2017-2018学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年福建省厦门第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：将抛物线方程化成标准形式，即可得到其焦点坐标.‎ 详解：抛物线的方程化为，‎ 抛物线焦点在轴上，焦点坐标为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程及简单性质，意在考查对基础知识、基本概念掌握的熟练程度.‎ ‎2．“”是“函数在区间上有零点”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据零点存在定理列不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.‎ 详解：根据零点存在定理可知，‎ 若在区间上有零点，‎ 则，‎ 即，‎ 即或，‎ ‎“”是“函数 在区间上有零点”的充分不必要条件,故选A.‎ 点睛：本题主要考查零点定理以及充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.‎ 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. ‎ ‎3．以下四个命题，其中正确的是（ ）‎ A. 由独立性检验可知，有 99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理优秀；‎ B. 两个随机变量相关系越强，则相关系数的绝对值越接近于 0；‎ C. 在线性回归方程中，当变量 每增加一十单位时，变量 平均增加 0.2 个单位；‎ D. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点.‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A.有 的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指“不出错的概率”， 不是“数学成绩优秀，物理成绩就有的可能优秀”，A错误；‎ 对于B，根据随机变量的相关系数知，两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，B错误；‎ 对于C.根据线性回归方程的系数 知，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，C正确；‎ 对于D.线性回归方程对应的直线过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故D错误；‎ 故选C．‎ ‎4．已知的导函数为，则（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：求出函数的导数，将自变量代入所求导函数，即可得结果.‎ 详解：因为，‎ 所以,‎ 所以 ，故选D.‎ 点睛：本题主要考查初等函数的导数公式，意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题.‎ ‎5．若圆锥曲线的焦点在圆上，则常数（ ）‎ A. 4 B. -6 C. 4或-6 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】若，则圆锥曲线为双曲线，其标准方程为： ，则，‎ 其焦点坐标为，由题意可得： ，‎ 利用排除法可知选项ABC错误，‎ 本题选择D选项.‎ ‎6．已知函数与的图象有3个不同的交点，则取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：函数与的图象有3个不同的交点，等价于方程有3个不同的实根，即函数的图象有3个不同的交点，画出函数图，结合图象可得的取值范围是.‎ 详解：‎ 函数与的图象有3个不同的交点 等价于方程有3个不同的实根，‎ 即函数的图象有3个不同的交点，‎ ‎，‎ 时，递增，递减，‎ 函数如图，结合图象，只需即可，‎ 可得，故选B.‎ 点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ ‎7．若函数的图象总在直线的上方，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：函数的图象总在直线的上方，等价于恒成立，利用导数研究函数的单调性，求出最小值，令最小值大于零，即可的结果.‎ 详解：因为函数的图象总在直线的上方，‎ 所以恒成立，‎ ‎，‎ 在递减，在递增，‎ ‎，即 ‎，实数的取值范围是，故选D.‎ 点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.‎ ‎8．设各项均为正数的数列的前项之积为，若，则 的最小值为（ ）．‎ A．7 B．8 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意知，所以，所以，构造对勾函数，该函数在上单调递减，在上单调递增，在整数点时取到最小值7，所以当时，的最小值为7．‎ ‎【考点】1、数列的通项公式；2、函数性质与数列的综合．‎ ‎9．已知分别是双曲线的左、右焦点，若点关于直线的对称点恰好落在以为圆心， 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知直线为的中位线所在线，所以直线为圆的切线， ，所以直线的倾斜角为， ，如图：，‎ 选B.‎ ‎10．在中， 边上的高等于,则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 如图所示，设边上的高线为，且中，角对的边分别为,‎ ‎ 由因为，则， ，‎ 在中， ，所以，‎ ‎ 又由，即，‎ 由余弦定理得，‎ 又由余弦定理得，则 ‎ 所以，故选D.‎ ‎ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.‎ ‎11．已知,若关于的方程恰好有4个不相等的实数解,则实数的取值范围为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵‎ ‎∴‎ 当时， ， ‎ 当时，即在内为增函数 当时， ，即在内为减函数 当时， ，即在内为减函数 作出函数的图象如图所示：‎ ‎∴函数在内有个最大值 设 当时，方程有1个解 当时，方程有2个解 当时，方程有3个解 当时，方程有1个解 当时，方程有0个解 则方程等价为 ‎∵方程有两个不同的根， ‎ ‎∴当时，方程有1个解 要使方程恰好有4个不相等的实数解，则 ‎∴‎ 故选C 点睛：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，一般对于这种复合函数题目，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键，这样内层是分式型的函数，外层是二次型的，对应内外层函数找对应的根的个数即可.‎ 二、填空题 ‎12．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（ ）‎ A. 811 B. 809 C. 807 D. 805‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据归纳推理发现：第一行有个奇数，第二行有个奇数，第行有个奇数， ‎ 按此规律，可得第行从左向右的第个数是第个正奇数，从而可得结果.‎ 详解：第一行有个奇数，第二行有个奇数，第行有个奇数，‎ 根据这个规律前行共有正奇数：‎ 个，‎ 则第行从左向右的第个数是第个正奇数，‎ 这个数是，故选B.‎ 点睛：本题通过观察几行数字，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎13．“，则全为0”的逆否命题是__________．‎ ‎【答案】“若全不为0，则”‎ ‎【解析】分析：直接根据逆否命题的定义求解即可.‎ 详解：因为原命题的条件和结论进行否定后，作为逆否命题的结论和条件，‎ 所以“，则全为0”的逆否命题是 ‎“若全不为0，则”,‎ 故答案为“若全不为0，则”.‎ 点睛：本题主要考查命题的否定以及逆否命题的定义，意在考查对基本概念的理解，属于简单题.