高考数学二轮复习概率与统计

高考数学二轮复习概率与统计

高考数学二轮复习概率与统计 【考点聚焦】 考点 1：概率的基本概念，古典概率，几何概率； 考点 2：用列举法计算事件的个数； 考点 3：三种抽样、统计图表、样本的数据特征分析。 【考点小测】 1．(重庆卷)为了了解某地区高三学生的身体发育情况， 抽查了该地区 100 名年龄为 17.5 岁－１８岁的男生体 重(kg) ,得到频率分布直方图如下： 根据上图可得这 100 名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生 人数是(A)20 (B)30 (C)40 （D）50 2．(重庆卷)某地区有 300 家商店， 其中大型商店有 30 家 ，中型商店有 75 家，小型商店有 195 家。为了 掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的方法，抽取 的中型商店数是 （A）2 （B）3 （C）5 （D）13 3．某次考试，班长算出了全班 40 人数学成绩的平均分 M，如果把 M 当成一个同学的成绩 与原来的 40 个分数加在一起，算出这 41 个分数的平均值为 N，那么 M：N 为：（ ） A．40：41 B．41：40 C．2 D．1 4. 某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下: 行业名称 计算机 机械 营销 建筑 化工 应聘人数 215830 200250 154676 74570 65280 行业名称 计算机 机械 营销 建筑 化工 招聘人数 124620 102935 89115 76516 70436 若用同一行业应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就 业形式一定是 A.计算机行业好于化工行业 B.建筑行业好于营销行业 C.机械行业最紧张 D.营销行业 比化工紧张 5. 某公司在甲、乙片区分别有若干个销售点。公司为了调查产品销售情况，用按5%比例分 层抽样的方法抽取了甲片区15个销售点，乙片区45个销售点进行调查，则该公司在甲、乙片 区的销售点数分别为 A．75，225 B．150，450 C．300，900 D．600，600 0.0005 3000 3500 0.0003 0.0004 2000 1500 0.0002 0.0001 4000 2500 1000 月收入（元） 频率/组距 6．如果数据 x1、x2、…、xn 的平均值为 x ，方差为 S2 ，则 3x1+5、 3x2+5、…、3xn+5 的平均值和方差分别为（ ） (A) x 和 S2 (B) 3 x +5 和 9S2 (C) 3 x +5 和 S2 (D)3 x +5 和 9S2+30S+25 7、如图，一颗豆子随机扔到桌面上，假设豆子不落在线上，则它落 在阴影区域的概率为 (A) 9 1 (B) 6 1 (C) 3 2 (D) 3 1 8．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买10g 黄金，售货员 先 将 5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右 盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ） A．大于10g B．小于10g C．大于等于10g D．小于等于10g 9．两位同学去某大学参加自主招生考试，根据右图学校 负责人与他们两人的对话，可推断出参加考试的人数为 ( ) A. 19 B. 20 C. 21 D.22 10．（全国 II）一个社会调查机构就某地居民的月收入调 查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布 直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学 历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层 抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在［2500，3000） （元）月收入段应抽出 人． 11.（山东卷）某学校共有师生 2400 人，现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为 160 的样本，已知从学生中抽取的人数为 150， 那么该学校的教师人数是 . 12．在大小相同的 6 个球中，2 个是红球，4 个是白球，若从中任意选取 3 个，则所选的 3 个球至少有一个红球的概率是____________。 13． 某工厂生产某种产品 4800 件，它们来自甲、乙、丙 3 条生产线，为了检查这批产品的 质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数的比值 为５∶4∶3，则乙生产线生产了 件产品。 14．某校为了了解高三年级学生的身体状况，现用分层抽样的方法，从全段 600 名学生中抽 取 60 名进行体检，如果在抽取的学生中有男生 36 名，则在高三年级中共有．．女生 ▲ 名。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 C C D B C B D A B 25 15. 