北京市东城区中考数学试卷

北京市东城区中考数学试卷

‎2002年北京市东城区中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1．（4分）（2002•东城区）在实数﹣，0，，﹣3.14，无理数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎2．（4分）（2002•东城区）我国某年石油产量约为170 000 000，用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.7×10﹣7吨 B．1.7×107吨 C．1.7×108吨 D．1.7×109吨 ‎3．（4分）（2002•东城区）下列运算中，正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．a2÷a3=a C． D．‎ ‎4．（4分）（2011•乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1‎ ‎5．（4分）（2002•东城区）下列银行标志中，是轴对称图形的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6．（4分）（2002•东城区）不等式组的最小整数解为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．4‎ ‎7．（4分）（2002•东城区）若梯形中位线长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（　　）‎ A．6cm B．6cm C．3cm D．3cm ‎8．（4分）（2002•东城区）方程的解为（　　）‎ A．﹣1，2 B．1，﹣2 C．0， D．0，3‎ ‎9．（4分）（2002•东城区）下列说法中错误的是（　　）‎ A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形 C．四个角都相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎10．（4分）（2002•东城区）点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（　　）‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎11．（4分）（2002•东城区）函数的自变量的取值范围是______．‎ ‎12．（4分）（2002•东城区）2002年5月份，某市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：‎ ‎31 35 31 34 30 32 31‎ 这组数据的中位数是______．‎ ‎13．（4分）（2002•东城区）分解因式3x3﹣12x2y+12xy2=______．‎ ‎14．（4分）（2002•东城区）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC=______度．‎ ‎15．（4分）（2002•东城区）如图，在一段坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（即相邻两株树之间的水平距离）为6米，那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为______米．‎ ‎16．（4分）（2002•东城区）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面积是______．‎ ‎17．（4分）（2002•东城区）已知⊙O1、⊙O2的半径都等于1，有下列命题：‎ ‎①若O1O2=1，则⊙O1与⊙O2有两个公共点 ‎②若O1O2=2，则⊙O1与⊙O2外切 ‎③若O1O2≤3，则⊙O1与⊙O2必有公共点 ‎④若O1O2＞1，则⊙O1与⊙O2至少有两条公切线 其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都上）．‎ ‎18．（4分）（2002•东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．‎ 甲：对称轴是直线x=4；‎ 乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；‎ 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；‎ 请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：______．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分48分）‎ ‎19．（6分）（2006•烟台）计算：﹣sin60°+（﹣）0﹣．‎ ‎20．（7分）（2002•东城区）如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．‎ ‎21．（8分）（2002•东城区）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．‎ ‎22．（8分）（2005•天水）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的；零售票每张16元，共售出零售票的一半．如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？‎ ‎23．（9分）（2002•东城区）已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．‎ ‎（l）求证：PA•PB=PO•PE；‎ ‎（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．‎ ‎24．（10分）（2002•东城区）已知如图，一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=，tan∠DOB=‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）当△OCD的面积等于，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2002年北京市东城区中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）‎ ‎1．