专题45+数列+数列的通项2（+叠加法、累乘法求通项）-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

专题45+数列+数列的通项2（+叠加法、累乘法求通项）-2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学（文）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ 掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础.‎ 二、知识概述：‎ ‎1.数列的通项公式：‎ ‎（1）如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.‎ ‎（2）数列的前项和和通项的关系： .‎ ‎2.求数列的通项公式的注意事项：‎ ‎（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．‎ ‎（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.‎ ‎（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式. ‎ ‎3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。‎ ‎3. 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：‎ ‎(1)先利用求出；‎ ‎(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；‎ ‎(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写． ‎ ‎【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.‎ ‎4. 递推公式推导通项公式方法：‎ ‎（1）叠加法： ‎ 叠加法（或累加法）：已知，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）‎ 即.‎ ‎（2）累乘法：已知求数列通项公式用累乘法. ‎ ‎（3）待定系数法：（其中均为常数，）‎ 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎（4）待定系数法：（其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.‎ 解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按 第（3）种情况求解.‎ ‎（5）待定系数法： ‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，‎ 解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（6）待定系数法： ‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（7）待定系数法：（其中均为常数）.‎ 解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.‎ （8） 取倒数法： ‎ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.‎ ‎（9）取对数 解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎5. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．‎ ‎(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．‎ ‎(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．‎ 类型1 ‎ 解法：把原递推公式转化为，利用叠加法求解 例1.设数列中，，则通项 .‎ ‎ 故应填.‎ ‎【答案】‎ 类型2 .解法：把原递推公式转化为，利用叠乘法求解。‎ 已知数列满足，，求。‎ ‎【解析】由条件知，分别令，代入上式得个等式后叠乘，即 又，.‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2019优选题】已知数列 ‎＝ 。‎ ‎【解析】由题意可得：，，‎ ‎，，，，，.‎ 将以上各式相加得： =‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2016江西】在数列中，，，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ 将以上各式相加得：‎ 所以有： ‎ ‎【答案】A ‎3.【2019优选题】已知数列满足， ，则此数列的通项等于 (  )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎4.【2018年广东】已知数列中，求数列的通项公式.‎ ‎【解析】由，得.‎ ‎，‎ ‎5.【2016山西】已知数列满足，求数列的通项公式.‎ ‎6.【2019优选题】已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上.‎ ‎(Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn·bn+2＜b2n+1 .‎ ‎【解析】解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1, 所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列. 故an=1+(a-1)×1=n.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.则bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1‎ ‎=2n-1+2n-2+···+2+1==2n-1.‎ 因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2‎ ‎=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)‎ ‎=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b,‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1, ‎ bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b ‎=2n+1·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1‎ ‎=2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n<0，‎ 所以bn·bn+2

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