0.8 1600 240 【典型考例】 1．一个盒子中装有标号为 1，2，3，4，5 的 5 张标签，随机地选取两张标签，根据下列条 件求两张标签上的数字为相邻整数的概率： (1) 标签的选取是无放回的； (2) 标签的 选取是有放回的． 15 解： (1) 无放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1， 4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}总数为 2×10 个 ……3 分 两张标签上的数字为相邻整数基本事件为{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}总数为 2×4 个……2 分 ∴P= 5 2 20 8  ； ……6 分 (2) 有放回地从 5 张标签随机地选取两张标签的基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1， 5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}和（1，1），（2，2），（3，3），（4， 4），（5，5）总数为 2×10+5=25 个 P= 25 8 ……12 分 2．（本小题满分 12 分）将 A 、 B 两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多 少种不同的结果？（2）两数之和是 3 的倍数的结果有多少种？（3）两数之和是 3 的倍数的 概率是多少？ 解：（1）共有 3666  种结果； （2）共有 12 种结果； （3） 3 1 36 12 P ． 3、将 A、B 枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（5 分） （2）两枚骰子点数之和是 3 的倍数的结果有多少种？（5 分）（3）两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率为多少？（4 分） 解: ① 共有 3666  种结果 ………………5 分 ② 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是 3 的倍数的结果有（1,2），（2,1）， （1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共 12 种 ………………10 分 ③两枚骰子点数之和是 3 的倍数的概率是：P＝ 3 1 36 12  …………14 分 4．某高校在进行自主招生面试时，共设 3 道试题，每道试题回答正确给 10 分、否则都不给 分。 （Ⅰ）某学生参加面试得分为 20 分的情况有几种？ （Ⅱ）若某学生对各道试题回答正确的概率均为 3 2 ，求他至少得 10 分的概率。 解：（Ⅰ）某学生参加面试得分为 20 的不同情况有 2 3 3C  种 （ Ⅱ ） 设 该 学 生 的 得 分 为 ξ ， 则 ξ ＝ 0 ， 10 ， 20 ， 30 31 26( 10) 1 ( 0) 1 ( )3 27P P        所以他至少得 10 分的概率为 26 27 5． 同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6 的正方体)， 两颗骰子向上的点数之和记为 .（Ⅰ）求 5  的概率  5P   ; （Ⅱ）求 5  的概 率  5P   . 解: (Ⅰ) 掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示: 1 点 2 点 3 点 4 点 5 点 6 点 1 点 2 3 4 5 6 7 2 点 3 4 5 6 7 8 3 点 4 5 6 7 8 9 4 点 5 6 7 8 9 10 5 点 6 7 8 9 10 11 6 点 7 8 9 10 11 12 显然， 的取值有 11 种可能，它们是 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. …… 3 分 点数和为 5 出现 4 次,   4 15 36 9P     . 答： 5  的概率是 1 9 .…… 5 分 (Ⅱ) 点数和为 2 出现 1 次, 点数和为 3 出现 2 次, 点数和为 4 出现 3 次,   5P         1 2 3 12 3 4 36 36 36 6P P P            . 答： 5  的概率是 1 6 . …… 8 分 6、甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个， 甲、乙两人依次各抽一题。① 甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(6 分)② 甲、 乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？