2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练46　利用空间向量证明平行与垂直

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练46　利用空间向量证明平行与垂直

课时分层训练(四十六)　利用空间向量证明平行与垂直 ‎(对应学生用书第289页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)‎ A．l∥α　　　　　　 B．l⊥α C．l⊂α D．l与α相交 B　[∵n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α.]‎ ‎2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)‎ A. B． C. D． D　[由题意得c＝ta＋μb＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，‎ ‎∴∴]‎ ‎3．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　) ‎ ‎【导学号：79140251】‎ A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 D　[∵＝λ＋μ，∴、、共面，‎ ‎∴AB与平面CDE平行或在平面CDE内．]‎ ‎4．(2017·西安月考)如图778，F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点．E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有(　　)‎ 图778‎ A．B1E＝EB B．B1E＝2EB C．B1E＝EB D．E与B重合 A　[分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，＝(0,1，－2)，＝(2,2，z)，∵·＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB.]‎ ‎5．如图779所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：‎ 图779‎ ‎①A1M∥D1P；‎ ‎②A1M∥B1Q；‎ ‎③A1M∥平面DCC1D1；‎ ‎④A1M∥平面D1PQB1.‎ 以上说法正确的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ C　[＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴∥，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.①③④正确．]‎ 二、填空题 ‎6.如图7710所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．‎ 图7710‎ 垂直　[以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，·＝·＝0，∴ON与AM垂直．]‎ ‎7．(2017·广州质检)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．‎ α∥β　[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，‎ 由m·＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，‎ 由m·＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，‎ ‎∴m＝(1,1,1)，m＝－n，‎ ‎∴m∥n，∴α∥β.]‎ ‎8．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________. ‎ ‎【导学号：79140252】‎ 　[由条件得 解得x＝，y＝－，z＝4，‎ 所以x＋y＝－＝.]‎ 三、解答题 ‎9．如图7711，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.‎ 图7711‎ ‎[证明]　如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.‎ 依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，‎ 则＝(1,1,0)，＝(0,0,1)，＝(1，－1,0)．‎ ‎∴·＝0，·＝0.‎ 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，‎ 又DQ∩DC＝D，∴PQ⊥平面DCQ，‎ 又PQ平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.‎ ‎10．(2017·郑州调研)如图7712所示，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.‎ 图7712‎ ‎(1)求证：PA⊥平面ABCD；‎ ‎(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．‎ ‎[解]　　(1)证明：∵PA＝AD＝1，PD＝，‎ ‎∴PA2＋AD2＝PD2，‎ 即PA⊥AD.‎ 又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.‎ ‎(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，‎ E，＝(1,1,0)，＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即令y＝1，则n＝(－1,1，－2)．‎ 假设侧棱PC上存在一点F，且＝λ(0≤λ≤1)，‎ 使得BF∥平面AEC，则·n＝0.‎ 又∵＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，‎ ‎∴·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，‎ ‎∴存在点F，使得BF∥平面AEC，且F为PC的中点．‎ B组　能力提升 ‎11．如图7713，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)‎ 图7713‎ A．(1,1,1) B． C. D． C　[设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，‎ 又O是正方形ABCD对角线交点，‎ ‎∴M为线段EF的中点．‎ 在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)．‎ 由中点坐标公式，知点M的坐标.]‎ ‎12．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________. ‎ ‎【导学号：79140253】‎ ‎①②③　[∵·＝0，·＝0，‎ ‎∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．‎ 又与不平行，‎ ‎∴是平面ABCD的法向量，则③正确．‎ ‎∵＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)，‎ ‎∴与不平行，故④错误．]‎ ‎13．(2017·北京房山一模)如图7714，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，‎ 图7714‎ 且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．‎ 求证：(1)PB∥平面EFH；‎ ‎(2)PD⊥平面AHF.‎ ‎[证明]　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ ‎∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，‎ P(0,0,2)，E(0,0,1)，‎ F(0,1,1)，H(1,0,0)．‎ ‎(1)∵＝(2,0，－2)，＝(1,0，－1)，‎ ‎∴＝2，∴PB∥EH.‎ ‎∵PB平面EFH，且EH平面EFH，‎ ‎∴PB∥平面EFH.‎ ‎(2)∵＝(0,2，－2)，＝(1,0,0)，＝(0,1,1)，‎ ‎∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，‎ ·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，‎ ‎∴PD⊥AF，PD⊥AH.‎ 又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.‎