数学文卷·2019届辽宁省大连市普兰店市第三中学高二上学期期中（第二次阶段）考试（2017-11）

数学文卷·2019届辽宁省大连市普兰店市第三中学高二上学期期中（第二次阶段）考试（2017-11）

高二上学期期中数学试卷（文科） 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（5 分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（） A．y2=﹣4x B．x2=4y C．y2=﹣4x 或 x2=4y D．y2=4x 或 x2=﹣4y 2．（5 分）命题“a，b 都是偶数，则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是（） A．a 与 b 的和是偶数，则 a，b 都是偶数 B．a 与 b 的和不是偶数，则 a，b 都不是偶数 C．a，b 不都是偶数，则 a 与 b 的和不是偶数 D．a 与 b 的和不是偶数，则 a，b 不都是偶数 3．（5 分）椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准方程为（） A． + =1 B． + =1 C． + =1 或 + =1 D． + =1 或 + =1 4．（5 分）已知两定点 F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线上的点 P 到 F1、F2 的距离之差的绝 对值是 6，则该曲线的方程为（） A． B． C． D． 5．（5 分）如果方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（） A．3＜m＜4 B． C． D． 6．（5 分）若直线 l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0 与直线 l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0 互相垂直， 则 a 的值是（） A．﹣3 B．1 C．0 或 D．1 或﹣3 7．（5 分）已知圆 C 的方程是 x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，过点 M（3，0）的最短弦所在的直线 方程是（） A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y﹣6=0 D．2x+y﹣6=0 8．（5 分）设函数 f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数 y=f′（x） 可能为（） A． B． C． D． 9．（5 分）双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1 作倾斜角 为 30°的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 10．（5 分）设函数 y=f（x）在（a，b）上的导函数为 f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函 数为 f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0 恒成立，则称函数函数 f（x）在（a，b）上为“凸 函数”．已知当 m≤2 时，f（x）= x3﹣ +x 在（﹣1，2）上是“凸函数”．则 f（c）在（﹣ 1，2）上（） A．既有极大值，也有极小值 B．既有极大值，也有最小值 C．有极大值，没有极小值 D．没有极大值，也没有极小值 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分． 11．（5 分）命题： ∃ x ∈ R，x2﹣x+1=0 的否定是． 12．（5 分）函数 f（x）=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为 ． 13．（5 分）已知实数 x，y 满足（x﹣2）2+y2=3，则 的取值范围是． 14．（5 分）若曲线 y=ax2﹣lnx 在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，则 a=． 15．（5 分）设 AB 是椭圆 的不垂直于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，O 为坐标原 点，则 kAB•kOM=． 16．（5 分）已知直线 l1：4x﹣3y+6=0 和直线 l2：x=﹣1，抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是． 17．（5 分）在平面直角坐标系中，定义 d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点 P（x1，y1），Q （x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆； ③到 M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形； ④到 M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（12 分）设命题 p：不等式|2x﹣1|＜x+a 的解集是 ；命题 q：不等式 4x≥4ax2+1 的解集是 ∅ ，若“p 或 q”为真命题，试求实数 a 的值取值范围． 19．（12 分）已知直线 l 过点 P（1，1），并与直线 l1：x﹣y+3=0 和 l2：2x+y﹣6=0 分别交于 点 A、B，若线段 AB 被点 P 平分． 求： （1）直线 l 的方程； （2）以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为 的圆的方程． 20．（13 分）已知抛物线 C：y2=2px，且点 P（1，2）在抛物线上． （1）求 p 的值 （2）直线 l 过焦点且与该抛物线交于 A、B 两点，若|AB|=10，求直线 l 的方程． 21．（14 分）已知函数 f（x）=x3﹣3a2x+1 （1）若 a=1，求函数 f（x）的单调区间； （2）已知 a＞0，若 ∀ x ∈ ，f（x）≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围． 