(6 分) 解：（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件 A， 甲抽到选择题有 6 种抽法，乙抽到判断题有 4 种抽法，所以事件 A 的基本事件数为 2446  ∴ 15 4 910 46)(  AP （2）记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件 B，“至少一人抽到选择题”为事件 C，则 B 含基本事件数为 1234  由古典概率公式得 15 2 910 12)( BP 由对立事件的性质可得 15 3 15 21)(1)(  BPCP 7．箱中装有 15 张大小、重量一样的卡片，每张卡片正面分别标有 1 到 15 中的一个号码， 正面号码为 n 的卡片反面标的数字是 2 12 40n n  ．（卡片正反面用颜色区分）（1）如果任 意取出一张卡片，试求正面数字大于反面数字的概率；（2）如果同时取出两张卡片，试求他 们反面数字相同的概率． 解：（1）由不等式 2 12 40n n n   ，得 5 8n  由题意知 6,7n  ，即共有 2 张卡片 正面数字大于反面数字，故所求的概率为 2 15 ．答：所求的概率为 2 15 ． （2）设取出的是第 m 号卡片和 n 号卡片（ m n ），则有 2 212 40 12 40m m n n     即 2 212( )n m n m   ，由 m n 得 12m n  故符合条件的取法为 1，11；2，10；3， 9；4，8；5，7． 故所求的概率为 2 15 5 1 21C  ． 答：故所求的概率为 1 21 ．） 8．（江西卷）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有 9 个白球、1 个红球的箱子中 每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球获得一 等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求（1）甲、乙两人都没有中奖 的概率；（2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 解:（1） 2 3 1 9 9 9 ;10 10 10P             （2）方法一： 2 2 2 2 2 1 9 1 1 9 18 1 18 262 10 10 10 10 10 10 10 10 1000P                   方法二： 2 1 1 9 1 1 9 2622 210 10 10 10 10 10 1000P          方法三： 2 9 1 1 9 9 2621 10 10 10 10 10 1000P           9．(重庆卷)甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进 的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为 1 6 、 1 3 、 1 2 。若在一段时间内打进三个电话，且各 个电话相互独立。求： （Ⅰ）这三个电话是打给同一个人的概率；（Ⅱ）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率； 解：（Ⅰ）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式， 所求概率为： 3 3 31 1 1 1( ) ( ) ( ) .6 3 2 6p     （Ⅱ）这是 n=3，p= 1 6 的独立重复试验，故所求概率为 ： 2 2 3 3 1 5 5(2) ( ) ( ) .6 6 72P C  10．为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采 用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为 P）和所需费用如下表： 预防措施 甲 乙 丙 丁 P 0.9 0.8 0.7 0.6 费用（万元） 90 60 30 10 预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过 120 万元 的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.（15 班） 解：方案 1：单独采用一种预防措施的费用均不超过 120 万元.由表可知，采用甲措施，可 使此突发事件不发生的概率最大，其概率为 0.9. 方案 2：联合采用两种预防措施，费用不超过 120 万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措 施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为：1—(1—0.9)(1—0.7)=0.97. 方法 3：联合采用三种预防措施，费用不超过 120 万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措 施，此时突发事件不发生的概率为：1—（1—0.8）(1—0.7)(1—0.6)=1—0.024=0.976. 综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过 120 万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种 预防措施可使此突发事件不发生的概率最大. 11．