数学卷·2018届江西省上饶市横峰中学、铅山一中高二下学期第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届江西省上饶市横峰中学、铅山一中高二下学期第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年江西省上饶市横峰中学、铅山一中高二（下）第一次联考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎2．定积分（x+sinx）dx的值为（　　）‎ A．﹣cos1 B． +1 C．π D．‎ ‎3．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0，设则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b ‎4．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+3x，若f'（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的值是（　　）‎ A．2或1 B．0 C．1或0 D．1‎ ‎5．设则等于（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎6．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（　　）‎ A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π ‎7．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎8．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（　　）‎ A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）‎ ‎9．已知函数f（x）=alnx+blog2x+1，f A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．‎ ‎10．已知函数f（x）的导数f'（x），f（x）不是常数函数，且（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．ef（1）＜f（2） B．f（1）＜0 C．ef（e）＜2f（2） D．f（1）＜2ef（2）‎ ‎11．已知函数f（x）=aex﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）‎ ‎12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式＞2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（12，30] B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（﹣12，18]‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为　　．‎ ‎14．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f'（0）=　　．‎ ‎16．已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题包括6小题，共70分）‎ ‎17．已知函数f（x）=x3﹣3x及y=f（x）上一点P（1，﹣2），过点P作直线l．‎ ‎（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；‎ ‎（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程．‎ ‎18．已知．‎ ‎（1）若f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求k与b的值；‎ ‎（2）求．‎ ‎19．已知曲线C：y2=2x﹣4．‎ ‎（1）求曲线C在点A（3，）处的切线方程；‎ ‎（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．‎ ‎20．已知函数f（x）=alnx﹣x+1，α∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值．‎ ‎21．已知函数f（x）=xex．‎ ‎（I）求f（x）的单调区间与极值；‎ ‎（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．‎ ‎22．设函数y=f （x），对任意实数x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．‎ ‎（1）求f （0）的值；‎ ‎（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，猜想f （n）（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省上饶市横峰中学、铅山一中高二（下）第一次联考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．过抛物线y=x2上的点的切线的倾斜角（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得倾斜角．‎ ‎【解答】解：y=x2的导数为y′=2x，‎ 在点的切线的斜率为k=2×=1，‎ 设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），‎ 由k=tanα=1，‎ 解得α=45°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．定积分（x+sinx）dx的值为（　　）‎ A．﹣cos1 B． +1 C．π D．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案．‎ ‎【解答】解：（x+sinx）dx=（x2﹣cosx）|=（﹣cos1）﹣（0﹣1）=﹣cos1，‎ 故选：A ‎　‎ ‎3．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＜0，设则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】利用导数的符号，确定函数的单调性，结合函数的对称性，判断大小．‎ ‎【解答】解：因为（x）=f（2﹣x），所以函数f（x）关于x=1对称，‎ 当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，‎ 所以f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，‎ 而f（2）=f（0），f（）=f（），‎ ‎﹣1＜0＜，‎ ‎∴f（﹣1）＜f（0）=f（2）＜f（）=f（），‎ 即a＜c＜b，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+3x，若f'（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的值是（　　）‎ A．