（4分）（2002•东城区）在实数﹣，0，，﹣3.14，无理数有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】由于无限不循环小数叫无理数，利用无理数的定义进行判断即可求解．‎ ‎【解答】解：在实数﹣，0，，﹣3.14，中，‎ 根据无理数的定义，则其中的无理数有．‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了无理数的概念．注意：=2，是有理数．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2002•东城区）我国某年石油产量约为170 000 000，用科学记数法表示为（　　）‎ A．1.7×10﹣7吨 B．1.7×107吨 C．1.7×108吨 D．1.7×109吨 ‎【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．‎ ‎【解答】解：170 000 000=17×107=1.7×108吨．‎ 故选C．‎ ‎【点评】把一个数写成a×10n的形式，叫做科学记数法，其中1≤|a|＜10，因此不能写成17×107而应写成1.7×108．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2002•东城区）下列运算中，正确的是（　　）‎ A．a2•a3=a6 B．a2÷a3=a C． D．‎ ‎【分析】根据同底数幂乘法、负整数指数幂、同底数幂除法性质和分式的加法运算等知识点进行排除法求解．‎ ‎【解答】解：A、a2•a3=a5，错误；‎ B、a2÷a3=a﹣1，错误；‎ C、分式相加应先通分，不能直接相加，错误；‎ D、负整数幂是正整数幂的倒数，正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】同底数幂相乘指数相加，同底数幂相除，指数相减，负整数幂是正整数幂的倒数．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2011•乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1‎ ‎【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．‎ ‎【解答】解：把x=0代入方程得：‎ ‎|a|﹣1=0，‎ ‎∴a=±1，‎ ‎∵a﹣1≠0，‎ ‎∴a=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2002•东城区）下列银行标志中，是轴对称图形的个数为（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据轴对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：观察图形可知第三个图形不是轴对称图形．‎ 故选C．‎ ‎【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2002•东城区）不等式组的最小整数解为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．4‎ ‎【分析】先求出不等式组的解集，在取值范围内可以找到最小整数解．‎ ‎【解答】解：化简不等式组得，‎ 所以不等式组的解集为﹣＜x≤4，‎ 则符合条件的最小整数解为0．‎ 故选B．‎ ‎【点评】解答此题要先求出不等式组的解集，再确定最小整数解．求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）（2002•东城区）若梯形中位线长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（　　）‎ A．6cm B．6cm C．3cm D．3cm ‎【分析】根据梯形的中位线定理，知梯形的面积=梯形的中位线×高．‎ 根据这一面积公式，列方程求解．‎ ‎【解答】解：设高为xcm，则梯形的中位线是2xcm．‎ 根据梯形的面积公式，得2x2=18，解得x=±3（取正值）．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题应用的知识点为：梯形的面积=中位线×高．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2002•东城区）方程的解为（　　）‎ A．﹣1，2 B．1，﹣2 C．0， D．0，3‎ ‎【分析】方程的两个分式具备平方关系，设y=，则原方程化为y2﹣y﹣2=0．用换元法解一元二次方程求y，再求x．‎ ‎【解答】解：设y=，则原方程化为y2﹣y﹣2=0解得，y1=﹣1，y2=2，‎ 当y1=﹣1时，=﹣1，解得x=0，‎ 当y2=2时，=2，解得x=．‎ 经检验0，都是原方程的根．‎ 故选C．‎ ‎【点评】换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2002•东城区）下列说法中错误的是（　　）‎ A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形 C．四个角都相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎【分析】根据特殊平行四边形的判定对各个选项进行分析，从而得到最后答案．‎ ‎【解答】解：A正确，一组对边平行且一组对角相等可推出两组对角分别相等，是平行四边形；‎ B正确，每组邻边都相等实际是四条边都相等所以为菱形；‎ C正确，四个角都相等，四个角的内角和为360°，可得到每个内角为90°所以为矩形；‎ D不正确，应该是菱形，因为正方形的对角线相等且互相垂直平分；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2002•东城区）点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（　　）‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 ‎【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．