数学理卷·2017届北京市海淀区高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届北京市海淀区高三上学期期末考试（2017

海淀区高三年级第一学期期末练习 ‎ 数学（理科） 2017.1‎ 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．抛物线的焦点到准线的距离为 开始 结束 A． B．1 C．2 D．3‎ ‎2．在极坐标系中，点与点的距离为 A．1 B． ‎ C． D．‎ ‎3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入的值为，的值为，则执行该程序框图输出的结果为 A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎4．已知向量满足，，则 ‎ A． B． ‎ C． D．2‎ ‎5．已知直线经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线的方程可能是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．设满足 则的最小值为 A．1 B． C．5 D．9‎ ‎7．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A．14 B．16　 C．18 D．20‎ ‎8．如图，已知正方体的棱长为1，分别是棱AD，B1C1上的动点，设．若棱与平面有公共点，则的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．已知复数满足，则________．‎ ‎10．在的展开式中，常数项为________．（用数字作答）‎ ‎11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ ‎12．已知圆:，则圆心坐标为_____；‎ 若直线过点且与圆相切，则直线的方程为____________．‎ ‎13．已知函数.‎ ‎① 若，则________；‎ ‎② 若，使成立，则的最小值是________．‎ ‎14．已知函数，给出下列命题：‎ ‎①的最大值为2；‎ ‎②在内的零点之和为0；‎ ‎③的任何一个极大值都大于1.‎ 其中所有正确命题的序号是________．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在DABC中，，，且DABC面积为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：‎ 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 ‎95%‎ ‎98%‎ ‎92%‎ ‎88%‎ 第二个周期 ‎94%‎ ‎94%‎ ‎83%‎ ‎80%‎ 第三个周期 ‎85%‎ ‎92%‎ ‎95%‎ ‎96%‎ ‎（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；‎ ‎（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过的数据的个数，求随机变量的分布列和期望；‎ ‎（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图1，在梯形中，，，，是边的中点．将三角形绕边所在直线旋转到位置，使得，如图2．设为平面与平面的交线．‎ ‎（Ⅰ）判断直线与直线的位置关系并证明；‎ ‎（Ⅱ）若直线上的点满足，求出的长；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知是椭圆G：上的两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆G的离心率；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线l的方程．‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 对于无穷数列,，若，则称是的“收缩数列”．其中，,分别表示中的最大数和最小数．‎ 已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”．‎ ‎(Ⅰ)若，求的前项和；‎ ‎(Ⅱ)证明：的“收缩数列”仍是；‎ ‎(Ⅲ)若，求所有满足该条件的．海淀区 高三年级第一学期期末练习 数学（理科）答案及评分标准2017.1‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1.B 2.B 3. C 4.C 5.A 6. B 7.D 8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，‎ ‎9. 10.15 11. ‎ ‎12.（1,0）；和 ‎13.， 14.①②③‎ 三、解答题（共6小题，共80分）‎ ‎15.（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由DABC面积公式及题设得，‎ 解得 由余弦定理及题设可得，‎ 又. (不写b>0不扣分)‎ ‎（Ⅱ）在DABC中，由正弦定理得：，‎ 又，所以是锐角（或：因为）‎ 所以，‎ 所以 ‎16. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为=‎ ‎（Ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，3‎ 三个周期“水站诚信度”超过分别有3次，2次，3次 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎.‎ ‎（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.‎ 给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.‎ 标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述 标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述 标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述 可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：‎ 情况一：‎ 结论：两次主题活动效果均好.