22．（14 分）椭圆的两焦点坐标分别为 和 ，且椭圆过点 ． （1）求椭圆方程； （2）过点 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M、N 两点，A 为椭圆的左顶 点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 高二上学期期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分） 1．（5 分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（） A．y2=﹣4x B．x2=4y C．y2=﹣4x 或 x2=4y D．y2=4x 或 x2=﹣4y 考点： 抛物线的标准方程． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 依题意，设抛物线的标准方程为 x2=2py（p＞0）或 y2=﹣2px（p＞0），将点（﹣4， 4）的坐标代入抛物线的标准方程，求得 p 即可． 解答： 解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4）， ∴设抛物线的标准方程为 x2=2py（p＞0）或 y2=﹣2px（p＞0）， 将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程 x2=2py（p＞0）得：16=8p， ∴p=2， ∴此时抛物线的标准方程为 x2=4y； 将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程 y2=﹣2px（p＞0），同理可得 p=2， ∴此时抛物线的标准方程为 y2=﹣4x． 综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是 x2=4y 或 y2=﹣4x． 故选 C． 点评： 本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系 数法，属于中档题． 2．（5 分）命题“a，b 都是偶数，则 a 与 b 的和是偶数”的逆否命题是（） A．a 与 b 的和是偶数，则 a，b 都是偶数 B．a 与 b 的和不是偶数，则 a，b 都不是偶数 C．a，b 不都是偶数，则 a 与 b 的和不是偶数 D．a 与 b 的和不是偶数，则 a，b 不都是偶数 考点： 四种命题间的逆否关系． 专题： 简易逻辑． 分析： 根据原命题和它的逆否命题的概念即可找出原命题的逆否命题． 解答： 解：原命题的逆否命题为： a 与 b 的和不是偶数，则 a，b 不都是偶数． 故选 D． 点评： 考查原命题、逆否命题的概念，以及都是的否定是不都是． 3．（5 分）椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4，则这个椭圆的标准方程为（） A． + =1 B． + =1 C． + =1 或 + =1 D． + =1 或 + =1 考点： 椭圆的标准方程． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由已知条件求出 a，b，再由焦点在 x 轴和焦点在 y 轴两种情况进行分类讨论，能 求出椭圆的标准方程． 解答： 解：∵椭圆的长轴长为 10，其焦点到中心的距离为 4， ∴ ，解得 a=5，b2=25﹣16=9， ∴当椭圆焦点在 x 轴时，椭圆方程为 ， 当椭圆焦点在 y 轴时，椭圆方程为 ． 故选：D． 点评： 本题考查椭圆的标准方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运 用． 4．（5 分）已知两定点 F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线上的点 P 到 F1、F2 的距离之差的绝 对值是 6，则该曲线的方程为（） A． B． C． D． 考点： 双曲线的定义． 专题： 计算题． 分析： 利用双曲线的定义判断出动点的轨迹；利用双曲线中三参数的关系求出 b，写出双 曲线的方程． 解答： 解：据双曲线的定义知， P 的轨迹是以 F1（5，0），F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为 6 的双曲线． 所以 c=5，a=3 b2=c2﹣a2=16， 所以双曲线的方程为： 故选 A． 点评： 本题考查双曲线的定义：要注意定义中“差的绝对值”且“差的绝对值”要小于两定点 间的距离．注意双曲线中三参数的关系． 5．（5 分）如果方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（） A．3＜m＜4 B． C． D． 考点： 椭圆的定义． 专题： 计算题． 分析： 进而根据焦点在 y 轴推断出 4﹣m＞0，m﹣3＞0 并且 m﹣3＞4﹣m，求得 m 的范 围． 解答： 解：由题意可得：方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 所以 4﹣m＞0，m﹣3＞0 并且 m﹣3＞4﹣m， 解得： ． 故选 D． 点评： 本题主要考查了椭圆的标准方程，解题时注意看焦点在 x 轴还是在 y 轴． 6．（5 分）若直线 l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0 与直线 l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0 互相垂直， 则 a 的值是（） A．﹣3 B．1 C．0 或 D．1 或﹣3 考点： 两条直线垂直的判定． 专题： 计算题． 分析： 利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出 a 的值． 解答： 解：∵l1⊥l2 ∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0 解得 a=1 或 a=﹣3 故选 D． 点评： 本题考查两直线垂直的充要条件：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0 垂直 ⇔ A1A2+B1B2=0，如果利用斜率必须分类型解答． 7．