（2）将问题转化为“当时，”处理，由（1）可得，由，即为所求的范围．（3）当时，．令，可得在上为减函数．故对任意，都有成立，由此可得成立．‎ 详解：（1）易知的定义域为．‎ 由题意得．‎ 令 得 或 ．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎①当时，‎ 则当单调递增，‎ 当单调递减，‎ 当单调递增．‎ ‎②当时，‎ 则当单调递增；‎ 当单调递减；‎ 当单调递增．‎ ‎③当时，则当单调递增．‎ 综上，当时，在和上单调递减；‎ 当时，在和上单调递减；‎ 当时，在上单调递增．‎ ‎（2）在上至少存在一点，使成立，‎ 等价于当时，．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ ．‎ 由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减．‎ ‎∴ 当时，． ‎ 由 ．‎ 经检验知上式满足．‎ ‎∴所以 的取值范围是．‎ ‎（3）当时，函数．‎ 令，‎ 则．‎ ‎∴当时，，为减函数．‎ ‎∴ 对任意，都有成立，‎ 即．‎ 即．‎ 又，‎ ‎∴ ．‎ 点睛：（1）在利用导数研究函数的问题时，单调性是考查的重点，也是解题的基础和工具，对函数单调性的研究要注意分类整合思想的运用，对于含有字母的函数问题一定要注意对字母的分类讨论．‎ ‎（2）证明不等式时，要注意结合题意构造出适合题意的函数，然后通过函数的单调性、最值达到证明的目的．‎ ‎22．在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是的直线经过点．‎ ‎（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求证直线和曲线相交于两点、，并求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）3‎ ‎【解析】分析：（1）由题意得到直线的参数方程即可，根据转化公式可将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）根据直线的参数方程中参数的几何意义求解可得结论．‎ 详解：（1）∵点的直角坐标是，直线倾斜角是， ‎ ‎∴直线参数方程是，即，‎ ‎∴直线的参数方程为．‎ 由得，，‎ ‎∴，‎ 将代入上式得，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为． ‎ ‎（2）将代入，整理得，‎ ‎∵，‎ ‎∴ 直线的和曲线相交于两点、，‎ 设点、对应的参数分别为，‎ 则，‎ ‎∴ ．‎ 点睛：在直线的参数方程中，只有当参数的系数的平方和为1时，才有几何意义且其几何意义为：是直线上任意一点到定点的距离，即．利用此结论可解决与线段长度有关的问题．‎ ‎23．设关于的不等式．‎ ‎（1）若，求此不等式解集；‎ ‎（2）若此不等式解集不是空集，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据分类讨论法去掉绝对值号后解不等式组即可．（2）先由绝对值的三角不等式求得，于是可得满足题意．‎ 详解：（1）当时，原不等式为，‎ 等价于，或 ，或 ．‎ 解得或 或 ．‎ 综上可得．‎ ‎∴原不等式解集是． ‎ ‎（2）∵，当，即 时等号成立，‎ ‎∴当不等式解集不是空集时，需满足．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 点睛：解绝对值不等式的关键是去掉绝对值号，对于含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．‎