重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）12

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12.2 三角形 全等 的判定 第十二章 全等三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 1 课时 “边边边” 八年级数学上（RJ） 教学课件 情境引入 学习目标 1. 探索 三角形全等条件 . （重点） 2. “ 边边边 ” 判定方法和应用 . （难点） 3. 会用尺规作一个角等于已知角，了解图形的作法． 导入新课 为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据了，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？ 情境引入 A B C D E F 1. 什么叫全等三角形？ 能够重合的两个三角形叫 全等三角形 . 3. 已知 △ ABC ≌ △ DEF ，找出其中相等的边与角 . ① AB=DE ③ CA = FD ② BC = EF ④ ∠ A = ∠ D ⑤ ∠ B =∠ E ⑥ ∠ C = ∠ F 2. 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等 . 知识回顾 如果只满足这些条件中的一部分 , 那么能保证 △ ABC ≌ △ DEF 吗 ? 想一想： 即： 三条边 分别相等， 三个角 分别相等的两个三角形全等． 探究活动 1 ：一个条件可以吗？ （ 1 ）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （ 2 ） 有 一个角 相等的两个三角形 不一定全等 结论： 有一个条件相等不能保证两个三角形全等 . 三角形全等的 判定（ “ 边边边 ” 定理） 一 6cm 30 0 有两个条件对应相等不能保证三角形全等 . 60 o 30 0 不一定全等 探究活动 2 ：两个条件可以吗？ 3cm 4cm 不一定全等 30 0 60 o 3cm 4cm 不一定全等 30 o 6cm 结论： （ 1 ）有两个角对应相等的两个三角形 （ 2 ）有两条边对应相等的两个三角形 （ 3 ）有一个角和一条边对应相等的两个三角形 结论 : 三个内角对应相等的三角形 不一定全等 . （ 1 ）有 三个角 对应相等的两个三角形 60 o 30 0 30 0 60 o 90 o 90 o 探究活动 3 ：三个条件可以吗？ 3cm 4cm 6cm 4cm 6cm 3cm 6cm 4cm 3cm （ 2 ） 三边对应相等 的两个三角形会全等吗？ 先任意画出一个 △ ABC ，再画出一个 △ A ′ B ′ C ′ , 使 A ′ B ′ = AB , B ′ C ′ = BC , A ′ C ′ = AC . 把画好的 △ A ′ B ′ C ′ 剪下，放到 △ ABC 上，他们全等吗？ A B C A ′ B ′ C ′ 想一想： 作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？ 作法： （ 1 ）画 B ′ C ′ =BC ； （ 2 ）分别以 B ', C ' 为圆心，线段 AB , AC 长为半径画圆，两弧相交于点 A ' ； （ 3 ）连接线段 A ' B ', A ' C '. 动手试一试 文字语言： 三边对应相等的两个三角形全等 . （简写为 “边边边”或“ SSS ” ） 知识要点 “边边边”判定方法 A B C D E F 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴ △ ABC ≌ △ DEF （ SSS ） . AB = DE ， BC = EF ， CA = FD ， 几何语言： 例 1 如图，有一个三角形钢架， AB = AC ， AD 是连接点 A 与 BC 中点 D 的支架．求证： （ 1 ） △ ABD ≌ △ ACD ． C B D A 典例精析 解题思路： 先找隐含条件 公共边 AD 再找现有条件 AB = AC 最后找准备条件 BD = CD D 是 BC 的中点 证明：∵ D 是 BC 中点， ∴　 BD = DC ． 在 △ ABD 与 △ ACD 中， ∴ △ ABD ≌ △ ACD （ SSS ）． C B D A AB = AC ( 已知） BD = CD （已证） AD = AD （公共边） 准备条件 指明范围 摆齐根据 写出结论 (2)∠ BAD = ∠ CAD . 由（ 1 ）得△ ABD ≌ △ACD ， ∴ ∠ BAD= ∠CAD. （全等三角形对应角相等） ① 准备条件： 证全等时要用的条件要先证好； ②指明范围： 写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据： 摆出三个条件用大括号括起来； ④写出结论： 写出全等结论 . 证明的书写步骤： 如图 , C 是 BF 的中点， AB = DC , AC = DF . 求证 :△ ABC ≌ △ DCF . 在△ ABC 和△ DCF 中， AB = DC ， ∴ △ ABC ≌ △ DCF ( 已知 ) ( 已证 ) AC = DF ， BC = CF ， 证明： ∵ C 是 BF 中点， ∴ BC = CF. ( 已知 ) (SSS). 