（5 分）已知圆 C 的方程是 x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，过点 M（3，0）的最短弦所在的直线 方程是（） A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y﹣6=0 D．2x+y﹣6=0 考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 由题意可得点 M（3，0）在圆的内部，故当直线和 CM 垂直时，弦长最短，求出 最短的弦所在直线的斜率，用点斜式求得过点 M（3，0）的最短弦所在的直线方程． 解答： 解：圆 x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，即 （x﹣4）2+（y﹣1）2 =7，表示以 C（4，1）为 圆心，半径等于 的圆，显然点 M（3，0）在圆的内部， 故当直线和 CM 垂直时，弦长最短， 故最短的弦所在直线的斜率为 = =﹣1，故过点 M（3，0）的最短弦所在的直线方程 是 y﹣0=﹣（x﹣3），即 x+y﹣3=0， 故选：A． 点评： 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，用点斜式求直线 的方程，属于基础题． 8．（5 分）设函数 f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数 y=f′（x） 可能为（） A． B． C． D． 考点： 函数的图象；导数的运算． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先从 f（x）的图象判断出 f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的 关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象 解答： 解：由 f（x）的图象判断出 f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增 ∴在区间（﹣∞，0）上 f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有 f′（x）＞0 再有 f′（x）＜0 再有 f′ （x）＞0 故选 D． 点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于 0 时原 函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减，属于基础题 9．（5 分）双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是 F1，F2，过 F1 作倾斜角 为 30°的直线交双曲线右支于 M 点，若 MF2 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 先在 Rt△MF1F2 中，利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2，进而根据双曲线的定 义求得 a，最后根据 a 和 c 求得离心率． 解答： 解：如图在 Rt△MF1F2 中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c ∴ ， ∴ ∴ ， 故选 B． 点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题． 10．（5 分）设函数 y=f（x）在（a，b）上的导函数为 f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函 数为 f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0 恒成立，则称函数函数 f（x）在（a，b）上为“凸 函数”．已知当 m≤2 时，f（x）= x3﹣ +x 在（﹣1，2）上是“凸函数”．则 f（c）在（﹣ 1，2）上（） A．既有极大值，也有极小值 B．既有极大值，也有最小值 C．有极大值，没有极小值 D．没有极大值，也没有极小值 考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析： 求出导数，根据函数恒成立，得出 m 的值，利用导数求出函数单调性，得出结果． 解答： 解：因 f′（x）= x2﹣mx+1， f″（x）=x﹣m＜0 对于 x ∈ （﹣1，2）恒成立． ∴m＞（x）max=2，又当 m=2 时也成立，有 m≥2． 而 m≤2，∴m=2． 于是 f′（x）= x2﹣2x+1，由 f′（x）=0，x=2﹣ 或 x=2+ （舍去）， f（x）（﹣1，2﹣ ）上递增，在（2﹣ ，2）上递减， 则 f（x）有极大值，没有极小值． 只有 C 正确． 故选 C 点评： 本题主要考查导数和函数知识及利用导数判断函数单调性、极值，属于中档题． 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分． 11．（5 分）命题： ∃ x ∈ R，x2﹣x+1=0 的否定是 ∀ x ∈ R，x2﹣x+1≠0． 考点： 特称命题；命题的否定． 专题： 计算题． 分析： 利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可． 解答： 解：因为特称命题的否定是全称命题， 所以 ∃ x ∈ R，x2﹣x+1=0 的否定是： ∀ x ∈ R，x2﹣x+1≠0． 故答案为： ∀ x ∈ R，x2﹣x+1≠0． 点评： 本题考查特称命题与全称命题的否定关系，考查基本知识的应用． 12．（5 分）函数 f（x）=x3+4x+5 的图象在 x=1 处的切线在 x 轴上的截距为 ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的截距式方程． 专题： 计算题． 分析： 欲求在点 x=1 处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到直线方程，最后令即可求得 在 x 轴上的截距．从而问题解决． 解答： 解：∵f（x）=x3+4x+5， ∴f'（x）=3x2+4，当 x=1 时，y'=7 得切线的斜率为 7，所以 k=7； 所以曲线在点（1，10）处的切线方程为： y﹣10=7×（x﹣1），令 y=0 得 x= ． 