中考数学复习专题几何综合题含答案解析

中考数学复习专题几何综合题含答案解析

几何综合题 ‎1.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB， 过点C作AD的垂线，交 AD的延长线于点H．‎ ‎ （1）如图1，若 ‎ ①直接写出和的度数；‎ ‎ ②若AB=2，求AC和AH的长；‎ ‎ （2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．‎ 答案：‎ ‎（1）①，；‎ ‎ ‎ ‎ ②作DE⊥AC交AC于点E.‎ Rt△ADE中，由，AD=2可得DE=1，AE.‎ Rt△CDE中，由，DE=1，可得EC=1.‎ ‎∴AC. ‎ Rt△ACH中，由，可得AH； ‎ ‎（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC 证明： 延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.‎ ‎ 易证△ACH ≌△AFH.‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴.‎ ‎2.正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接．‎ ‎（1）如图，当时，‎ ‎①依题意补全图．‎ ‎②用等式表示与之间的数量关系：__________．‎ ‎（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明．‎ ‎（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．‎ 答案：（1）①补全的图形如图7所示．‎ ② ∠NCE=2∠BAM．‎ ‎（2）当45°<α<90°时，．‎ ‎ 证明：如图8，连接CM，设射线AM与CD的交点为H． ‎ ‎∵ 四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴ ∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，直线BD为正方形ABCD的对称轴，‎ 点A与点C关于直线BD对称．‎ ‎∵ 射线AM与线段BD交于点M，‎ ‎∴ ∠BAM=∠BCM=α．‎ ‎∴ ∠1=∠2=．‎ ‎∵ CE⊥AM，‎ ‎∴ ∠CEH=90°，∠3+∠5=90°．‎ 又∵∠1+∠4=90°，∠4=∠5，‎ ‎∴ ∠1=∠3．‎ ‎∴ ∠3=∠2=． ‎ ‎∵ 点N与点M关于直线CE对称，‎ ‎∴ ∠NCE=∠MCE=∠2+∠3=． ‎ ‎（3）‎ ‎3. 如图，已知，点为射线上的一个动点，过点作，交于点，点在内，且满足，.‎ ‎（1）当时，求的长；‎ ‎（2）在点的运动过程中，请判断是否存在一个定点，使得的值不变？并证明你的判断. ‎ 答案：‎ ‎（1）作⊥交于.‎ ‎∵⊥，，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∵,,‎ ‎∴,.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎（2）当点在射线上且满足时，的值不变，始终为1.理由如下： ‎ 当点与点不重合时，延长到使得.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵,是公共边,‎ ‎∴≌.‎ ‎∴. ‎ 作⊥于,⊥于.‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∵⊥,⊥,⊥，‎ ‎∴四边形为矩形.‎ ‎∴.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵⊥,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即.‎ 当点与点重合时，由上过程可知结论成立. ‎ ‎4. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.‎ ‎（1）依题意补全图形；‎ ‎（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；‎ ‎（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．‎ 答案：（1）补全的图形如图所示.‎ ‎（2）解：由题意可知，∠ECF=∠ACG=120°.‎ ‎∴∠FCG=∠ACE=α.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，‎ ‎∴∠DAC=∠BAC= 30°. ∴∠AGC=30°.‎ ‎∴∠AFC =α+30°. ‎ ‎（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系为.‎ 证明：作CH⊥AG于点H.‎ 由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°. ‎ ‎∴CA=CG. ∴HG =AG.‎ ‎∵∠ACE =∠GCF，∠CAE =∠CGF，‎ ‎∴△ACE≌△GCF.‎ ‎∴AE =FG.‎ 在Rt△HCG中， ‎ ‎∴AG =CG.即AF+AE=CG.‎ ‎5.如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CA = CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE = ，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.