2018届二轮复习导数与函数的单调性学案（全国通用）
专题3 导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
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○○○○
判断函数单调性的三种方法
定义法
在定义域内(或定义域的某个区间内)任取x1，x2，且x1
0时，函数f(x)在(a，b)内单调递增；当f′(x)<0时，函数f(x)在(a，b)内单调递减．
[提醒] 讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
[例] 已知函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1，讨论函数f(x)的单调性．
[解] f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.
(1)当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在 (0，＋∞)上单调递增；
(2)当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当00，故f(x)在上单调递减，在＋∞上单调递增．
1．已知函数f(x)＝x2－5x＋2ln x，则函数f(x)的单调递增区间是( )
A.和(1，＋∞) B．(0,1)和(2，＋∞)
C.和(2，＋∞) D．(1,2)
解析：选C 函数f(x)＝x2－5x＋2ln x的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝>0，解得02，故函数f(x)的单调递增区间是，(2，＋∞)．
2．若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间上单调递减，则实数t的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3．若函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是( )
A．(－2,0) B．(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)
解析：选D 由题意知，f′(x)＝1－，∵函数f(x)＝x＋(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点，∴当1－＝0时，b＝x2，又x∈(1,2)，∴b∈(1,4)．令f′(x)＞0，解得x＜－或x＞，即f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，∵b∈(1,4)，∴(－∞，－2)符合题意，故选D.
1.函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
解析：选D 依题意得f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2，所以f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.
2.下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex
C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x
3.函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,2)
解析：选A 对于函数y＝x2－ln x，易得其定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令<0，又x>0，所以x2－1<0，解得00)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，
即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
5.已知函数f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间．
解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
由已知可得解得a＝b＝3.
(2)令F(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋x＋1，F′(x)＝3x2＋2ax＋，
令F′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－，
∵a>0，∴x10得，x<－或x>－；
由F′(x)<0得，－
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