故答案为： ． 点评： 本小题主要考查直线的斜率、直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上 某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 13．（5 分）已知实数 x，y 满足（x﹣2）2+y2=3，则 的取值范围是． 考点： 圆的标准方程． 专题： 直线与圆． 分析： 设过原点的圆的切线方程为 y=kx，再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径， 求得 k 的值，可得 的取值范围． 解答： 解：由题意可得， = 表示圆（x﹣2）2+y2=3 上的点（x，y）与原点（0，0） 连线的斜率， 设为 k，故此圆的切线方程为 y=kx， 再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径，可得 r= = ， 平方得 k2=3 求得 k=± ，故 的取值范围是， 故答案为：． 点评： 本题主要考查圆的切线性质，直线的斜率公式，属于基础题． 14．（5 分）若曲线 y=ax2﹣lnx 在点（1，a）处的切线平行于 x 轴，则 a= ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 先求出函数的导数，再由题意知在 1 处的导数值为 0，列出方程求出 k 的值． 解答： 解：由题意得 ， ∵在点（1，a）处的切线平行于 x 轴， ∴2a﹣1=0，得 a= ， 故答案为： ． 点评： 本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大． 15．（5 分）设 AB 是椭圆 的不垂直于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，O 为坐标原 点，则 kAB•kOM= ． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 解答： 解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则 ，k1= ， k2= ， ∵ + =1， + =1， ∴ + =0， ∴ + k1=0， ∴ + =0， ∴k1k2=﹣ ， 故答案为：﹣ ． 点评： 本题考查了椭圆的标准方程、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式等基础知识 与基本技能方法，属于中档题． 16．（5 分）已知直线 l1：4x﹣3y+6=0 和直线 l2：x=﹣1，抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 2． 考点： 点到直线的距离公式；抛物线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 设出抛物线上一点 P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离 d1 和 d2，求出 d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小 值． 解答： 解：设抛物线上的一点 P 的坐标为（a2，2a），则 P 到直线 l2：x=﹣1 的距离 d2=a2+1； P 到直线 l1：4x﹣3y+6=0 的距离 d1= ， 则 d1+d2= +a2+1= ， 当 a= 时，P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 2 故答案为 2 点评： 此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离 公式化简求值，是一道中档题． 17．（5 分）在平面直角坐标系中，定义 d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点 P（x1，y1），Q （x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题： ①到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合是一个圆； ③到 M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是面积为 6 的六边形； ④到 M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合是两条平行线． 其中正确的命题是①③④．（写出所有正确命题的序号） 考点： 元素与集合关系的判断． 专题： 压轴题；阅读型． 分析： 先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行 判定即可． 解答： 解：到原点的“折线距离”等于 1 的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形故 ①正确，②错误； 到 M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为 4 的点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x ﹣1|+|y|=4}，故集合是面积为 6 的六边形，则③正确； 到 M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为 1 的点的集合{（x，y）||x+1|+|y| ﹣|x﹣1|﹣|y|=1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=1}，集合是两条平行线，故④正确； 故答案为：①③④ 点评： 本题主要考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（12 分）设命题 p：不等式|2x﹣1|＜x+a 的解集是 ；命题 q：不等式 4x≥4ax2+1 的解集是 ∅ ，若“p 或 q”为真命题，试求实数 a 的值取值范围． 考点： 其他不等式的解法；命题的真假判断与应用． 分析： 若“p 或 q”为真命题即为 p 真或 q 真，只要分别求出 p 真、q 真时 a 的范围，再求并 集即可． 