高考数学恒成立问题

高考数学恒成立问题

高考中有关恒成立问题的解题策略 恒成立问题是历年高考的一个热点..这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.‎ 恒成立问题在解题过程中有以下几种方法和策略.‎ 现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.‎ 方法一、赋特值——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.‎ 例1．（2012江西）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则 A.2 B.4 C.5 D.10.‎ 略解：题目是对所有直角三角形恒成立，故取等腰直角三角形并且直角边长为2这样一种特殊的三角形，由此，|PA|，|PB|，|PB|都为定值。易得答案D.‎ 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.‎ 方法二、一次函数型——利用单调性求解 ‎ ‎ 对于一次函数有：‎ 例2．若不等式对满足的所有都成立，求x的范围围.‎ 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，我们的原则是谁有范围谁当自变量，显然将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于0恒成立的问题.‎ 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是)‎ 此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方（或下方）即可.‎ 策略三、二次函数型——利用判别式,韦达定理及根的分布求解 对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即 ‎ f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.‎ 例3（2013高考重庆）设，不等式对恒成立，则 的取值范围为 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.‎ 例4（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ‎ 解析: 设， 则有 由此可得 这种类型利用了二次函数的根的分布 总结：，设且a>0‎ 上恒成立 策略四、变量分离型——分离变量，巧妙求解 利用函数的最值（或值域）‎ ‎（1）对任意x都成立；‎ ‎（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”例5（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是 ．‎ 解析: 当时，由得．令，则易知在上是减函数，所以时，则 所以 ‎ 利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题.‎ 策略五、数形结合——直观求解 例6 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立，则实数的取值范围是 O ‎(A) (B) (C) （D） ‎ 解析：对,不等式恒成立，‎ 则由一次函数性质及图像知，即．‎ 上述例子剖析了近年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”．‎