2或1 B．0 C．1或0 D．1‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】求出f（x）的导数，讨论a=0，a≠0，解方程和运用判别式为0，即可得到所求a的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ax3﹣3x2+3x，‎ 导数为f′（x）=3ax2﹣6x+3，‎ 若f'（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，‎ 当a=0时，f′（x）=3﹣6x=0，解得x=＞0，满足题意；‎ 当a≠0时，△=36﹣4×3a×3=0，解得a=1，f′（x）=0，解得x=1＞0．‎ 则a的值为0或1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．设则等于（　　）‎ A． B． C． D．不存在 ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据定积分的计算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：设 则=x2dx+（2﹣x）dx=x3|+（2x﹣x2）|=+（4﹣2）﹣（2﹣）=，‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤4π），则函数f（x）的所有极大值之和为（　　）‎ A．e4π B．eπ+e2π C．eπ﹣e3π D．eπ+e3π ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，即可求函数f（x）的各极大值之和．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex（sinx﹣cosx），‎ ‎∴f′（x）=（ex）′（sinx﹣cosx）+ex（sinx﹣cosx）′=2exsinx，‎ ‎∵x∈（2kπ，2kπ+π）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）递减，‎ 故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，‎ 其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]‎ ‎=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））‎ ‎=e2kπ+π，‎ 又0≤x≤4π，‎ ‎∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．设函数f（x）=xsinx+cosx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k=g（t）的部分图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】先对函数f（x）进行求导运算，根据在点（t，f（t））处切线的斜率为在点（t，f（t））处的导数值，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=xsinx+cosx ‎∴f′（x）=（xsinx）′+（cosx）′‎ ‎=x（sinx）′+（x）′sinx+（cosx）′‎ ‎=xcosx+sinx﹣sinx ‎=xcosx ‎∴k=g（t）=tcost 根据y=cosx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g（x）=的递减区间为（　　）‎ A．（0，4） B． C． D．（0，1），（4，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】结合函数图象求出f′（x）﹣f（x）＜0成立的x的范围即可．‎ ‎【解答】解：结合图象：x∈（0，1）和x∈（4，+∞）时，f′（x）﹣f（x）＜0，‎ 而g′（x）=，‎ 故g（x）在（0，1），（4，+∞）递减，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．已知函数f（x）=alnx+blog2x+1，f A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】由已知得f=alnx+blog2x+1，f=aln2017+blog22017+1=3，‎ ‎∴aln2017+blog22017=2，‎ ‎∴=+b+1‎ ‎=﹣aln2017﹣blog22017+1=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）的导数f'（x），f（x）不是常数函数，且（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，对x∈[0，+∞）恒成立，则下列不等式一定成立的是（　　）‎ A．ef（1）＜f（2） B．f（1）＜0 C．ef（e）＜2f（2） D．f（1）＜2ef（2）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】根据条件构造函数F（x）=xexf （x），求出函数的导数，得到F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]≥0对x∈[0，+∞）恒成立，得出函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．‎ ‎【解答】解：构造函数F（x）=xexf （x），则F′（x）=ex[（x+1）f（x）+xf′（x）]，‎ ‎∵（x+1）f（x）+xf'（x）≥0，‎ ‎∴F′（x）≥0对x∈[0，+∞）恒成立，‎ ‎∴函数F（x）=xexf （x）在[0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴F（1）＜F（2），‎ ‎∴f（1）＜2ef（2），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=aex﹣x2﹣（2a+1）x，若函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，0）∪（0，1）‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】f′（x）=aex﹣2x﹣（2a+1）=g（x），由函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值⇔g（x）在区间（0，ln2）上存在零点．利用函数零点存在定理即可得出．‎ ‎【解答】解：f′（x）=aex﹣2x﹣（2a+1）=g（x），‎ 由函数f（x）在区间（0，ln2）上有最值⇔g（x）在区间（0，ln2）上单调且存在零点．‎ ‎∴g（0）g（ln2）=（a﹣2a﹣1）（2a﹣2ln2﹣2a﹣1）＜0，‎ 可得a+1＜0，解得a＜﹣1．‎ 此时g′（x）=aex﹣2在区间（0，ln2）上单调递减．‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式＞2恒成立，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（12，30] B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（﹣12，18]‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】依题意知，不等式＞2恒成立等价转化为f′（x+1）＞2恒成立，分离参数a，利用二次函数的单调性与最值即可求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=aln（x+1）﹣x2，‎ ‎∴f（x+1）=aln[（x+1）+1]﹣（x+1）2，‎ ‎∴f′（x+1）=﹣2（x+1），‎ ‎∵p，q∈（0，1），且p≠q，‎ ‎∴不等式＞2恒成立⇔＞2恒成立⇔f′（x+1）＞2恒成立，‎ 即﹣2（x+1）＞2（0＜x＜1）恒成立，‎ 整理得：a＞2（x+2）2（0＜x＜1）恒成立，‎ ‎∵函数y=2（x+2）2的对称轴方程为x=﹣2，∴该函数在区间（0，1）上单调递增，‎ ‎∴2（x+2）2＜18，‎ ‎∴a≥18．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题包括4小题，共20分）‎ ‎13．若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为　2　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】求出函数f（x）的导数，计算f′（1）的值即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，‎ ‎∴f′（x）=3f′（1）x2﹣4x，‎ ‎∴f′（1）=3f′（1）﹣4，解得：f′（1）=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．由曲线y=x3与围成的封闭图形的面积是　　．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用．‎ ‎【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数y=x3与在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得．‎ ‎【解答】解：如图在同一平面直角坐标系内作出y=x3与的图象，则封闭图形的面积 ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f'（0）=　100!　．‎ ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，将f（x）的变形可得f（x）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]‎ ‎，对其求导可得f′（x）=1•[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′，将x=0代入计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100）=x[（x+1）（x+2）…（x+100）]，‎ 其导数f′（x）=（x）′[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′‎ ‎=1•[（x+1）（x+2）…（x+100）]+x[（x+1）（x+2）…（x+100）]′‎ 则f′（0）=1×2×3×4×…×100+0=100！；‎ 故答案为：100!．‎ ‎　‎ ‎16．已知f（x）=xex，g（x）=﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是　a　．‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∃x1，x2∈R，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，‎ f′（x）=ex+xex=（1+x）ex，‎ 当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ 所以当x=﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min=f（﹣1）=﹣；‎ 当x=﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max=g（﹣1）=a，‎ 所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥．‎ 故答案为：a≥．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本题包括6小题，共70分）‎ ‎17．已知函数f（x）=x3﹣3x及y=f（x）上一点P（1，﹣2），过点P作直线l．‎ ‎（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；‎ ‎（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程．‎ ‎【考点】直线的点斜式方程；导数的几何意义．‎ ‎【分析】（1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x2﹣3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．‎ ‎（2）设另一切点为（x0，y0），求出该点切线方程，再由条件计算．‎ ‎【解答】解：（1）由f（x）=x3﹣3x得，f′（x）=3x2﹣3，‎ 过点P且以P（1，﹣2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，‎ ‎∴所求直线方程为y=﹣2．‎ ‎（2）设过P（1，﹣2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x0，y0），‎ 则f′（x0）=3x02﹣3．‎ 又直线过（x0，y0），P（1，﹣2），‎ 故其斜率可表示为=，‎ 又=3x02﹣3，‎ 即x03﹣3x0+2=3（x02﹣1）•（x0﹣1），‎ 解得x0=1（舍）或x0=﹣，‎ 故所求直线的斜率为k=3×（﹣1）=﹣，‎ ‎∴y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），‎ 即9x+4y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎18．已知．‎ ‎（1）若f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，求k与b的值；‎ ‎（2）求．‎ ‎【考点】定积分；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）根据导数的几何意义可得f（0）=1，f′（0）=1，列方程组解出即可；‎ ‎（2）结合（1）中的导数可求得y=的原函数，利用微积分基本定理计算定积分．‎ ‎【解答】解：（1）f′（x）==．‎ ‎∵f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，‎ ‎∴，即，‎ 解得k=2，b=1．