2019年高考数学高分突破复习练习专题五 规范答题示范

2019年高考数学高分突破复习练习专题五 规范答题示范

规范答题示范——解析几何解答题 ‎【典例 】 (12分)(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎[信息提取]‎ 看到求点P的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程；‎ 看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F，想到证明⊥.‎ ‎[规范解答]‎ ‎(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，‎ ‎………………………………………………………………………………1分 由＝得：x0＝x，y0＝y，‎ ‎………………………………………………………………………………3分 因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，‎ 因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.‎ ‎………………………………………………………………………………5分 ‎(2)证明　由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，‎ 则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，‎ ·＝3＋3m－tn，‎ ‎………………………………………………………………………………7分 ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，‎ 由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，‎ ‎………………………………………………………………………………9分 又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.‎ 所以·＝0，即⊥，‎ ‎………………………………………………………………………………11分 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎………………………………………………………………………………12分 ‎[高考状元满分心得]‎ 写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分.‎ 写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出·＝0，即⊥，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.‎ ‎[解题程序]‎ 第一步：设出点的坐标，表示向量，；‎ 第二步：由＝2，确定点P，N坐标等量关系；‎ 第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2；‎ 第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系；‎ 第五步：由·＝0，证明OQ⊥PF；‎ 第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论.‎ ‎【巩固提升】 (2018·郑州质检)已知椭圆C：＋y2＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足＝λ(λ>1，λ是常数).当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ.‎ ‎(1)求曲线Cλ的轨迹方程；‎ ‎(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB 的面积是否为定值.若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由.‎ 解　(1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为.由于点P在椭圆C上，得＋＝1，‎ 即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为＋＝1(λ>1).‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2，‎ 联立方程组解得y＝±，‎ 得|AB|＝2.‎ 得S△OAB＝|OP|×|AB|＝2，‎ 当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，‎ 联立方程组 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，‎ 由Δ＝0，可得m2＝4k2＋1.联立方程组 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－λ2)＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 则|AB|＝· ‎＝，‎ 原点到直线l的距离为d＝＝，‎ 所以S△OAB＝|AB|d＝2.‎ 综上所述，△OAB的面积为定值2.‎