数学理卷·2018届江西省赣州市信丰县信丰中学高二下学期第二次月考（2017-03）

数学理卷·2018届江西省赣州市信丰县信丰中学高二下学期第二次月考（2017-03）

信丰中学2016-2017学年第二学期高二年级第二次月考 数学（理科）试题 命题人：何春良 审题人：王金明 2017/3/12‎ 一、选择题（12×5′=60′）‎ ‎1、某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是（　　）‎ A．14　　　　　　 B．4 C．10 D．6‎ ‎2、若、均为非零向量，则是与共线的（ ） ‎ ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3、用数学归纳法证明“能被3整除”的第二步中，当时，为了使用假设，应将变形为(　　 )‎ A．　　　 B．　　‎ ‎　C．　 D．‎ ‎4、函数y＝x4－4x＋3在区间上的最小值为(　　　) ‎ A．72　　　　B．36　　　C．12　　　　　D．0‎ ‎5、曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．‎ ‎6、若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． 　C． D．‎ ‎7.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，,则AA1与平面AB1C1所成的角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、右图是函数的导函数的图象，给出下列命题：‎ ‎①是函数的极值点； ‎ ‎②是函数的最小值点；‎ ‎③在处切线的斜率小于零；‎ ‎④在区间上单调递增. ‎ 则正确命题的序号是（ ）‎ A．①② B．①④ C．②③ D．③④‎ ‎9、设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（　　）‎ A．　　　　B．　　　　C．　　　　　D．‎ ‎10、已知函数f(x)在定义域R内可导，若，且当时， ，设，，，则、、的大小关系为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎11、已知且关于的函数在上有极值，则 与的夹角的范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12、抛物线与直线交于A，B两点，且A，B关于直线对称，则的值为（ 　 ）‎ ‎ A． 　 B． C． D．‎ 二、填空题（4×5′=20′）‎ ‎13、如右图，函数的图象在点P处的切线方程是，则 ________ ；‎ ‎14、设方程x3－3x＝k有三个不等的实根，则实数k的取值范围是________ ；‎ ‎15、对于命题：如果是线段上一点，则；将它类比到平面 的情形是：若是△内一点，有；将它类比到空间的情形应该是：若是四面体内一点，则有___________________ ；‎ ‎16、如图过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的直线l依次交抛物线及其准线与点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、（本小题10分）已知数列{an}前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)．‎ ‎(1) 计算S1，S2，S 3，S4的值，猜想Sn的解析式； ‎ ‎(2) 用数学归纳法证明所得的结论．‎ ‎18、（本小题12分）已知函数在点处取得极值.‎ ‎(1)求，的值；‎ ‎(2)若有极大值，求在上的最小值．‎ ‎19、（本小题12分）如图，四边形是边长为1的正方形，，‎ ‎，且，为的中点．‎ ‎⑴ 求此几何体的体积；‎ ‎⑵ 在线段上是否存在点，使得 若存在，求线段的长，若不存在，请说明理由；‎ ‎⑶ 求二面角的余弦值．‎ ‎20、（本小题12分）某种产品每件成本为6元，每件售价为元，年销售为万件，若已知与成正比，且售价为元时，年销量为万件．‎ ‎(1)求年销售利润关于售价的函数关系式；‎ ‎(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．‎ ‎21、（本小题12分）如图，已知直线l：与抛物线C：交于A，B两点，为坐标原点，．‎ ‎（Ⅰ）求直线l和抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）抛物线上一动点P从A到B运动时，求△ABP面积最大值．‎ ‎22、（本小题12分）已知是函数的一个极值点。‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.‎ 信丰中学2016-2017学年第二学期高二年级第二次月考理科数学答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 A A B D D A A B C B C C 二、填空题 ‎13、-5 14、 15、 16、 ‎ 三、解答题 ‎17、解：⑴　S1＝a1＝－，S2＋＋2＝S2－⇒S2＝－，………………………2分 S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－，S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－．……………………4分 猜想：Sn＝－(n∈N＋)．…………………………………………………………5分 ‎(2)证：①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，右边＝－＝－.‎ ‎∵左边＝右边，∴原等式成立．………………………………………………………6分 ‎②当n＝k时，假设Sk＝－成立，由Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk得……………7分 ＝－Sk－2＝－2＝＝＝－，………………………8分 ‎∴Sk＋1＝－＝－，∴当n＝k＋1时，原等式也成立．…………………9分 综合(1)(2)得对一切n∈N＋，Sn＝－成立．……………………………………10分 ‎18、解：(1)因为f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b.‎ 由于f(x)在点x＝2处取得极值c－16，‎ 故有即 化简得解得……………………………………4分 ‎(2)由 (1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. ……………………………………………5分 当x∈(－∞，－2)时， f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；‎ 当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在(－2,2)上为减函数；‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．…………8分 可知f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知16＋c＝28，解得c＝12.此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，‎ f(2)＝－16＋c＝－4，因此f(x)在上的最小值为f(2)＝－4. …………12分 ‎　‎ ‎20、解： (1)设－u＝k2.‎ ‎∵售价为10元时，年销量为28万件，‎ ‎∴－28＝k2，解得k＝2，‎ ‎∴u＝－22＋＝－2x2＋21x＋18. ………………………………4分 ‎∴y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x－108.(x＞6)．‎ ‎ …………………………………………6分 ‎ (2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18)＝－6(x－2)(x－9)．………7分 令y′＝0，得x＝2(∵x＞6，舍去)或x＝9，‎ 显然，当x∈(6,9)时，y′＞0；当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，………………10分 ‎∴函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是增加的；在(9，＋∞)上是减少的，‎ ‎∴当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135，‎ ‎∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元．………………………12分 ‎21、解：（Ⅰ）由得, ………………………2分 设则 因为= ………3分 所以解得 …………………………………5分 所以直线的方程为抛物线C的方程为 …………………6分 ‎（Ⅱ）方法1：设依题意，抛物线过P的切线与平行时，△APB面积最大，‎ ‎，所以 所以………8分 此时到直线的距离 …………………9分 由得， …………………………………10分 ‎ ‎∴△ABP的面积最大值为。………………………12分 ‎ ‎（Ⅱ）方法2：由得， ‎ 设 ，‎ 因为为定值，当到直线的距离最大时，△ABP的面积最大，‎ ‎ ‎ 因为，‎ 所以当时，max=，此时 ‎ ‎∴△ABP的面积最大值为。‎ ‎22、解：（Ⅰ）因为, 所以,‎ 因此 . ……………3分 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ ,‎ ‎ . ……………4分 ‎ 当时，,……………5分 ‎ 当时， . ……………6分 ‎ 所以的单调增区间是,‎ 的单调减区间是. ……………7分 ‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，, ……………8分 ‎ 所以的极大值为，极小值为. ……9分 由于,‎ ‎ ,………10分 ‎ 所以在的三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当,‎ 因此，的取值范围为. …………12分