‎ ‎【解答】解：（1）作∠APD=∠C ‎∵∠A=∠A ‎∴△APD∽△ABC ‎（2）作PE∥BC ‎∴△APE∽△ABC ‎（3）作∠BPF=∠C ‎∵∠B=∠B ‎∴△FBP∽△ABC ‎（4）作PG∥AC ‎∴△PBG∽△ABC 所以共4条 故选C．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定的运用．‎ ‎　‎ 二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）‎ ‎11．（4分）（2002•东城区）函数的自变量的取值范围是　x＜3　．‎ ‎【分析】根据二次根式的意义和分式的意义可知：3﹣x＞0，可求x的范围．‎ ‎【解答】解：根据题意得：3﹣x＞0，‎ 解得：x＜3．‎ ‎【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2002•东城区）2002年5月份，某市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：‎ ‎31 35 31 34 30 32 31‎ 这组数据的中位数是　31　．‎ ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．‎ ‎【解答】解：按从小到大顺序排列30，31，31，31，32，34，35，‎ 第4个数据即为所求．‎ 故中位数为31．‎ 故填31．‎ ‎【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2002•东城区）分解因式3x3﹣12x2y+12xy2=　3x（x﹣2y）2　．‎ ‎【分析】先提取公因式3x，再运用完全平方公式继续分解．‎ ‎【解答】解：3x3﹣12x2y+12xy2，‎ ‎=3x（x2﹣4xy+4y2），‎ ‎=3x（x﹣2y）2．‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2002•东城区）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°，那么∠BDC=　50　度．‎ ‎【分析】先用切线的性质得出∠BAD=∠ACD=90°，再用四边形内角和定理得出∠BOC，∠BDC可求．‎ ‎【解答】解：连接OB、OC，则∠ABO=∠ACO=90°，‎ ‎∠BAC+∠BOC=360°﹣（∠ABO+∠ACO）=360°﹣180°=180°，‎ ‎∠BOC=180°﹣∠BAC=180°﹣80°=100°，‎ 故∠BDC=∠BOC=×100=50°．‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质及圆周角定理，四边形内角和定理，比较简单．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2002•东城区）如图，在一段坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（即相邻两株树之间的水平距离）为6米，那么斜坡上相邻两株树之间的坡面距离为　　米．‎ ‎【分析】利用垂直距离：水平宽度得到水平距离与斜坡的比，把相应的数值代入即可．‎ ‎【解答】解：∵坡度为1：2，=，且株距为6米，‎ ‎∴株距：坡面距离=2：．‎ ‎∴坡面距离=株距×=3（米）．‎ 另解：∵CB：AB=1：2，‎ 设CB=x，AB=2x，‎ ‎∴AC==x，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AB=6，‎ ‎∴AC=×6=3．‎ ‎【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意坡度是坡角的正切函数．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2002•东城区）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面积是　3π　．‎ ‎【分析】易得几何体为圆锥，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ ‎【解答】解：∠C=90°，AB=3，BC=1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的底面周长=2π，侧面积=×2π×3=3π．‎ ‎【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2002•东城区）已知⊙O1、⊙O2的半径都等于1，有下列命题：‎ ‎①若O1O2=1，则⊙O1与⊙O2有两个公共点 ‎②若O1O2=2，则⊙O1与⊙O2外切 ‎③若O1O2≤3，则⊙O1与⊙O2必有公共点 ‎④若O1O2＞1，则⊙O1与⊙O2至少有两条公切线 其中正确命题的序号是　①②④　．（把你认为正确命题的序号都上）．‎ ‎【分析】本题已知两圆为等圆，当圆心距=1时，两圆相交；当圆心距=2时，两圆外切；当圆心距≤3时，两圆有外离、外切、相交、内切、内含5种情况需要考虑；当圆心距＞1时，两圆有外离、外切、相交3种情况需要考虑．‎ ‎【解答】解：由题意可得①若O1O2=1，则两圆相交，⊙O1与⊙O2有两个公共点，正确；‎ ‎②若O1O2=2，则⊙O1与⊙O2外切，正确；‎ ‎③若O1O2≤3，则⊙O1与⊙O2有外离、外切、相交、内切、内含5种情况需要考虑，而两圆外离时，是没有公共点的，故错误；‎ ‎④若O1O2＞1，则⊙O1与⊙O2有外离、外切、相交3种情况需要考虑，公切线的条数分别是：4、3、2，故至少有两条公切线，正确．‎ 故正确的是①②④．‎ ‎【点评】可以根据圆心的距离判断两个圆的位置关系．两圆心距离小于两半径之和，则两圆相交；两圆心距离等于两半径之和，则两圆外切；两圆心距离大于两半径之和，两圆外离．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2002•东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．