2018-2019学年四川省眉山一中办学共同体高二上学期半期考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年四川省眉山一中办学共同体高二上学期半期考试数学（理）试题 Word版

绝密★启用前 眉山一中办学共同体2020届第三期半期考试题 数学（理工类）‎ 命题人：杨晓彬 审题人：陈杰 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（共60分，每小题5分，每个小题有且仅有一个正确的答案）‎ ‎1．下列结论正确的个数为(　　)‎ A．梯形可以确定一个平面；‎ B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；‎ C．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α D．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．‎ ‎2.平面α的法向量为＝(1,2，－2)，平面β的法向量＝(－2，h，k)，若α∥β，则h＋k的值为(　　)‎ A.－2 B.－8 C.0 D.－6‎ ‎3. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，‎ 则下列判断错误的是(　　)‎ A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行 ‎4．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于(　　)‎ A．120° B．30° C． 60° D．60°或30°‎ 5. 已知二面角α－l－β的大小是，m，n是异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(　　)‎ A. B. C.D.‎ ‎6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　)‎ A．(－1,1,1) B．‎ C． (1，－1,1) D．‎ ‎7．下列结论中，正确的是(　　)‎ A．若直线平行平面，点P∈，则平面内经过点P且与直线平行的直线有且只有一条 B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面 C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线 ‎8.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则(　　)‎ A.β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直 B.β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 C.β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直 D.β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直 ‎10．在下列结论中：‎ ‎①若向量共线，则向量所在的直线平行；‎ ‎②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；‎ ‎③若三个向量两两共面，则向量共面；‎ ‎④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得 ‎.‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎11．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α D．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l ‎12．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（共20分，每小题5分）‎ ‎13．已知向量，，若，则________.‎ ‎14.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．‎ ‎15.在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H.且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．‎ ‎16.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为 SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨 迹长度为________．‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.（10分）直三棱柱中，AC＝BC＝AA′=2，∠ACB＝90°，‎ D、E分别为AB、BB′的中点.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.‎ ‎18.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，‎ AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．‎ ‎(1)证明：BE⊥DC；‎ ‎(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎19.(12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，‎ AA1＝AC＝CB＝.‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.‎ ‎20.（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，PA⊥PD，‎ 底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O为AD中点．‎ ‎ (1)求B点到平面PCD的距离；‎ ‎(2)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值为？‎ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 21. ‎ (12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，‎ ‎∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面PAE；‎ ‎(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，‎ 求四棱锥P－ABCD的体积.‎ ‎22.（12分）如图，三棱锥的侧面是等腰直角三角形，，，‎ ‎，且．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ 眉山一中办学共同体2020届第三期半期考试题 数学（理工类）参考答案 一选择题 ‎1A. 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.B 9.D 10.A 11.D 12.C 二填空题 ‎13.2 14. 15. 16.‎ 三解答题 ‎17题（10分）‎ 解：法一：如图建立空间直角坐标系，其各点坐标如图所示 （1） 证明：‎ （2） 异面直线CE与AC′所成角的余弦值为。‎ 法二：(1)证明　设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，∴＝b＋c，＝－c＋b－a.‎ ‎∴·＝－c2＋b2＝0.∴⊥，即CE⊥A′D.‎ ‎(2)解　∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.‎ ·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈，〉＝＝.‎ 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.‎ ‎18题（12分）‎ 解：(1)证明　依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图，‎ 可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,1,1)。‎ ＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，‎ 故·＝0，所以BE⊥DC.‎ (2) ＝(－1,2,0)，＝(1,0，－2)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，‎ 则即不妨令y＝1，[5分]可得n＝(2,1,1)．‎ 于是有cos〈n，〉＝＝＝，‎ 所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.[7分]‎ ‎19题（12分）‎ 解：(1)证明　连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.‎ 又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ 因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ 所以BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.‎ 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.‎ 设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， ‎ ＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2).‎ 设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，‎ 则即可取n＝(1，－1，－1).‎ 同理，设m是平面A1CE的法向量，‎ 则可取m＝(2,1，－2).‎ 从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.‎ 即二面角D－A1C－E的正弦值为.‎ ‎20题（12分）.‎ 解：在△PAD中，PA＝PD，O为AD中点，∴PO⊥AD.‎ 又∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.‎ 在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2.‎ 在直角梯形ABCD中，O为AD的中点，AB⊥AD，∴OC⊥AD.‎ 以O为坐标原点，OC为x轴，OD为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，‎ ‎ (1)∴＝(1，－1，－1)．‎ 设平面PCD的法向量为u＝(x，y，z)，‎ 则取z＝1，得u＝(1,1,1)．‎ 则B点到平面PCD的距离d＝＝.‎ ‎(2)设＝λ(0≤λ≤1)．∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)，‎ ‎∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．‎ 设平面CAQ的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 则取z＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)．‎ 平面CAD的一个法向量为n＝(0,0,1)，‎ ‎∵二面角Q－AC－D的余弦值为，‎ ‎∴|cos〈m，n〉|＝＝.‎ 整理化简，得3λ2－10λ＋3＝0.解得λ＝或λ＝3(舍去)，∴存在，且＝.‎ ‎21题(12分)‎ 解：方法一　(1)证明　如图，连接AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°‎ 得AC＝5.[1分]又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE. [2分]‎ 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. [4分]‎ 而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. [5分]‎ ‎(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF.‎ 由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.‎ 于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE. [6分]‎ 由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角. [7分]‎ 由题意得∠PBA＝∠BPF，‎ 因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.‎ 由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.‎ 又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形.‎ 故GD＝BC＝3.于是AG＝2.‎ 在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以 BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝. [10分]‎ 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，‎ 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝. [12分]‎ 方法二　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系.设PA＝h，‎ 则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h). [2分]‎ ‎(1)证明　易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h).‎ 因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0， [4分]‎ 所以CD⊥AE，CD⊥AP.‎ 而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，‎ 所以CD⊥平面PAE. [5分]‎ ‎(2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量. [6分]‎ 而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，‎ 所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，‎ 即＝ ‎. [8分]‎ 由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，‎ 又＝(4,0，－h)，‎ 故＝.解得h＝. [10分]‎ 又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，‎ 所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝. [12分]‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 解：（1）证明：如图，取BD中点E，连结、， 1分 因为是等腰直角三角形，‎ 所以， 2分 设，则， 3分 在中，由余弦定理得：‎ ‎， 4分 因为，，‎ 所以，即， 5分 又，，‎ 所以平面，‎ 所以平面平面； 6分 ‎（2）解法一：过点E在平面内作交于点F，由（I）知平面，‎ 分别以为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 7分 不妨设，‎ 则：， 8分 则，，， 9分 设平面的法向量，‎ 则，取， 10分 设平面的法向量， ‎ 则，取， 11分 所以， ‎ 因为二面角的平面角是锐角，‎ 所以二面角的余弦值为. 12分 解法二：过点D作DN⊥AC于点N，‎ 设D在平面ABC上的射影为M，连接MN，‎ 则AC⊥MN，所以∠DNM为所求二面角的平面角， 7分 设AB=1,则AD=1,BD=CD=，AC=2，BC=,‎ 在△ADC中，cos∠DAC=,‎ 所以DN=, 8分 在△ABC中，cos∠BAC=,所以sin∠BAC=, 9分 由,‎ 所以,‎ 即, 11分 在△DMN中，sin∠DNM=,‎ 所以cos∠DNM=,‎ 所以二面角的余弦值为. 12分