‎ ‎14．已知= ,若= = =,则的大小关系是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】= === = ‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ 故答案为 ‎15．已知函数，由是奇函数，可得函数的图象关于点对称，类比这一结论，可得函数的图象关于点___________对称.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得 所以是奇函数，所以函数的图象关于点对称.‎ 故填.‎ ‎16．设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：对任意，不等式恒成立等价于，，当且仅当时取等号，所以，即，，当时，，当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以，所以有，解之得.‎ ‎【考点】1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数).‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求.‎ ‎【答案】（1），；（2）1‎ ‎【解析】分析：(1)直线的极坐标方程化为,由，即可求出直线的普通方程；曲线的参数方程利用代入法消去参数，即可得到曲线的普通方程；（2）点的直角坐标为，点在直线上，求出直线的参数方程，得到，由此根据直线参数的几何意义，利用韦达定理能求出的值.‎ 详解：（1）由，得，令，‎ 得.因为，消去得，‎ 所以直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为.‎ ‎（2）点的直角坐标为，点在直线上.设直线的参数方程为，（为参数)，代入，得.设点对应的参数分别为，则，‎ 所以.‎ 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．‎ ‎18．已知的内角对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求值； ‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）由，利用两角和的正弦公式以及诱导公式可得，根据正弦定理进行转化即可求的值；（2）结合（1）与，可得，利用余弦定理可得，根据三角形的面积公式即可求的面积.‎ 详解：（1）∵，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴，∴.‎ ‎（2）∵，∴，∴，∴.‎ ‎∴，即的面积的.‎ 点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.‎ ‎19．已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，且数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）当时，，‎ 又时，适合；（2），利用“裂项相消法”即可得出数列的前项和为.‎ 详解：（1）当时，，‎ 又时，适合.‎ ‎（2）证明：由（1）知，‎ ‎∴ ‎ ‎.‎ 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎20．已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度 (单位：)，对某种鸡的时段产蛋量(单位：) 和时段投入成本(单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度和产蛋量的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值.‎ 其中.‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量关于鸡舍时段控制温度的回归方程类型？（给判断即可，不必说明理由）‎ ‎（2）若用作为回归方程模型，根据表中数据，建立关于的回归方程；‎ ‎（3）已知时段投入成本与的关系为，当时段控制温度为时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？‎ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）时段产量的预报值为515.4,投入成本的预报值为48.432‎ ‎【解析】试题分析：（1）由散点图可作出判断；（2）由得，令，，，由图表中的数据可知，，从而得到关于的回归方程；（3）根据回归直线方程得到时，，.‎ 试题解析：‎ ‎（1）适宜 ‎（2）由得 令，，‎ 由图表中的数据可知，‎ ‎∴‎ ‎∴关于的回归方程为 ‎（3）时，由回归方程得，‎ 即鸡舍的温度为时，鸡的时段产量的预报值为515.4，投入成本的预报值为48.432.‎ ‎21．设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）直线过定点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线，推出，结合离心率为，即可求出椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，表示出，，即，，再根据点，即可求出的值，从而求出定点的坐标.‎ 试题解析：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆的方程为:‎ ‎（2）设，.‎ 联立,消去整理得：.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴，整理得： ‎ 解得：或（舍去） ‎ ‎∴直线过定点.‎ 点睛：（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、‎ 数形结合思想、分类讨论思想的考查；‎ ‎（2）解决定点、定值问题时，可直接根据题意进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式对任意的正实数都成立，求实数的最大整数；‎ ‎（3）当时，若存在实数且，使得，求的范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）2；（3）‎ ‎【解析】分析：（1）分两段分别求出，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；(2）由，可得对任意的正实数都成立，即对任意的正实数都成立，记，则，求得的导数，判断单调性和零点的范围，即可得到实数的最大整数；（3）由题意，利用导数研究函数的单调性，可得若存在实数，，则介于之间，不妨设 ，利用，，，则，从而可得结果.‎ 详解：（1 )当时，‎ 当时，，则，∴函数在区间上为减函数. ‎ 当时，，则，令，解得:，‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴函数在区间上为减函数,在区间上力增函数.‎ 且，综上，的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎（2）由可得对任意的正实数都成立，即对任意的正实数都成立.记，则，可得，‎ 令，则，‎ ‎∴在上为增函数，即在上为增函数，又∵，‎ ‎∴存在唯一零点，记为， 则且,当时，,当时，，‎ ‎∴在区间上为减函数，在区间上为增函数，∴的最小值为.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，可得.又∵，∴的最大整数为2.‎ ‎（3）由题意，令，解得，由题意可得，，‎ 当时，；当时，‎ ‎∴函数在上为减函数，在上为增函数.‎ 若存在实数，，则介于之间，不妨设 .‎ ‎∵在上单减，在上单增，且，‎ ‎∴当时，，‎ 由 ，，可得，故，‎ 又∵在上单调递减，且 ‎∴.∴，同理，则，解得 ‎∴.‎ 点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或 恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.‎