‎ ‎（2）令=得，‎ 解得k=﹣1，b=0，‎ ‎∴（）′=，‎ ‎∴==﹣．‎ ‎　‎ ‎19．已知曲线C：y2=2x﹣4．‎ ‎（1）求曲线C在点A（3，）处的切线方程；‎ ‎（2）过原点O作直线l与曲线C交于A，B两不同点，求线段AB的中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）y＞0时，y=，求导数，可得切线的斜率，从而可求曲线C在点A（3，）处的切线方程；‎ ‎（2）设l：y=kx代入y2=2x﹣4，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求出线段AB的中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）y＞0时，y=，‎ ‎∴y′=，‎ ‎∴x=3时，y′=，‎ ‎∴曲线C在点A（3，）处的切线方程为y﹣=（x﹣3），即x﹣y﹣1=0；‎ ‎（2）设l：y=kx，M（x，y），则 y=kx代入y2=2x﹣4，可得k2x2﹣2x+4=0，‎ ‎∴△=4﹣16k2＞0，∴‎ 设A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=，‎ ‎∴y1+y2=‎ ‎∴x=，y=，‎ ‎∴y2=x（x＞4）．‎ ‎　‎ ‎20．已知函数f（x）=alnx﹣x+1，α∈R．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求所有实数a的值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出f′（x），根据当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，当a＞0时，若f′（x）＞0，则0＜x＜a，若f′（x）＜0，则x＞a，可得函数的单调区间；‎ ‎（2）分别讨论a≤0和a＞0的情况：a≤0时，发现在（0，1）上函数f（x）＞0，∴f（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立；当a＞0时，再次求导求出a的值 ‎【解答】解：（1）∵f（x）=alnx﹣x+1，x＞0，‎ ‎∴f′（x）=﹣1=，‎ 当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减；‎ 当a＞0时，若f′（x）＞0，则0＜x＜a，若f′（x）＜0，则x＞a，‎ 故此时，f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减；‎ ‎（2）由（1）知：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为减区间，而f（1）=0，‎ ‎∴在（0，1）上函数f（x）＞0，‎ ‎∴f（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立； ‎ 当a＞0时，f（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，‎ f（x）max=f（a）=alna﹣a+1，‎ 令g（a）=alna﹣a+1，‎ 依题意有g（a）≤0，‎ 而g′（a）=lna，且a＞0‎ ‎∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，‎ ‎∴g（a）min=g（1）=0，‎ 故a=1，‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=xex．‎ ‎（I）求f（x）的单调区间与极值；‎ ‎（II）是否存在实数a使得对于任意的x1，x2∈（a，+∞），且x1＜x2，恒有成立？若存在，求a的范围，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（I）利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数求函数的单调性和极值．‎ ‎（II）构造函数g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，求出函数导数，判断函数导函数的值与0的关系，根据导函数的单调性，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）由f′（x）=ex（x+1）=0，得x=﹣1；‎ 当变化时的变化情况如下表：可知f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），递增区间为（﹣1，+∞），‎ f（x）有极小值为f（﹣1）=﹣，但没有极大值．‎ ‎（II）令g（x）=[f（x）﹣f（a）]/（x﹣a）=（xex﹣aea）/（x﹣a），x＞a，‎ 则[f（x2）﹣f（a）]/（x2﹣a）＞[f（x1）﹣f（a）]/（x1﹣a）恒成立，‎ 即g（x）在（a，+∞）内单调递增这只需g′（x）＞0．而g′（x）=[ex（x2﹣ax﹣a）+aea]/（x﹣a）2‎ 记h（x）=ex（x2﹣ax﹣a）+aea，‎ 则h′（x）=ex[x2+（2﹣a）x﹣2a]=ex（x+2）（x﹣a）‎ 故当a≥﹣2，且x＞a时，h′（x）＞0，h（x）在[a，+∞）上单调递增．‎ 故h（x）＞h（a）=0，从而g′（x）＞0，不等式（*）恒成立 另一方面，当a＜﹣2，且a＜x＜﹣2时，h′（x）＜0，h（x）在[a，﹣2]上单调递减又h（a）=0，所以h（x）＜0，‎ 即g′（x）＜0，g（x）在（a，﹣2）上单调递减．‎ 从而存在x1x2，a＜x1＜x2＜﹣2，使得g（x2）＜g（x1）‎ ‎∴a存在，其取值范围为[﹣2，+∞）‎ ‎　‎ ‎22．设函数y=f （x），对任意实数x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．‎ ‎（1）求f （0）的值；‎ ‎（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，猜想f （n）（n∈N*）的表达式并用数学归纳法证明．‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；数学归纳法．‎ ‎【分析】（1）利用特殊值法判断即可；‎ ‎（2）根据条件，逐步代入求解；‎ ‎（3）猜想结论，根据数学归纳法的证明步骤证明．‎ ‎【解答】解：（1）令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．…‎ ‎（2）由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．‎ f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16．…‎ ‎（3）由（2）可猜想f（n）=n2，…‎ 用数学归纳法证明：‎ ‎（i）当n=1时，f（1）=12=1显然成立．…‎ ‎（ii）假设当n=k时，命题成立，即f（k）=k2，…‎ 则当n=k+1时，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k2+1+2k=（k+1）2，‎ 故当n=k+1时命题也成立，…‎ 由（i），（ii）可得，对一切n∈N*都有f（n）=n2成立．…‎