‎ 甲：对称轴是直线x=4；‎ 乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；‎ 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；‎ 请写出满足上述全部特点的二次函数解析式：　y=（x﹣3）（x﹣5）　．‎ ‎【分析】由对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数，可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0），又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3，可得与y轴的交点的坐标为（0，3）．利用交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2），求出解析式．‎ ‎【解答】解：此题答案不唯一 ‎∵对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数 可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0）‎ 又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3‎ 可得与y轴的交点的坐标为（0，3）‎ 设解析式y=a（x﹣3）（x﹣5）‎ 把点（0，3）代入得a=．‎ ‎∴解析式y=（x﹣3）（x﹣5）．‎ ‎【点评】此题是开放题，解题的关键理解题意．还要注意利用待定系数法求函数解析式，当题目中出现二次函数与x轴的交点坐标时，采用交点式比较简单．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分48分）‎ ‎19．（6分）（2006•烟台）计算：﹣sin60°+（﹣）0﹣．‎ ‎【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【解答】解：原式==2．‎ ‎【点评】考查对零指数幂、特殊角的三角函数值的掌握情况及运算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（7分）（2002•东城区）如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．‎ ‎【分析】首先角平分线的性质得到OD=OE，然后利用其他已知条件可以证明△BOD≌△COE，从而不难得到结论．‎ ‎【解答】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，‎ ‎∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．‎ ‎∵∠BOD=∠COE，‎ ‎∴△BOD≌△COE．‎ ‎∴OB=OC．‎ ‎【点评】此题主要考查了角平分线的性质，利用它构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质与判定解决问题．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2002•东城区）在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣2=0的两个根，求Rt△ABC中较小锐角的正弦值．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求得m的值后，再求得方程的解，求出较小锐角的正弦值．‎ ‎【解答】解：∵a，b是方程x2﹣mx+2m﹣2=0的解，‎ ‎∴a+b=m，ab=2m﹣2，‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得，a2+b2=c2，‎ 而a2+b2=（a+b）2﹣2ab，c=5，‎ ‎∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=25，‎ 即：m2﹣2（2m﹣2）=25‎ 解得，m1=7，m2=﹣3，‎ ‎∵a，b是Rt△ABC的两条直角边的长．‎ ‎∴a+b=m＞0，m=﹣3不合题意，舍去．‎ ‎∴m=7，‎ 当m=7时，原方程为x2﹣7x+12=0，‎ 解得，x1=3，x2=4，‎ 不妨设a=3，则sinA==，‎ ‎∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题难度较大，利用了一元二次方程的根与系数的关系，勾股定理，正弦的概念求解．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）（2005•天水）某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的；零售票每张16元，共售出零售票的一半．如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？‎ ‎【分析】本题的等量关系为：五月份票款数=六月份票款数，但此题的未知数较多，有总票数、团体票数、零票票数、六月份零售票的定价．又此题文字量大，数量关系复杂．设总票数为a元，六月份零票票按每张x元定价，则团体票数为a，零票票数为a，根据等量关系，列方程，再求解．‎ ‎【解答】解：设总票数a张，六月份零售票按每张x元定价，‎ 根据题意得：12（a•）+16（a•）=16•（a•）+a•x，‎ 化简得：a+a=a+ax 因为总票数a＞0，所以+=+x，‎ 解得x=19.2‎ 答：六月份零售票应按每张19.2元定价，才能使这两个月的票款收入持平．‎ ‎【点评】拓展：有多个未知数的问题要抓住所求问题设为主元，问题中所涉及的其他未知量设为参量．在解方程中必然能消去参量，求出主元x的值．同学们掌握了这个方法，就不必再惧怕有多个未知量的问题了．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2002•东城区）已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．‎ ‎（l）求证：PA•PB=PO•PE；‎ ‎（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．