甲、乙两人玩投篮球游戏，他们每次投进的概率都是 0.5，现甲投 3 次，记下投进的次 数为 m；乙投 2 次，记下投进的次数为 n. （1）分别计算甲、乙投进不同次数的概率； （2） 现在规定：若 m>n，则甲获胜；若 n≥m，则乙获胜。你认为这样规定甲、乙获胜的机会相 等吗？请说明理由.（15 班） 解：（1） m 3 2 1 0 P(m) 8 1 8 3 8 3 8 1 n 2 1 0 P(n) 4 1 2 1 4 1 2 ………………6 分 （2）这样规定甲、乙获胜的机会相等，这是因为甲获胜，则 m>n，即： 当 m=3 时，n=2，1，0 其概率为 8 1)4 1 2 1 4 1(8 1  ； 当 m=2 时，n=1，0，其概率为 32 9)4 1 2 1(8 3  ； 当 m=1 时，n=0，其概率为 32 3 4 1 8 3  ； ∴甲获胜的概率为 .2 1 32 3 32 9 8 1  从而乙获胜的概率也为 2 1 . 甲和乙获胜的概率都是 2 1 ，所以甲、乙获胜的机会相等.……………………13 分 12.某办公室有 5 位教师，只有 3 台电脑供他们使用，教师是否使用电脑是相互独立的。（1） 若上午某一时段 A、B、C 三位教师需要使用电脑的概率分别是 4 1 、 3 2 、 5 2 ，求这一时段 A、 B、C 三位教师中恰有 2 位教师使用电脑的概率；（2）若下午某一时段每位教师需要使用电 脑的概率都是 3 1 ，求这一时段该办公室电脑数无法满足需求的概率。(15 班) 解：（1）甲、乙、丙教师使用电脑的事件分别记为 A、B、C，因为各位教师是否使用电脑 是相互独立的，所以甲、乙、丙三位教师中恰有 2 位使用电脑的概率是： 3 1 5 2 3 2)4 11(5 2)3 21(4 1)5 21(3 2 4 1)()()(  BCAPCBAPCABPp ……6 分 （2）电脑数无法满足需求，即指有 4 位以上（包括 4 位）教师同时需要使用电脑，记有 4 位教师同时需要使用电脑的事件为 M，有 5 位教师同时需要使用电脑的事件为 N， P（M）= 544 5 )3 1()3 2()3 1( C ……………………………………10 分 所以，所求的概率是：P=P（M）+P（N）= 243 11)3 1()3 2()3 1( 544 5 C 。 …………12 分 13（本题满分 14 分）车间检验 60 只热水瓶，其中 48 只是一等品，其余是二等品，从中任 意取出 2 只，求： (1)拿出 2 只都是二等品的概率；(2)拿出的 2 只，一只是一等品，一只是二等品的概率；(3) 拿出的 2 只，不全是二等品的概率。 解：（1） 259 11P （2） 295 96P （3）P（不全是二等品）=1－P（全是二等品）= 259 248 259 111  14（辽宁卷）甲、乙两班各派 2 名同学参加年级数学竞赛，参赛同学成绩及格的概率都为 0.6，且参赛同学的成绩相互之间没有影响，求：（1）甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学 成绩及格的概率；（2）甲、乙两班参赛同学中至少有 1 名同学成绩及格的概率．(15 班) 解：（Ⅰ）甲班参赛同学恰有 1 名同学成绩及格的概率为 0.48 乙班参赛同学中恰有一名同学成绩及格的概率为 0.48 故甲、乙两班参赛同学中各有 1 名同学成绩几个的概率为 0.48 0.48 0.2304P    （Ⅱ）解法一：甲、乙两班 4 名参赛同学成绩都不及格的概率为 40.4 0.0256, 故甲、乙两班参赛同学中至少有一名同学成绩都不及格的概率为 1 0.0256 0.9744P    15（全国卷 I）A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组 由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中， 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 2 3 ，服用 B 有效的概率为 1 2 。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观 察 3 个试验组，求这 3 个试验组中至少有一个甲类组的概率。 解: (1)设 Ai 表示事件“一个试验组中，服用 A 有效的小鼠有 i 只" , i=0,1,2, Bi 表示事件“一个试验组中，服用 B 有效的小鼠有 i 只" , i=0,1,2, 依题意有: P(A1)=2×1 3×2 3 = 4 9, P(A2)=2 3 ×2 3 = 4 9 . P(B0)=1 2 ×1 2 = 1 4, P(B1)=2×1 2 ×1 2 = 1 2 , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)= 1 4×4 9 + 1 4×4 9 + 1 2×4 9 = 4 9 (Ⅱ)所求概率为: P=1－(1－4 9)3= 604 729 16（山东卷）盒中装着标有数字 1，2，3，4 的卡片各 2 张，从盒中任意任取 3 张，每张卡 片被抽出的可能性都相等，求：(Ⅰ)抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4 的概率；(Ⅱ)抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3 的概念；(Ⅲ)抽出的 3 张卡片上的数字互不相同的概率.