针对训练 已知 : 如图 , 点 B 、 E 、 C 、 F 在同一直线上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF . 求证 : （ 1 ）△ ABC ≌ △DEF ； （ 2 ）∠ A = ∠ D . 证明 : ∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS ). 在△ ABC 和△ DEF 中， AB = DE ， AC = DF ， BC = EF ， ( 已知 ) ( 已知 ) ( 已证 ) ∵ BE = CF ， ∴ BC = EF. ∴ BE+EC = CF+CE ， （ 1 ） （ 2 ）∵ △ ABC ≌ △DEF （已证）， ∴ ∠ A = ∠ D （全等三角形对应角相等） . E 变式题 　 A 　 C 　 B 　 D 解：∵ D 是 BC 的中点， ∴ BD = CD . 在△ ABD 与△ ACD 中， AB = AC （已知）， BD = CD （已证）， AD = AD （公共边）， ∴△ ABD ≌ △ ACD （ S SS ）， 例 2 如图 , △ ABC 是一个钢架， AB = AC , AD 是连接 A 与 BC 中点 D 的支架，试说明 ： ∠ B =∠ C . ∴∠ B =∠ C . 典例精析 　 　 已知： ∠ AOB ． 求作： ∠ A ′ O ′ B ′ =∠AOB ． 例 3 用尺规作一个角等于已知角． O D B C A O ′ C ′ A ′ B ′ D ′ 用尺规作一个角等于已知角 二 作图总结 作法： （ 1 ） 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA ， OB 于点 C 、 D ； （ 2 ） 画一条射线 O ′ A ′ ， 以点 O ′ 为圆心， OC 长为半 径画弧，交 O ′ A ′ 于点 C ′ ； （ 3 ） 以点 C ′ 为圆心， CD 长为半径画弧，与第 2 步中 所画的弧交于点 D ′ ； （ 4 ） 过点 D ′ 画射线 O ′ B ′ ，则 ∠ A ′ O ′ B ′ =∠AOB ． 已知： ∠ AOB ． 求作： ∠ A ′ O ′ B ′ =∠ AOB ． 用尺规作一个角等于已知角 依据是什么？ 1. 如图， D 、 F 是线段 BC 上的两点， AB = CE ， AF = DE ， 要使 △ ABF ≌ △ ECD ，还需要条件 ___ ( 填一个条件即可） . BF=CD A E = = × × B D F C 当堂练习 2. 如图， AB ＝ CD ， AD ＝ BC , 则下列结论： ①△ ABC ≌ △ CDB ；②△ ABC ≌ △ CDA ；③△ ABD ≌ △ CDB ；④ BA ∥ DC . 正确的个数是 ( ) A . 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 O A B C D C = = × × 3. 已知：如图 ， AB=AE ， AC = AD，BD = CE ， 求证：△ ABC ≌ △ AED. 证明： ∵BD=CE, ∴BD － CD=CE －C D . ∴BC=ED . × × = = 在 △ABC 和 △ADE 中， AC=AD （已知）， AB=AE （已知）， BC=ED （ 已证）， ∴△ ABC ≌ △ AED （ SSS ） . 4. 已知：如图 ， AC=FE ， AD=FB,BC=DE. 求证： (1) △ ABC ≌ △ FDE ; (2) ∠ C = ∠ E . 证明： (1) ∵ AD = FB ， ∴ AB = FD （等式性质） . 在 △ ABC 和 △ FDE 中， AC=FE （已知）， BC=DE （已知）， AB=FD （ 已证）， ∴△ ABC ≌ △ FDE （ SSS ）； A C E D B F = = ? ? 。 。 （ 2 ）∵ △ ABC ≌ △ FDE （已证） . ∴ ∠C=∠E （全等三角形的对应角相等） . 5. 如图 ,AD ＝ BC,AC ＝ BD. 求证 :∠C ＝ ∠D .( 提示 : 连结 AB) 证明：连结 AB 两点 , ∴△ABD ≌ △BAC(SSS) AD=BC ， BD=AC ， AB= BA ， 在 △ABD 和 △BAC 中， ∴∠D=∠C. 思维拓展 6. 如图， AB ＝ AC ， BD ＝ CD ， BH ＝ CH ，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？ H D C B A △ ABD ≌ △ ACD (SSS) AB=AC ， BD = CD ， AD= AD ， △ ABH ≌ △ ACH (SSS) AB=AC ， BH = CH ， AH= AH ， △ BDH ≌ △ CDH (SSS) BH=CH ， BD = CD ， DH= DH ， 课堂小结 边边边 内容 有三边对应相等的两个三角形全等（简写成 “ SSS ”) 应用 思路分析 书写步骤 结合图形找隐含条件和现有条件，证准备条件 注意 四步骤 1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写 . 2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中 .