解答： 解：由|2x﹣1|＜x+a 得 ，由题意得 ． ∴命题 p：a=2． 由 4x≥4ax2+1 的解集是 ∅ ，得 4ax2﹣4x+1≤0 无解， 即对 ∀ x ∈ R，4ax2﹣4x+1＞0 恒成立，∴ ， 得 a＞1． ∴命题 q：a＞1． 由“p 或 q”为真命题，得 p、q 中至少有一个真命题． ∴实数 a 的值取值范围是（1，+∞）． 点评： 本题考查解绝对值不等式、二次不等式、复合命题的真假等知识，属常规题． 19．（12 分）已知直线 l 过点 P（1，1），并与直线 l1：x﹣y+3=0 和 l2：2x+y﹣6=0 分别交于 点 A、B，若线段 AB 被点 P 平分． 求： （1）直线 l 的方程； （2）以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为 的圆的方程． 考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 直线与圆． 分析： （1）依题意可设 A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），分别代入直线 l1 和 l2 的方程，求 出 m=﹣1，n=2，用两点式求直线的方程． （2）先求出圆心（0，0）到直线 l 的距离 d，设圆的半径为 R，则由 ， 求得 R 的值，即可求出圆的方程． 解答： 解：（1）依题意可设 A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则 ， 即 ，解得 m=﹣1，n=2． 即 A（﹣1，2），又 l 过点 P（1，1），用两点式求得 AB 方程为 = ，即：x+2y ﹣3=0． （2）圆心（0，0）到直线 l 的距离 d= = ，设圆的半径为 R，则由 ， 求得 R2=5，故所求圆的方程为 x2+y2=5． 点评： 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两 点式求直线的方程，属于中档题． 20．（13 分）已知抛物线 C：y2=2px，且点 P（1，2）在抛物线上． （1）求 p 的值 （2）直线 l 过焦点且与该抛物线交于 A、B 两点，若|AB|=10，求直线 l 的方程． 考点： 直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （1）把点 P 代入抛物线方程即可得出； （2）当直线 l 的斜率存在时，设 l：y=k（x﹣1），代入抛物线方程得到根与系数的关系，再 利用弦长公式即可得出． 解答： 解：（1）∵点 P（1，2）在抛物线 y2=2px 上， ∴4=2p，即 p=2． （2）设 A（x1，y1），B（x2，y2） 若 l⊥x 轴，则|AB|=4，不适合． 设 l：y=k（x﹣1），代入抛物线方程得 k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0， △=16k2+16＞0，∴ ． 由 ，得 ，∴ ． ∴直线 l 的方程为 ． 点评： 熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到 根与系数的关系、弦长公式等是解题的关键． 21．（14 分）已知函数 f（x）=x3﹣3a2x+1 （1）若 a=1，求函数 f（x）的单调区间； （2）已知 a＞0，若 ∀ x ∈ ，f（x）≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围． 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）将 a=1 代入，求出函数的解析式，进而求出导函数的解析式，分析导函数的 符号后，可得函数 f（x）的单调区间； （2）若 ∀ x ∈ ，f（x）≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．则 ∀ x ∈ ，恒有 ，构造函 数 ，利用导数法求出其最小值，可得实数 a 的取值范围． 解答： 解：（1）当 a=1 时，f（x）=x3﹣3x+1 f'（x）=3x2﹣3 由 f'（x）＞0 得 x＜﹣1 或 x＞1， 由 f'（x）＜0 得﹣1＜x＜1 故 f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间是（﹣1，1） （2）由题 ∀ x ∈ ，恒有 x3﹣3a2x+1≥0 ⇒∀ x ∈ ，恒有 令 ， 当 x ∈ 时，h'（x）＞0 ∴h（x）在上单调递增， ∴h（x）min=h（1）=2 故 3a2≤2 又 a＞0 ∴ 点评： 本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调 性，熟练掌握导函数法求函数单调区间和最值的方法和步骤是解答的关键． 22．（14 分）椭圆的两焦点坐标分别为 和 ，且椭圆过点 ． （1）求椭圆方程； （2）过点 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M、N 两点，A 为椭圆的左顶 点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 专题： 计算题． 分析： （1）设出椭圆的方程，根据椭圆中三个参数的关系得到 a，b 的一个等式，再将椭 圆过的点代入得到椭圆的另一个关于 a，b 的等式，解方程组，得到椭圆的方程． （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去 x 得到关于 y 的方程，利用韦达 定理得到交点坐标的关系，求出 的值，利用向量垂直的充要条件求出∠MAN 的大小． 解答： 解：（1）设椭圆的方程为 ∵焦点坐标为 ∴a2=3+b2① ∵ ∴ 解得 a2=4，b2=1； 所以椭圆方程为 （2）设直线 MN 的方程为： ， 联立直线 MN 和曲线 C 的方程可得： 得： ， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），A（﹣2，0）， 则 ， 则 即可得， ． 点评： 求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一 般将直线的方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于一个未知数的方程，利用韦达 定理得到交点坐标的关系找突破口．