辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期中考试数学试题（图片版）

辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期中考试数学试题（图片版）

9‎ 9‎ 9‎ 9‎ ‎2020---2021学年度上学期沈阳市郊联体期中考试题 高三数学答案 一、选择题：‎ B A B C D C D A ‎ 二、多项选择题：‎ ACD ABD BCD CD ‎ 三、填空题：‎ ‎13、 14、 15、-0.75 16、km 四、解答题：‎ ‎17、（本题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0‎ 已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，‎ 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，‎ 即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC ‎2cosCsinC=sinC ‎∴cosC=，……………3分 ‎∵0＜c＜π ‎∴C=；……………5分 ‎（2）因为△ABC的面积S＝＝＝，‎ 所以ab＝6，…………7分 由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab＝7，‎ 所以a+b＝5…………9分 ‎△ABC的周长a+b+c＝．…………10分 ‎18、（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，‎ ‎∴当n≥2且n∈N*时bn＝Sn﹣Sn﹣1＝2n．…………2分 又b1＝S1＝2也符合上式，∴bn＝2n．…………3分 9‎ ‎∵a1＝b1＝2，a4＝b8＝16，‎ ‎∴等比数列{an}的公比为2，‎ ‎∴．…………6分 ‎（Ⅱ）∵a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，a5＝32，b25＝50，‎ ‎∴c1+c2+…+c20＝（b1+b2+…+b25）﹣（a1+a2+…+a5）…………9分 ‎＝＝＝650﹣62＝588．‎ ‎…………12分 ‎19、（本题满分12分）‎ 解：（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω＝，…………1分 所以f（x）＝sin．‎ 令sin，故或，…………3分 整理得或．…………4分 故解集为{x|或，k∈Z}．…………5分 ‎（2）由于ω＝1，‎ 所以f（x）＝sinx．‎ 所以g（x）＝‎ ‎＝＝﹣‎ ‎＝﹣sin（2x+）．…………8分 由于x∈[0，]，‎ 所以．‎ ‎，‎ 故，…………10分 故．‎ 所以函数g（x）的值域为[﹣．…………12分 9‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：将两边同时除以2n+1得，，……3分 即bn+1﹣bn＝3，‎ 又a1＝2，故数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列…………4分 得bn＝3n﹣2，即．…………6分 ‎（2）Sn＝1•2+4•22+…+（3n﹣2）•2n，①‎ 则2Sn＝1•22+4•23+…+（3n﹣2）•2n+1，②…………7分 ‎①②相减得﹣Sn＝2+3（22+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1…………8分 ‎＝2+3•﹣（3n﹣2）•2n+1，…………10分 化简得．…………12分 声明：21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）＝﹣．‎ ‎∴f′（0）＝2，即曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线斜率k＝2，…………2分 ‎∴曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程方程为y﹣（﹣1）＝2x．‎ 即2x﹣y﹣1＝0为所求．…………4分 ‎（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，‎ 可得＝﹣．…………5分 令f′（x）＝0，可得，‎ 当x时，f′（x）＜0，x时，f′（x）＞0，x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0．‎ ‎∴f（x）在（﹣），（2，+∞）递减，在（﹣，2）递增，…………7分 9‎ 注意到a≥1时，函数g（x）＝ax2+x﹣1在（2，+∞）单调递增，且g（2）＝4a+1＞0‎ 函数f（x）的图象如下：‎ ‎∵a≥1，∴，则≥﹣e，…………11分 ‎∴f（x）≥﹣e，‎ ‎∴当a≥1时，f（x）+e≥0．…………12分 ‎22、（本题满分12分）‎ 解：（1）由题意得f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，‎ ‎∵f′（x）＝2xlnx+x﹣ax2﹣3x＝x（2lnx﹣ax﹣2），‎ ‎∴2lnx﹣2﹣ax≤0在（0，+∞）恒成立，…………1分 即a≥在（0，+∞）上恒成立，‎ 令g（x）＝，则g′（x）＝，…………2分 ‎∴当x∈（0，e2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）递增，‎ 当x∈（e2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）递减，‎ 故当x＝e2时，函数g（x）有极大值，也是最大值，…………3分 故a≥g（e2）＝，‎ 故实数a的取值范围是[，+∞）；…………4分 ‎（2）证明：由（1）知，f′（x）＝x（2lnx﹣ax﹣2），‎ 9‎ 则，故2ln（x1x2）＝a（x1+x2）+4，‎ ‎2ln＝a（x1﹣x2），…………6分 故2ln（x1x2）＝（x1+x2）+4，…………7分 ‎∵x1≠x2，∴令x1＞x2，＝t，…………8分 则ln（x1x2）＝lnt+2，‎ 令h（t）＝lnt+2，（t＞1），‎ 要证h（t）＞4在（1，+∞）上恒成立，‎ 即证（t+1）lnt﹣2t+2＞0，…………9分 令F（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2，则F′（t）＝lnt+﹣1，‎ 则F″（t）＝﹣＝＞0，‎ 故F′（t）在（1，+∞）递增，…………11分 ‎∴F′（t）＞F′（1）＝0，F（t）在（1，+∞）递增，‎ 从而F（t）＞F（1）＝0，‎ 即原不等式成立．…………12分 9‎