（1分）‎ 理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）‎ 情况二：‎ 结论：两次主题活动效果都不好.（1分）‎ 理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）‎ 情况三：‎ 结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）‎ 理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）‎ 情况四：‎ 结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）‎ 理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化） ‎ 情况五：‎ 结论：两次主题活动累加效果好.（1分）‎ 理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）‎ 情况六：‎ 以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.‎ 给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.‎ 说明：‎ ‎①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.‎ ‎②以下情况不得分.‎ 情况七：‎ 结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的.‎ 例：‎ 结论：第二次主题活动效果好.‎ 理由：第二次主题活动后诚信度有提高. ‎ ‎③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论. ‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）直线//.‎ 证明：由题设可得，，‎ 所以平面. ‎ 又因为平面，平面平面 所以.‎ 法1：‎ ‎（Ⅱ）由已知，是边的中点，，‎ 所以，‎ 因为，所以四边形是正方形，‎ 所以在图1中，‎ 所以结合题设可得，在图2中有，，‎ 又因为，‎ 所以. ‎ 在平面内作垂直于，则.‎ 如图，建立空间直角坐标系，则 ‎，‎ 所以.‎ 设，则由可得 ‎，即 解得.‎ 所以.‎ ‎（Ⅲ）设平面的法向量，则 即令，则，‎ 所以，‎ 设直线与平面所成角为，则.‎ 法2：‎ ‎（Ⅱ）由已知，是边的中点，，‎ 所以，‎ 因为，所以四边形是正方形，‎ 所以在图1中，‎ 所以结合题设可得，在图2中有，，‎ 又因为，‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ 若在直线上的点满足，又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以.‎ ‎（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）‎ ‎（Ⅲ）由（II）可知两两垂直，‎ 如图，建立空间直角坐标系，则，‎ 所以 设平面的法向量，则 即令，则，‎ 所以，‎ 设直线与平面所成角为，则 ‎.‎ ‎18. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知 由点在椭圆G上可得，‎ 解得.‎ 所以，‎ 所以椭圆G的离心率是 ‎（Ⅱ）法1：‎ 因为以为直径的圆经过点，所以，‎ 由斜率公式和可得，‎ 所以，‎ 设直线的方程为. ‎ 由得，‎ 由题设条件可得，‎ 所以，‎ 所以直线的方程为. ‎ 法2：因为以为直径的圆经过点，所以，‎ 由斜率公式和可得，‎ 所以，‎ 设 ,则，即①‎ 由点C在椭圆上可得②‎ 将①代入②得，‎ 因为点不同于点，所以，‎ 所以，‎ 所以直线的方程为.‎ 法3：当直线l过点且斜率不存在时，可得点，不满足条件.‎ 设直线的方程为，点 由可得，‎ 显然，此方程两个根是点的横坐标，‎ 所以，即 所以 因为以为直径的圆经过点，‎ 所以，即.‎ ‎（此处用亦可）‎ ‎，‎ 即，‎ 当时，即直线,与已知点不同于点矛盾，‎ 所以 所以直线的方程为. ‎ ‎19. （本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由得 ‎.‎ 由已知曲线存在斜率为的切线，‎ 所以存在大于零的实数根，‎ 即存在大于零的实数根，‎ 因为在时单调递增，‎ 所以实数的取值范围. ‎ ‎（Ⅱ）由，，可得 当时，，所以函数的增区间为；‎ 当时，若，，若，，‎ 所以此时函数的增区间为，减区间为.‎ ‎（Ⅲ）由及题设得，‎ 由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，‎ 所以，‎ 取，显然，‎ ‎，‎ 所以存在满足，即 存在满足，‎ 所以在区间上的情况如下：‎ ‎0‎ 极小 所以当时，在上存在极小值.‎ ‎（本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可）‎ ‎20. （本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由可得为递增数列，‎ 所以，‎ 故的前n项和为.-‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ ‎，‎ 所以 所以.‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以的“收缩数列”仍是.‎ ‎（Ⅲ）由可得 当时，；‎ 当时，，即，所以；‎ 当时，，即（*），‎ 若，则，所以由（*）可得，与矛盾；‎ 若，则，所以由（*）可得，‎ 所以同号，这与矛盾；‎ 若，则，由（*）可得.‎ 猜想：满足的数列是：‎ ‎.‎ 经验证，左式=，‎ 右式=.‎ 下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.‎ 法1：由上述时的情况可知，时，是成立的.‎ 假设是首次不符合的项，则，‎ 由题设条件可得（*），‎ 若，则由（*）式化简可得与矛盾；‎ 若，则，所以由（*）可得 所以同号，这与矛盾；‎ 所以，则，所以由（*）化简可得.‎ 这与假设矛盾.‎ 所以不存在数列不满足的符合题设条件.‎ 法2：当时，，‎ 所以，‎ 即，‎ 由可得 又，所以可得，‎ 所以，‎ 即 所以等号成立的条件是 ‎，‎ 所以，所有满足该条件的数列为.‎ ‎（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）‎