‎ ‎（1）依题意补全图形；‎ ‎（2）当= 30°时，直接写出∠CMA的度数；‎ ‎（3）当0°<< 45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．‎ 答案：（1）如图； ‎ ‎（2）45°； ‎ ‎（3）结论：AM=CN． ‎ 证明：作AG⊥EC的延长线于点G．‎ ‎∵点B与点D关于CE对称，‎ ‎∴CE是BD的垂直平分线．‎ ‎∴CB=CD．‎ ‎∴∠1=∠2=．‎ ‎∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．‎ ‎∵∠4=90°，‎ ‎∴∠3=（180°∠ACD）=（180°90°）=45°．‎ ‎∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°．‎ ‎∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，‎ ‎∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．‎ ‎∴∠6=∠7． ‎ ‎∵AG⊥EC，‎ ‎∴∠G=90°=∠8． ‎ ‎∴在△BCN和△CAG中，‎ ‎∠8=∠G，‎ ‎∠7=∠6， ‎ BC=CA，‎ ‎∴△BCN≌△CAG．‎ ‎∴CN=AG． ‎ ‎∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，‎ ‎∴AM=AG． ‎ ‎∴AM=CN． ‎ ‎6.在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，DQ．‎ ‎（1）依题意补全图1；‎ ‎（2）①连接，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：； ②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为： ．‎ 答案：（1）补全图形略 ‎ ‎ （2）①证明：‎ ‎ 连接，如图2，‎ ‎ ∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，‎ ‎ ∴，．‎ ‎ ∵四边形是正方形，‎ ‎ ∴，．‎ ‎ ∴． ‎ ‎ ∴△≌△． ‎ ‎ ∴，．‎ ‎ ∵在中，，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∵在中，，‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴． ‎ ‎ ②．‎ ‎7.如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，F是AB边上一点，作射线CF，‎ 过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．‎ ‎ （1）求证：∠ABG=∠ACF；‎ ‎（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间 的等量关系，并证明．‎ 答案：（1）证明 :‎ ‎∵ ∠CAB=90°.‎ ‎∵ BG⊥CF于点G，‎ ‎∴ ∠BGF=∠CAB=90°. ‎ ‎∵∠GFB=∠CFA. ‎ ‎∴ ∠ABG=∠ACF. ‎ ‎（2）CG=AG+BG. ‎ 证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，‎ ‎∵ △ABC是等腰直角三角形， ‎ ‎∴ ∠CAB=90°，AB=AC.‎ ‎∵ ∠ABG=∠ACH.‎ ‎∴ △ABG≌△ACH.‎ ‎∴ AG =AH,∠GAB=∠HAC. ‎ ‎∴ ∠GAH=90°.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ GH=AG. ‎ ‎∴ CG=CH+GH=AG+BG. ‎ ‎8.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE，延长CB至点F，使BF=BE，过点F作FH⊥AE于点H，射线FH分别交AB、CD于点M、N，交对角线AC于点P，连接AF．‎ ‎（1）依题意补全图形；‎ ‎（2）求证：∠FAC=∠APF；‎ ‎（3）判断线段FM与PN的数量关系，并加以证明．‎ 答案：（1）补全图如图所示．‎ ‎ （2）证明∵正方形ABCD，‎ ‎∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，‎ ‎∴∠PAH=45°-∠BAE．‎ ‎∵FH⊥AE．‎ ‎∴∠APF=45°+∠BAE．‎ ‎∵BF=BE，‎ ‎∴AF=AE，∠BAF=∠BAE．‎ ‎∴∠FAC=45°+∠BAF．‎ ‎∴∠FAC=∠APF．‎ ‎ （3）判断：FM=PN． ‎ ‎ 证明：过B作BQ∥MN交CD于点Q，‎ ‎∴MN=BQ，BQ⊥AE．‎ ‎∵正方形ABCD，‎ ‎∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．‎ ‎∴∠BAE=∠CBQ．‎ ‎∴△ABE≌△BCQ．‎ ‎∴AE=BQ．‎ ‎∴AE=MN．‎ ‎∵∠FAC=∠APF，‎ ‎∴AF=FP．‎ ‎∵AF=AE，‎ ‎∴AE=FP．‎ ‎∴FP=MN．‎ ‎∴FM=PN．‎ ‎9.如图所示，点P位于等边的内部，且∠ACP=∠CBP．