2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第六章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第六章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示

www.ks5u.com 多维层次练33‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．向量a，b满足a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，则b为(　　)‎ A．(－3，4) B．(3，4)‎ C．(3，－4) D．(－3，－4)‎ 解析：由a＋b＝(－1，5)，a－b＝(5，－3)，‎ 得2b＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，‎ 所以b＝(－6，8)＝(－3，4)．‎ 答案：A ‎2．(2020·山西榆社中学诊断)若向量＝＝(2，0)，＝(1，1)，则＋等于(　　)‎ A．(3，1) B．(4，2) ‎ C．(5，3) D．(4，3)‎ 解析：＝＋＝(3，1)，‎ 又＝－＝(－1，1)，‎ 则＝＋＝(1，1)，‎ 所以＋＝(4，2)．‎ 答案：B ‎3．已知向量a＝(2，1)，b＝(3，4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．7 D．8‎ 解析：由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5，5)，‎ λc＝(λ，λm)，据此有解得λ＝5，m＝1，‎ 所以λ＋m＝6.‎ 答案：B ‎4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的(　　)‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由题意得a＋b＝(2，2＋m)，‎ 由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，‎ 则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件．‎ 答案：A ‎5．(2020·漳州二模)已知点C(1，－1)、D(2，x)，若向量a＝(x，2)与的方向相反，则|a|＝(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．2 D. 解析：由C(1，－1)、D(2，x)，‎ 得＝(1，x＋1)．‎ 因为向量a＝(x，2)与的方向相反，‎ 所以＝，‎ 解得x＝1(舍去)或x＝－2.‎ 则|a|＝＝2.‎ 答案：C ‎6．(2020·蚌埠期中)已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：因为m∥n，‎ 所以sin A(sin A＋cos A)－＝0，‎ 所以2sin2A＋2sin Acos A＝3，‎ 所以1－cos 2A＋sin 2A＝3，‎ 所以sin＝1，‎ 因为A∈(0，π)，‎ 所以2A－∈，‎ 因此2A－＝，解得A＝.‎ 答案：C ‎7．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝(　　)‎ A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析：如图所示，因为＝2，‎ 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝‎ ＋.‎ 答案：C ‎8．(2020·南昌调研)已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，3y－5)，且a∥b，若x，y均为正数，则xy的最大值是(　　)‎ A．2 B. ‎ C. D. 解析：因为a∥b，‎ 所以(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.‎ 因为x＞0，y＞0，‎ 所以5＝2x＋3y≥2，‎ 所以xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号．‎ 答案：C ‎9．(2020·合肥质检)已知a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________．‎ 解析：因为a＝(1，3)，b＝(－2，k)，‎ 所以a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)．‎ 因为(a＋2b)∥(3a－b)，‎ 所以－3(9－k)＝5(3＋2k)，所以k＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎10．(2019·广东联考)已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1，1)，C(2，3)，||＝2||，则向量的坐标是________．‎ 解析：因为点C是线段AB上一点，且||＝2||，‎ 所以＝－2.‎ 设点B为(x，y)，则(2－x，3－y)＝－2(1，2)．‎ 所以解得 所以向量的坐标是(4，7)．‎ 答案：(4，7)‎ ‎11．(2020·辽宁丹东五校联考)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos 2α＝________．‎ 解析：因为a∥b，a＝，b＝(cos α，1)，‎ 所以tan α·cos α＝sin α＝，‎ 所以cos 2α＝1－2sin2 α＝1－2×＝.‎ 答案： ‎12．在平行四边形ABCD中，E和F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．‎ 解析：选择，作为平面向量的一组基底，‎ 则＝＋，＝＋，＝＋，‎ 又＝λ＋μ＝＋，‎ 所以解得所以λ＋μ＝.‎ 答案： ‎[B级　能力提升]‎ ‎13．(2020·福州质检)设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则ab的最大值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：因为＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，‎ 所以＝－＝(a－1，1)，‎ ＝－＝(－b－1，2)，‎ 因为A，B，C三点共线，‎ 所以＝λ，即(a－1，1)＝λ(－b－1，2)，‎ 所以可得2a＋b＝1，‎ 因为a＞0，b＞0，‎ 所以1＝2a＋b≥2，所以ab≤.‎ 当且仅当2a＝b＝时取等号．‎ 因此ab的最大值为.‎ 答案：C ‎14．(2019·衡水中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于(　　)‎ A. B. ‎ C．－3 D．0‎ 解析：因为＝2，所以＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0，故选D.‎ 答案：D ‎15．(2020·中原名校联考)如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，则＝________．‎ 解析：设＝a，＝b，‎ 因为A、P、M三点共线，‎ 所以存在唯一实数λ，使得＝λ.‎ 又知M为BC的中点，‎ 所以＝λ(a＋b)．‎ 因为B、P、N三点共线，‎ 所以存在唯一实数μ，使得＝μ，‎ 又＝＋＝＋μ＝＋μ(－)＝＋‎ μ＝(1－μ)a＋μb，‎ 所以λ(a＋b)＝(1－μ)a＋μb，‎ 所以解得λ＝，μ＝.‎ 所以＝，＝.‎ 所以||∶||＝4∶1，即＝4.‎ 答案：4‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎16．(多选题)已知向量a＝(－2，0)，a－b＝(－3，－1)，则下列结论错误的是(　　)‎ A．a·b＝2 B．a∥b C．|a|＝|b| D．b⊥(a＋b)‎ 解析：因为a＝(－2，0)，a－b＝(－3，－1)，所以b＝(1，1)‎ ‎，所以a·b＝－2，|a|＝2，|b|＝，所以选项A，B，C都不正确．而a＋b＝(－1，1)，则b·(a＋b)＝0，所以D正确．‎ 答案：ABC