(15) 解：（I）“抽出的 3 张卡片上最大的数字是 4”的事件记为 A，由题意 9( ) 14P A  （II）“抽出的 3 张中有 2 张卡片上的数字是 3”的事件记为 B，则 3( ) 28P B  （III）“抽出的 3 张卡片上的数字互不相同”的事件记为 C，“抽出的 3 张卡片上有两个数字 相同”的事件记为 D，由题意，C 与 D 是对立事件，因为 3( ) 7P D  所 以 3 4( ) 1 ( ) 1 7 7P C P D     . 17.(陕西卷)甲、乙、丙 3 人投篮,投进的概率分别是2 5, 1 2, 1 3.现 3 人各投篮 1 次,求: (Ⅰ)3 人都投进的概率;(Ⅱ)3 人中恰有 2 人投进的概率. 解: (Ⅰ)记"甲投进"为事件 A1 ， "乙投进"为事件 A2 ， "丙投进"为事件 A3， 则 P(A1)= 2 5 ， P(A2)= 1 2 ， P(A3)= 1 3 ，∴ P(A1A2A3)=P(A1) ·P(A2) ·P(A3) = 2 5 ×1 2 ×3 5= 3 25 ∴3 人都投进的概率为 3 25 (Ⅱ) 设“3 人中恰有 2 人投进"为事件 B,P(B)=P(A2A3)+P(A1A3)+P(A1A2) =P()·P(A2)·P(A3)+P(A1)·P()·P(A3)+P(A1)·P(A2)·P() =(1－2 5)×1 2 ×3 5 + 2 5×(1－1 2)×3 5 + 2 5×1 2 ×(1－ 3 5) = 19 50 ∴3 人中恰有 2 人投进的概率为19 50 18（四川卷）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合 格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的 概率分别为 0.9,0.8,0.7 ；在实验考核中合格的概率分别为 0.8,0.7,0.9 ，所有考核是否合格 相互之间没有影响 （Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （Ⅱ）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小数） 解：记“甲理论考核合格”为事件 1A ；“乙理论考核合格”为事件 2A ；“丙理论考核合格” 为事件 3A ；记 iA 为 iA 的对立事件， 1,2,3i  ；记“甲实验考核合格”为事件 1B ；“乙 实验考核合格”为事件 2B ；“丙实验考核合格”为事件 3B ； （Ⅰ）记“理论考核中至少有两人合格”为事件C ，记 C 为C 的对立事件 解法 1：    1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P C P A A A A A A A A A A A A           1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3P A A A P A A A P A A A P A A A    0.9 0.8 0.3 0.9 0.2 0.7 0.1 0.8 0.7 0.9 0.8 0.7            0.902 所以，理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 （Ⅱ）记“三人该课程考核都合格” 为事件 D        1 1 2 2 3 3P D P A B A B A B             1 1 2 2 3 3P A B P A B P A B                 1 1 2 2 3 3P A P B P A P B P A P B      0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.9      0.254016 0.254 所以，这三人该课程考核都合格的概率为 0.254 19.（天津卷）甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是 0.9， 乙机床产品的正品率是 0.95．（Ⅰ）从甲机床生产的产品中任取 3 件，求其中恰有 2 件正品 的概率（用数字作答）； （Ⅱ）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取 1 件，求其中至少有 1 件正品的概率（用数字 作答）． 本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，及分析和解决实际问题的能力。 解：（I）任取甲机床的 3 件产品恰有 2 件正品的概率为： 2 2 3 3(2) 0.9 0.1 0.243.P C    （II）解法一：记“任取甲机床的 1 件产品是正品”为事件 A，“任取乙机床的 1 件产 品是正品”为事件 B。则任取甲、乙两台机床的产品各 1 件，其中至少有 1 件正品的概率为 ( . ) ( . ) ( . ) 0.9 0.95 0.9 0.05 0.1 0.95P A B P A B P A B        0.995. 解法二：运用对立事件的概率公式，所求的概率为：1 ( . ) 1 0.1 0.05 0.995.P A B    