‎ ‎(1) ∠BPC的度数为________°；‎ ‎(2) 延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．‎ ‎①依题意，补全图形；‎ ‎②证明：AD+CD=BD；‎ (3) 在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．‎ ‎ 解：(1)120°. ----------------------------2分 D ‎(2)①∵如图1所示.‎ ‎②在等边中，，‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴为等边三角形.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 在和中，‎ ‎∴. ‎ ‎∴‎ ‎∴-----------------------------------------4分 ‎ ‎（3）如图2，作于点，延长线于点.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又由（2）得， ‎ ‎-----------------------------------7分 ‎ ‎10.如图1，在等边三角形ABC中，CD为中线，点Q在线段CD上运动，将线段QA绕点Q顺时针旋转，使得点A的对应点E落在射线BC上，连接BQ，设∠DAQ=α ‎（0°＜α＜60°且α≠30°）.‎ ‎（1）当0°＜α＜30°时，‎ ①在图1中依题意画出图形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；‎ ②探究线段CE，AC，CQ之间的数量关系，并加以证明；‎ ‎（2）当30°＜α＜60°时，直接写出线段CE，AC，CQ之间的数量关系. ‎ 图1 备用图 解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分 ‎② 0≤≤．……………………………………………………………… 2分 ‎（2）设直线与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得，‎ ‎．‎ ‎∴ ，，．‎ 由0≤≤，作直线．‎ ①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．作轴于点，‎ 可得∥OB，．‎ ‎∵ ⊙D的半径为1，‎ 图13‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，．‎ ‎∴ ．‎ ②如图14，当⊙D与直线相切时，‎ 相应的圆心满足题意，其横坐标取到最小值． ‎ 作轴于点，则⊥OA．‎ 图14‎ 设直线与直线的交点为F．‎ 可得，OF⊥AB．则．‎ ‎∵ ⊙D的半径为1，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ ，‎ ‎．‎ ‎∴ ．‎ 由①②可得，的取值范围是≤≤．‎ ‎………………………………………… 5分 图15‎ ‎（3）画图见图15．‎ ‎．……………………………… 7分 ‎11.如图，在等边中， 分别是边上的点，且 , ，点与点关于对称，连接，交于.‎ ‎（1）连接，则之间的数量关系是 ；‎ ‎（2）若，求的大小; （用的式子表示）‎ ‎（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明.‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）解：连接，，‎ ‎∵是等边三角形，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵点与点关于对称，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ 由（1）知.‎ ‎∴，，在以为圆心，为半径的圆上.‎ ‎∴. ‎ ‎（3）.理由如下： ‎ 连接，延长，交于点，‎ ‎∵是等边三角形，‎ ‎∴，.‎ ‎∵点与点关于对称，‎ ‎∴，.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 设，‎ 则.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 由（2）知.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ 四边形中，.‎ ‎∴.‎ ‎∴是等边三角形. ‎ ‎∴，.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 在与中，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴． ‎ ‎12.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，M是BC的中点，延长AM到点D，AE= AD，∠EAD=90°，CE交AB于点F，CD=DF.‎ ‎（1）∠CAD= 度； ‎ ‎（2）求∠CDF的度数；‎ ‎（3）用等式表示线段和之间的数量关系，并证明.‎ ‎ ‎ 解：（1）45 ……………………………………………………………1分 ‎（2）解：如图，连接DB.‎ ‎∵°，是的中点，‎ ‎∴∠BAD=∠CAD=45°.‎ ‎∴△BAD≌△CAD. ………………………………2分 ‎∴∠DBA=∠DCA，BD = CD.