‎ ‎【分析】（1）欲证PA•PB=PO•PE，而这四条线段根本构不成相似三角形，因此需要转化，根据切割线定理，PD•PC=PA•PB，所以原题可转化为证明PO•PE=PD•PC，即证△DPO∽△EPC，而这两个三角形现在共用一个角P，且根据弧AD=弧AF=弧DF，可证∠AOD=∠DCF即∠POD=∠PCE，因此得出相似，从而找出比例线段，得到等积式；‎ ‎（2）由图可知，CF=CE+EF，而由垂径定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通过证明△DHO∽△DEC，运用比例线段进行求解，至于DE，则根据题中给出的已知条件可说明三角形DHE为等腰直角三角形，而DH和HE则可通过勾股定理求出，从而求出CF的值．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，且DF⊥AB于D点H，‎ ‎∴==．‎ ‎∴∠AOD=∠DCF．‎ ‎∴∠POD=∠PCE．‎ ‎∵∠DPO=∠EPC，‎ ‎∴△DPO∽△EPC．‎ ‎∴．‎ 即PO•PE=PD•PC．‎ 又PD•PC=PA•PB，‎ ‎∴PA•PB=PO•PE．‎ ‎（2）解：由（1）知：‎ AB是弦DF的垂直平分线，‎ ‎∴DE=EF．‎ ‎∴∠DEA=∠FEA．‎ ‎∵DE⊥CF，‎ ‎∴∠DEA=∠FEA=45°．‎ ‎∴∠FEA=∠CEP=45°．‎ ‎∵∠P=15°，‎ ‎∴∠AOD=60°．‎ 在Rt△DHO中 ‎∵∠AOD=60°，OD=2，‎ ‎∴OH=1，DH=．‎ ‎∵△DHE是等腰直角三角形，‎ ‎∴DE=．‎ 又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，‎ ‎∴△DHO∽△DEC．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∴EC=．‎ ‎∴CF=CE+EF=CE+DE=．‎ ‎【点评】此题考查比较全面，相似三角形的判定和判定、勾股定理、以及垂径定理，难易程度适中．‎ ‎　‎ ‎24．（10分）（2002•东城区）已知如图，一次函数的图象经过第一，二，三象限，且与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，OB=，tan∠DOB=‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；‎ ‎（3）当△OCD的面积等于，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3？如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据tan∠DOB=可知Rt△OHB中两直角边的比，又因为OB=10，所以可根据勾股定理求出点B的坐标，进而求出解析式；‎ ‎（2）已知A点横坐标m，代入反比例函数解析式，可求出A点坐标，根据OB=和tan∠DOB=，可利用勾股定理求出B点坐标；‎ 把A、B两点坐标分别代入一次函数y=k2x+b的解析式，解方程组得到k2和b的值（用m表示），然后根据一次函数的性质，求出C点坐标，即得出OC的长，再求出以OC为底边，以A、B两点横坐标的绝对值为高的两个三角形△OCA和△COB的面积之和；‎ ‎（3）设出抛物线解析式，将B（﹣3，﹣1），A（1，3）分别代入解析式，求出b的值以及a、c的关系式，再根据根与系数的关系解答．‎ ‎【解答】解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，过点B作BH⊥x轴于点H，在Rt△OHB中，‎ ‎∵tan∠HOB==，‎ ‎∴HO=3BH，‎ 由勾股定理得，BH2+HO2=OB2，‎ 又∵OB=，‎ ‎∴BH2+（3BH）2=（）2，‎ ‎∵BH＞0，‎ ‎∴BH=1，HO=3，‎ ‎∴点B（﹣3，﹣1），‎ 设反比例函数的解析式为y=（k1≠0），‎ ‎∵点B在反比例函数的图象上，∴k1=3，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=．‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y=k2x+b（k2≠0），由点A在第一象限，得m＞0，‎ 又有点A在函数y=的图象上，可求得点A的纵坐标为（m，）．‎ 因为tan∠DOB=，OB=，‎ 设BH=a，则HO=3a，‎ 于是根据勾股定理，a2+9a2=10，‎ 解得a=±1，‎ 则B点坐标为（﹣3，﹣1）．‎ 把A、B两点坐标分别代入解析式得：，‎ 解得k=，b=，‎ 函数解析式为y=x+，‎ 得C（0，）．‎ 于是S=（m+3）×=，‎ 于是0＜m＜3．‎ ‎（3）A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能等于3，‎ 设过B（﹣3，﹣1），A（1，3）的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，‎ 可得，‎ 解得b=2a+1，c=2﹣3a，‎ 又因为A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长等于3，‎ 所以设A（x1，0），（x2，0），x2＞x1，‎ 可得x2﹣x1=3，两边平方得（x2+x1）2﹣4x1x2=9，‎ 根据根与系数的关系（﹣）2﹣4•=9，将c=2﹣3a，b=2a+1代入，‎ 得7a2﹣4a+1=0，‎ ‎∵△=16﹣4×7=﹣12＜0，‎ ‎∴过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3．‎ ‎【点评】此题将一次函数、二次函数、反比例函数结合起来，有很强的综合性．根据图象交点坐标能求出相应线段的长，转化为一元二次方程根与系数的关系解答．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：kuaile；HLing；shuiyu；星期八；wdxwwzy；WWF；HJJ；137-hui；蓝月梦；CJX；心若在；lanchong；zhangCF；郝老师；ln_86；sch；zhjh；hnaylzhyk；wenming；MMCH；lf2-9；wdxwzk；zcx；Liuzhx；438011；未来；zxw；lanyan（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年9月28日