‎ ‎∵CD=DF,‎ ‎∴BD=DF. ………………………………………3分 ‎∴∠DBA=∠DFB=∠DCA.‎ ‎∵∠DFB+∠DFA =180°,‎ ‎∴∠DCA+∠DFA =180°.‎ ‎∴∠BAC+∠CDF =180°.‎ ‎∴∠CDF =90°. ………………………………………4分 ‎（3）CE=CD. ……………………………………5分 证明：∵°，‎ ‎∴∠EAF=∠DAF=45°.‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴△EAF≌△DAF. …………………………………6分 ‎∴DF=EF.‎ 由②可知，CF=. …………………………7分 ‎∴CE=CD.‎ ‎13.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG．‎ ‎（1）根据题意补全图形；‎ ‎（2）判定AG与EF的位置关系并证明；‎ ‎（3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG的长．‎ 解：（1）图形补全后如图…………………1分 ‎（2）结论：AG⊥EF． …………………2分 证明：连接FD，过F点FM∥BC，交BD的延长线于点M．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB=DA=DC=BC，∠DAB=∠ABE=∠ADC=90°，‎ ‎∠ADB=∠5=45°．‎ ‎∵线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，‎ ‎∴AE=AF，∠FAE=90°．‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∴△FDA≌△EBA． …………………3分 ‎∴∠FDA=∠EBA=90°，FD=BE．‎ ‎∵∠ADC=90°，‎ ‎∴∠FDA+∠ADC=180°。‎ ‎∴点F、D、C三点共线．‎ ‎∴∠ADB=∠3=45°． ‎ ‎∵FM∥BC，‎ ‎∴∠4=∠5=45°，‎ ‎∴FM=FD，‎ ‎∴FM=BE．‎ ‎∵∠FGM=∠EGB，FM=BE，∠4=∠5，‎ ‎∴△FMG≌△EGB． ‎ ‎∴FG=EG．‎ ‎∵AE=AF，‎ ‎∴AG⊥FE． ………………4分 ‎（3） 解：如图，DB与FE交于点G．‎ ‎∵AB=3，BE=2，‎ ‎∴DC=3，CE=1，FD=2．‎ ‎∴Rt△DAB中，DB=3．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴DH∥BC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴DH=.‎ ‎∴，即，‎ ‎∴BG=. ………………7分 ‎14.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．‎ ‎（1）若点N是线段MB的中点，如图1．‎ ‎① 依题意补全图1；‎ ‎② 求DP的长；‎ ‎（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ=DP，求 CE的长．‎ ‎ ‎ 解：（1）①如图1，补全图形. ………………… 1分 ‎ ② 连接AD，如图2.‎ 在Rt△ABN中,‎ ‎∵∠B=90°，AB=4，BN=1，‎ ‎∴.‎ ‎∵线段AN平移得到线段DM，‎ ‎∴DM=AN=，‎ AD=NM=1，AD∥MC，‎ ‎∴△ADP∽△CMP.‎ ‎∴.‎ ‎∴.………………… 3分 ‎（2）连接，如图3.‎ 由平移知：∥，且=.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴∥，且=.‎ ‎∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴∥.‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎ ∴.‎ ‎∵∥，‎ ‎∴.‎ 又∵是的中点，且，‎ ‎ ∴.‎ ‎∴(舍负).‎ ‎ ∴.‎ ‎∴.………………… 7分 ‎（2）法二，连接AD，如图4.‎ 设CE长为x，‎ ‎∵线段AB移动到得到线段DE，‎ ‎∴，AD∥BM.‎ ‎∴△ADP∽△CMP.‎ ‎∴.‎ ‎∵MQ=DP，‎ ‎∴.‎ ‎∵△QBM∽△QAD，‎ ‎∴.‎ 解得.‎ ‎∴. ………………… 7分 ‎15.如图，在△ABC中，AB=AC>BC，BD 是AC边上的高，点C关于直线BD的对称点为点E，连接BE.‎ ‎（1） ①依题意补全图形；‎ ‎②若∠BAC=，求∠DBE的大小（用含的式子表示）；‎ （2） 若DE=2AE，点F是BE中点，连接AF，BD=4，求AF的长.‎ ‎（1）解：①如图． ……………………… 1分 ②∵ AB=AC，∠BAC=，‎ ‎∴ ∠ABC=∠ACB=90°-． ‎ ‎∵点C关于直线BD的对称点为点E，BD 是AC边上的高.‎ ‎∴ BD⊥CE，CD=DE． ‎ ‎∴ BE=BC．‎ ‎∴ ∠BEC=∠ACB=90°-． …………………… 2分 ‎∴∠DBE=．……………… 3分 ‎（2）解：作FG⊥AC于G，‎ ‎∵BD⊥CE，∴FG∥BD ‎∵点F是BE中点，∴EG=DG．∴…………4分 ‎∵DE=2AE，∴AE=EG=DG．……………… 5分 设AE=EG=DG=x，则CD=DE=2x，AC=5x，∴AB=AC=5x．‎ ‎∴BD=4x． ∵BD=4，∴x =1．……………… 6分 ‎∴AG=2．‎ ‎∵=2，‎ ‎∴AF=．……………… 7分